高考数学一轮33三角函数的奇偶性与单调性(考点疏理 典型例题 练习题和解析)

1、三角函数的奇偶性与单调性三角函数的奇偶性与单调性 （考点 疏理+典型例题+练习题和解析） 3.33.3 三角函数的奇偶性与单调性三角函数的奇偶性与单调性 【知识网络】1正弦、余弦、正切函数的奇偶性、对称性； 正弦、余弦、正切函数的的单调性 【典型例题】 例 1(1) 已知aR，函数f (x) sin x|a|,xR为奇函数，则 a（） （A）0（B）1（C）1（D）1 (1)A提示：由题意可知，f (x) f (x)可得f (0) 0得 a=0 （2）函数f x tan x 20XX 届高考数学一轮精品 3.33.3 的单调增区间为() 4 Ak,k ,k Z Bk,k 1,kZ 22 33

2、,k ,k Z Dk,kCk 4444 (2)C 提示：令k ,k Z 2 x 4 k 2 可得 （3）定义在 R 上的函数f (x)既是偶函数又是周期函数，若f (x)的最小正周期 是，且当x0, 2 时，f (x) sin x，则f ( 5 )的值为 ( ) 3 A. 3311 B. C. D. 2222 (3)B 提示：f ( 53 ) f (2) f () f () sin 333332 （4）如果f (x) sin(x)2cos(x)是奇函数，则tan (4)由f (x) f (x)可得f (0) 0 （）已知函数y f (x)满足以下三个条件： 在0, 2 上是增函数 以为最小正周

3、期是偶函数 试写出一满足以上性质的一个函数解析式 (5)f (x) cos2x提示：答案不唯一，如还可写成f (x) sinx等 例 2判断下列函数的奇偶性 （）f (x) sin2xtan x；(2 )f (x) 1sin xcosx ； 1sin xcosx (3 )f (x) cos(sin x)；(4 )f (x) lgcos x 解： （1）Q f (x)的定义域为x k 2 (kZ)，故其定义域关于原点对称， 又f (x) sin(2x)tan(x) sin2xtan x f (x) f (x)为奇函数 （2）Q x 2 时，1sin xcosx 2，而x 2 时, 1sin xc

4、osx 0， f (x)的定义域不关于原点对称， f (x)为非奇非偶函数。 （3）Q f (x)的定义域为 R，又f (x) cos(sin(x) cos(sin x) f (x) f (x)为偶函数。 （4） 由lgcos x 0得cosx 1，又cosx 1 cosx 1，故此函数的定义域为 x 2k(k Z)，关于原点对称，此时f (x) 0 f (x)既是奇函数，又是偶函数。 例 3已知:函数f x log 1 sin x cosx (1)求它的定义域和值域； (2)判断它 2 的奇偶性； (3)求它的单调区间；（4）判断它的周期性,若是周期函数,求它的最小正 周期. 2sinx 0

5、 2k x 2k(k Z) 44 5 定义域为 2k ,2k , k Z, 44 1 2sinx 0, 2值域为 ,. 4 2 (2).定义域不关于原点对称,函数为非奇非偶函数 （3）sin xcos x 2sinx 0 4 35 ,2k)(kZ) f (x)的递增区间为2k 44 解 :(1). 由sin x cosx 0 3 (kZ) 44 (4).Q f x2 log 1 sin x2cosx2 log 1 sin xcosx fx 递减区间为(2k ,2k 22 f (x)是周期函数,最小正周期 T 2. 例 4已知函数f (x) sin x2sin xcos x3cos x，xR求:

6、 (I) 函数f (x)的最大值及取得最大值的自变量x的集合； (II) 函数f (x)的单调增区间 解(I)f (x) 22 1cos2x3(1cos2x) sin2x1sin2xcos2x 22sin(2x) 224 2k当2x 4 2 ,即x k 8 (k Z)时,f (x)取得最大值22. 函数f (x)的取得最大值的自变量x的集合为x/ xR,x k (II)f (x) 22sin(2x 由题意得:2k 即:k 8 (k Z). 4 ) 2 2x 4 2k 2 (k Z) 3 x k(k Z) 88 3 ,k(k Z). 88 因此函数f (x)的单调增区间为k 【课内练习】 1函数

7、 f(x)=sin(2x+)+ 3cos(2x+)的图像关于原点对称的充要条件是 （ ） A=2k，kZ ZB=k，kZ Z 66 C=2k，kZ ZD=k，kZ Z 33 1D提示：f (x) sin(2x)3cos(2x) 2sin(2x 令 2在ABC中，C 3 ) 3 k可得 2 ，若函数y f (x)在0，1上为单调递减函数，则下列命题正确的是 （A）f (cosA) f (cosB)（B）f (sin A) f (sinB) （C）f (sin A) f (cosB)（D）f (sin A) f (cosB) 2C提示：根据0 A B 2 得0 A 2 B 2 所以sin Asin

8、( 2 B) cosB 3.同时具有性质“ 最小正周期是； 图象关于直线x 3 对称； ,上是增函数”的一个函数是( ) 63 x Ay sin() By cos(2x ) 263 Cy cos(2x 在 ) Dy sin(2x ) 66 3D 提示：由性质(1)和(2)可排除 A 和 C ,再求出y sin(2x 4 设函数f (x) xsin x , x （） Ax 1 x 2 0 2 , 2 6 )的增区间即可 ，若f (x 1 ) f (x 2 )，则下列不等式必定成立的是 2Bx 1 2 x 2 Cx 1 x 2 Dx 1 x 2 4B 提示：易知f (x) f (| x|)，且当

9、xx 0 , 时，f (| x|)为增函数又由 2 2f (x 1 ) f (x 2 )，得f (| x 1 |) f (| x 2 |)，故| x 1 | | x 2 |，于是x 1 2 x 2 5.判断下列函数奇偶性（1）f (x) |sin 2x| xtan x是； （2）f (x) cosx(1sin x) 是； 1sin x （3）f（x）=lg(sinx+ 1+sin2x)是 5 （1）偶函数（）非奇非偶函数（）奇函数 提示：先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后用奇函数和偶函数的定义判断 1 ，则f (4cos 2)= 2 2 6 -4提示：f (4cos 2) f (8cos

10、 4) f (2) f (3) f (3) 4 6.若f (x)是以 5 为周期的奇函数，f (3) 4且cos 五个函数f (x) sinxf (x) cos2xf (x) sin2xf (x) tan(x) f (x) cos2xsin2x中，同时满足f (x 2 ) f (x)且 f (x) f (x)的函数的序号为 7提示：不满足f (x) f (x)不满足f (x 8求下列函数的单调区间. 2 ) f (x) 1 2x sin ( (2)y cosx 2 4 3 4 1 2x 2x 令u 解:(1).原函数变形为y sin ,则只需求y sinu的单调区间 2 3434 2x 即可.

11、 y sinu在2k u 2k,(k Z)上 2342 39 即3k,(k Z)上单调递增, x 3k 88 (1)y 2x3 2k,(k Z),上 2342 921 即3k x 3k ,(k Z),上单调递减 88 391 2x ,3k故y sin 的递减区间为: 3k , (k Z) 882 4 3 9 21 ,3k ,(k Z) .递增区间为:3k 88 y sinu在2k u (2)原函数的增减区间即是函数y cosx 的减增区间,令u x 44 由函数y cosu的图象可知:周期T 且 y cosu在k u x k,上, 24 3 即k x k,k Z上递增, 44 在k u x k

12、即在k x k,k Z上递减 4244 3 ,k ,递增区间为k,k (k Z) 4444 故所求的递减区间为k 已知f (x)为奇函数，且当x 0时，f (x) sin2xcosx （） 当x 0时，求f (x)的解析式； （） 当xR时，求f (x)的解析式 解：（） 当x 0时， 则 x 0，f (x) sin2(x)cos(x) sin2xcosx， 又f (x) 为奇函数，所以f (x) f (x) sin2xcosx （） 当xR时，f (x)为奇函数，所以f (0) 0 sin2xcos,x 0 由（）知f (x) 0, x 0 sin2xcosx,x 0 10已知函数f (x) sin(x)( 0,0 )是R上的偶函数，其图象关于点 3 ,0)对称，且在区间0,上是单调函数，求和的值 42 解：由f (x)是R上的偶函数，得f (x) f (x)，即sin(x) sin(x)， 展开整理得：cossinx cossinx，对任意x都成立，且 0，所以cos 0 M( 又0 ，所以 得f ( 2 由f (x)的图象关于点M对称， 3 4 x) f ( 3 4 x) 取x 0，得f ( 所以f ( 3 4 ) f ( 3 4 )， 3 所以cos 4 3 ) 0，f (