高三数学第一轮复习：不等式证明均值不等式（文）人教实验版（A）（通用）

1、高三数学第一轮复习：不等式证明，均值不等式（文）人教实验版（A）【本讲教育信息】一. 教学内容：不等式证明，均值不等式二. 重点、难点：1. 证明方法（1）直接证明：比较法、综合法、分析法（2）间接证明：反证法（3）其它方法2. 均值不等式【典型例题】例1 证明：（1），求证：（2）且，求证：（3），求证：（4）且，求证：（5），求证：（6），求证：中至少有一个不小于（7），求证：证明：（1）（2）（3）左= 左（4） *式显然成立 （5）（6）假设即，与已知矛盾 假设不成立 原命题真（7） 例2（1）的最大值；（2），的最小值解：（1） 时，（2） 时，例3 （1），求的最小值；（2），求的

2、最小值。解：（1） （2）， 当 另解： 例4 ，函数，若方程，在（0，1）内有两个不等的实根，求正整数的最小值及此时方程的根。解： 开口向上，不妨设两根 又 又， 此时 例5 已知是实数，函数，当时，。（1）证明：；（2）证明：当时，（3）设，有时，的最大值为2，求（1）证明：由条件当时，取得，即（2）证法一：依题设而，所以，当时，在上是增函数，于是，（）因此得，；当时，在1，1上是减函数于是 综上以上结果，当时，都有证法二： ，因此，根据绝对值不等式性质得： 函数的图象是一条直线因此在1，1上的最大值只能在区间的端点或处取得于是由得，（）证法三：当时，有，（），因此当时，（3）解：因为，在

3、1，1上是增函数，当x=1时取得最大值2，即 ， 因为当时，即，根据二次函数的性质，直线为的图象的对称轴，由此得，即，由得，所以例6 设二次函数，方程的两个根满足。（1）当时，证明；（2）设函数的图象关于直线对称，证明：。解：（1）令，因为是方程的根所以当时，由于，得又，得，即，由此得（2）依题意：，因为是方程的两根，即是方程的根 因为，例7 设（为常数），方程的两个实数根为，且满足。（1）求证：；（2）设，比较与的大小。（1）证明：由，得，（2）解：， 又，例8 设，是满足的实数，其中。求证：（1）；（2）。证明：（1）由，得， 又，（2）由，得， ，即化简得+2 例9 设函数的定义域是R，

4、对于任意实数，恒有，且当时，。（1）求证：，且当时，有；（2）判断在R上的单调性；（3）设集合，集合，若，求的取值范围。解析：（1）对于任意实数m，n，恒有令，则，时，设，则，故，且当时，有（2）设任意，且，则，时，；时，；，对，有，在R上单调递减（3），由单调性知又，即，【模拟试题】（答题时间：70分钟）1. 已知，则t和s的大小关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ）A. B. C. D. 3. 函数的图象是两条直线的一部分（如图），其定义域是，则不等式的解集是（ ）A. ，且B. C. 或D. 或4. 设，那么且是成立的 条件。 A. 充分

5、不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要5. 不等式的解集为M，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 97. 若关于x的不等式和不等式1有相同的解集，则函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点P（x，y）到A（0，4）和B（2，0）的距离相等，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 9. 若不等式在区间1，5上有解，则的取值范围是（ ） A.（） B. C.（） D.（）10. 对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11.

6、 对于函数，在使成立的所有常数M中，我们把M的最大值1叫做的下确界。则对于且不全为0，的下确界为（ ） A. B. 2 C. D. 412. 定义在R上的奇函数为增函数，偶函数在区间的图象与的图象重合，设，给出下列不等式，其中正确不等式的序号是（ ） A. B. C. D. 13. 下列四个命题中： ； ； 设都是正数，若，则x+y的最小值是12； 若，则，其中所有真命题的序号是 。14. 某公司租地建仓库，每月土地占用费与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用和分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车

7、站 公里处。15. 已知二次函数（R，），设方程的两实数根为。 （1）如果，设函数的对称轴为，求证：；（2）如果，求的取值范围。16. 某种商品原来定价每件元，每月将卖出件，假若定价上涨成（这里成即，）每月卖出数量将减少成，而售货金额变成原来的倍。（1）设，其中是满足的常数，用来表示当售货金额最大时的的值；（2）若，求使售货金额比原来有所增加的的取值范围。试题答案1. D 2. A 3. D 4. D 5. B 6. D 7. A 8. D 9. A 10. C11. A 12. A 13. 14. 515. 证明：（1）设，且，即于是得（2）解：由方程可知，所以同号 若，则，即 又 （）代入式得， 解得 若，则 ，即