2020版新教材高中数学 考点突破素养提升 第一课 集合与常用逻辑用语 新人教B版必修1（通用）

1、考点突破素养提升素养一数学抽象角度集合的基本概念 【典例1】已知集合=a2，a+3b，0，则2|a|+b=_.【解析】因为集合=a2，a+3b，0，所以b=0，a2=4，解得a=2，当a=-2，b=0时，-2，0，4=4，-2，0，成立，此时2|a|+b=4.当a=2，b=0时，2，0，4=4，2，0，成立，此时2|a|+b=4.答案：4【典例2】已知A=a+2，(a+1)2，a2+3a+3，若1A，求实数a的值.【解析】由题设条件可知：1A，若a+2=1，即a=-1时，(a+1)2=0，a2+3a+3=1=a+2，不满足集合中元素的互异性，舍去；若(a+1)2=1，即a=0或a=-2，当a=

2、0时，a+2=2，(a+1)2=1，a2+3a+3=3，满足条件；当a=-2时，a+2=0，(a+1)2=1，a2+3a+3=1，不满足集合中元素的互异性，舍去；若a2+3a+3=1，即a=-1或a=-2，均不满足条件，理由同上.综上可知，实数a的值只能是a=0. 【素养探】将本例条件改为“集合A=2，4，x2-5x+9，B=3，x2+ax+a，2B，BA”，求实数a，x的值.【解析】因为a，xR，集合A=2，4，x2-5x+9，B=3，x2+ax+a，2B，BA，所以解得x=2，a=-或x=3，a=-，经检验x=2，a=-或x=3，a=-都符合题意，故所求a，x的值分别为-，2或-，3.【类

3、题通】1.集合元素的互异性在解题中的两个应用(1)切入：利用集合元素的互异性寻找解题的切入点.(2)检验：解题完毕，利用互异性验证答案的正确性.2.描述法表示集合的关键及注意点(1)关键：清楚集合的类型及元素的特征性质.(2)注意点：当特征性质的表示形式相同时，要清楚代表元素的不同会导致集合含义的不同，所以研究描述法时要关注集合中代表元素的属性.【加练固】设集合A=x|x2-3x+a=0，若4A，则集合A用列举法表示为_.【解析】因为4A，所以16-12+a=0，所以a=-4，所以A=x|x2-3x-4=0=-1，4.答案：-1，4素养二数学运算角度集合的基本运算 【典例3】(2020北京高考

4、)已知集合A=x|x|2，B=-2，0，1，2，则AB=()A.0，1B.-1，0，1C.-2，0，1，2D.-1，0，1，2【解析】选A.集合A=x|-2x2，所以AB=0，1.【典例4】设全集I=R，已知集合M=-3，N=x|x2+x-6=0.(1)求(IM)N.(2)记集合A=(IM)N，已知集合B=a-1，a+5，aR，若AB=A，求实数a的取值范围.【解析】(1)因为M=-3，则IM=x|x-3，又因为N=2，-3，从而有(IM)N=2.(2)因为AB=A，所以AB，又因为A=2，所以a-12a+5，解得-3a3，即实数a的取值范围是-3，3.【类题通】1.集合基本运算的方法(1)定

5、义法或维恩图法：集合是用列举法给出的，运算时可直接借助定义求解，或把元素在维恩图中表示出来，借助维恩图观察求解.(2)数轴法：集合是用不等式(组)给出的，运算时可先将不等式在数轴中表示出来，然后借助数轴求解.2.集合与不等式结合的运算包含的类型及解决办法(1)不含字母参数：直接将集合中的不等式解出，在数轴上求解.(2)含有字母参数：若字母的取值影响到不等式的解，要先对字母分类讨论，再求解不等式，然后在数轴上求解.【加练固】1.设集合U=x|x是小于20的质数，A，BU，(UA)B=3，5，(UB)A=11，13，(UA)(UB)=7，17，则集合A，B分别为()A.A=1，2，11，13，19

6、，B=1，2，3，5，19B.A=2，11，13，19，B=2，3，5，19C.A=3，11，13，19，B=2，3，5，19D.A=2，11，13，17，19，B=2，3，5，7，19【解析】选B.由题意画出Venn图如下，所以AB=2，19，所以A=2，11，13，19.B=2，3，5，19.2.若集合A=x|-3x4和B=x|2m-1xm+1.(1)当m=-3时，求集合(RA)B.(2)当AB=B时，求实数m的取值范围.【解析】(1)当m=-3时，集合RA=x|x4，B=x|-7x-2.所以(RA)B=x|-7xm+1，即m2时，B=，满足BA，当2m-1m+1，即m2时，B，若BA，则

7、解得-1m3，又m2，所以-1m2，综上所述，m的取值范围是m-1.素养三逻辑推理角度1判断集合间的关系【典例5】集合M=x|x=3k-2，kZ，P=y|y=3n+1，nZ，S=z|z=6m+1，mZ之间的关系是()A.SPMB.S=PMC.SP=MD.P=MS【解析】选C.运用整数的性质求解.集合M，P表示的是被3整除余1的整数集，集合S表示的是被6整除余1的整数集.【类题通】1.集合间关系的判断方法(1)定义法：根据定义直接判断元素与集合间的关系，得出集合间的关系.(2)图示法：利用数轴或Venn图表示出相应的集合，根据图示直观地判断.2.求解集合间关系问题的两个注意事项(1)解含有参数的

8、不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论，分类时遵循“不重不漏”的原则，且对每类情况都要给出问题的解答.(2)对于两集合A，B，当AB时，不要忽略A=.【加练固】已知集合A=xR|x2-3x+2=0，B=xN|0x5，则满足条件ACB的集合C的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选D.A=xR|x2-3x+2=0=1，2，B=xN|0x5=1，2，3，4.因为ACB，所以集合C可以为1，2， 1，2，3， 1，2，4， 1，2，3，4共4个.角度2充分条件和必要条件【典例6】已知集合A=xR|2x+m0，B=xR|x3，(1)是否存在实数m，使得xA是xB成立的充分条件？(2)是否存在实

9、数m，使得xA是xB成立的必要条件？【解析】(1)欲使xA是xB成立的充分条件，则只要x|x3，则只要-1，即m2，故存在实数m2时，使xA是xB成立的充分条件.(2)欲使xA是xB成立的必要条件，则只要x|x3，则这是不可能的，故不存在实数m，使xA是xB成立的必要条件.【类题通】充分条件与必要条件的判断方法(1)定义法(2)集合法：写出集合A=x|p(x)及B=x|q(x)，利用集合之间的包含关系加以判断.用集合法判断时，要尽可能用图示、数轴等几何方法，图形形象、直观，能简化解题过程，降低思维难度.【加练固】 判断m2是否是关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件.【解析】(1

10、)因为m2，所以=m2-40，方程x2+mx+1=0有实根.设x2+mx+1=0的两个实根为x1，x2，由根与系数的关系知x1x20.所以x1，x2同号.又因为x1+x2=-m-2，所以x1，x2同为负根.所以m2关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根.(2)因为x2+mx+1=0的两个实根x1，x2均为负，且x1x2=1，所以m-2=-(x1+x2)-2=-2=-=-0，所以m2.所以关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根m2.从而m2关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根.所以m2是关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件.角度3全称量词命题和存在量词命题及其否定【

11、典例7】写出下列全称量词命题或存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假：(1)p：空集是任何一个非空集合的真子集.(2)q：xR，4x22x-1+3x2.(3)r：x-2，-1，0，1，2，|x-2|2.(4)s：所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径.【解析】(1)p：存在一个非空集合，空集不是该集合的真子集.由p是真命题可知p是假命题.(2)q：xR，4x22x-1+3x2，因为4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+10，所以当x=1时，4x2=2x-1+3x2.由q是假命题可知q是真命题.(3)r：x-2，-1，0，1，2，x-22.因为当x=1时，x-2=13.(3)r：二次函数的图象是抛物线.(4)s：在实数范围内，有些一元二次方程无解.【解析】(1)p：x3，5，7