“华约”2020年自主招生数学全真模拟试题（通用）

1、2020年“华约”高级大学自主选拔学业能力测试全真模拟1数学和逻辑A 1/2 B 2/5 C 3/5 D 4/73 .在正四角锥中，侧棱与底面所成的角，侧面与底面所成的角，侧面等腰三角形的底角，相邻的两侧面所成的二面角，的大小关系()(A)(B)(C)(D )。4 .已知的f (x )=|x1|x2| x 2020| x-1| x-2 | x-2020|(x-r )，f(a2-3a 2)=f(a-1 )。(a )两个(b )三个(c )四个(d )无数个5 .若设在平面上形成满足约束条件的点(x，y )的区域为d，设区域d关于直线y=2x对称的区域为e，则区域d和区域e中距离最近的两面三点的距

2、离为()A.B.C.D假设6.m，n|x=a 2102 a-110 a0，其中ai 1，2，3，4，5，6，7 、I=0，1，2且m n=636，则实数对(m，n )在平面上的不同点的数量为().(A)60个(B)70个(C)90个(D)120个1234567897 .数列定义如下。如果是，正整数的最小值是().A 4025 B 4250 C 3650 D 44258 .用红、黄、蓝三种颜色之一涂的途中的标签是的9个小正方形(图)，如果相邻(有共同边)的小正方形的颜色不同，或者“3、5、7”的数字涂上相同的颜色，则满足条件的所有填充方法都是共享的()A 96 B 108 C 112 D120假

3、设an=2n、bn=n、(n=1、2、3 )。 的双曲馀弦值。 的双曲馀弦值。 ) An、Bn分别成为数列an、bn的上位n项。 如果记为cn=anbnan-anbn，则数列cn的前10项是()a.21053 b.21153 c.110 (29-1 ) d.110 (210-1 )如图10图所示，以、为顶点，以和的中点为顶点，以和的中点为顶点继续下去的话，下一个选择是错误的()a构成的正三角形的边的长度构成公比的等比数列b每个正三角形在直线()上有一个顶点c的第六个正三角形的第五个正三角形边上不存在的顶点的坐标第d个正三角形的第一个正三角形边上不存在的顶点的横轴是2、解答问题：解答应该写文字说

4、明、证明过程或运算程序。11.(本小题满分14点)双曲线：(，)的离心率为2，过点()的斜率为1的直线为双曲线，已知以两点相交(1)求双曲线方程式(2)作为双曲线右支上动点，作为双曲线的右焦点，轴负半轴上存在定点或存在，则不存在求点的坐标时，请说明理由12.(本小题满分14分)已知函数(I )求(II )满足已知数列，求数列的通项式(iii )求证书：13.(本小题满分14点)函数f(x)=x2-mlnx，h(x)=x2-x a。(I )在I)a=0时，f (x ) UUU (x )在(1，)一定成立，求出实数m的可取范围(ii )当m=2时，当函数k(x)=f(x)-h(x )正好在 1，3

5、 中存在两个不同的零点时，求出实数a的可取范围(III )如果存在实数m，并且函数f(x )和函数h(x )在公共定义域中是否具有相同的单调性，则求出m的值，如果不存在，则说明理由。14.(本小题满分14分)ABC中，设为a、b、c的对边分别是a、b、c向量(1)求出角a的大小(2)年轻的面积15.(本小题满分14点)已知m、n为正整数(I )在x-1的情况下，(1 x)m1 mx；(ii)n6、已知、求证、m=1、1、2、n；求出满足(iii )式3n 4m (n 2)m=(n 3)n的全部正整数n。2020年“华约”高级大学自主选拔学业能力测试全真模拟1的答案1.C 2.B三. a4 .解

6、：根据问题，假设f(x )为偶函数，当- 11时，认为是恒有的f(x)=2(1 2 2020)=20202020。因此，当-1a2-3a 21和-1a-11时，总是存在f(a2-3a 2)=f(a-1 ) .由于不等式-1a2-3a 21的解集为a，不等式-1a-11的解集为0a2，所以在a2的情况下，f(a2-3a 2)=f(a-1 )总是存在.5.(B )。6 .解：我知道题为6=5 1=4 2=3 3，一位数字的选择有五种。 因为3=2 1=7 6-10，(由3=2 1知道，第一位数字的选择可能性是25=10种(从3=7 6-10以及5=4 1=2 3可知，由于最初的数字的选择项是24=

7、8种，所以相当于问题设定的不同点的数量是5 (108 )7. A 8.B解：首先观察图形中的1、5、9，有三种可能性，在1、5、9是任一种颜色的情况下2、6有4种可能，其中2种2、6涂相同的颜色，分别有2种可能的6种可能4、8和7类似于2、6和3可以有六种可能，与2、6、3颜色无关在以1、5、9更换其他颜色的情况下也同样，满足条件的所有涂法均为366=108种9.(D). 10.C解：从问题意中得到的各正三角形边的长度是前三角形边的长度的1/2，因此是正确的从图形的规律可以看出，各正三角形有一个顶点在直线AP2x=1上，是正确的由于第六个正三角形的边的长度是1/64，所以顶点P6的横轴是63/

8、64，P5的纵轴是/2-/8-/16=5/16因此，顶点P6的纵轴为5/16 /64=21/64，因此发生了c错误第n个正三角形的第n-1个正三角形边上不存在的顶点Pn的横轴是xn，xn=，d是正确的.11.(1)由于双曲线离心率为2，双曲线方程式为另外，直线方程式.这样的话因为结合，解.代入，得到，简化.另外而且所以，此时，代入明确了这个方程式有两个不同的实根。双曲线方程式(2)假设存在点，从(1)可知，双曲线右焦点为.双曲线右分支上的点.当时，代入整理这样，就能解开了当时，那个时候很合适所以满足要求.存在满足条件的点，其坐标为.12. ()为设S=(1)。S=.(2)(1) (2)增益：=

9、，所以S=3012()从两侧减去1得到所以因此，以2为公差为首的等差数列所以因为。所以所以13解： (1)a=0，f，h (x )中-mlnx-x，即于是，f(x)h(x )恒定地成立于(1，)是等价的.求当时。x=e取极小值、最小值也就是说，故(2)函数k(x)=f(x)-h(x )在 1，3 中有两个不同的零点相当于方程式x-2lnx=a， 1，3 中有两个不同的实根。假设g(x)=x-2lnx当时，当时g(x )在 1，2 中是单调递减函数，在上面是单调递增函数。所以，g(1)=1，g(3)=3-2ln3仅仅通过g(1)g(3)、g(2)0，就能解除x或x-(舍去)因此，函数单调增加区间

10、为(，) .单调减少区间是(0)、h(x )的(0，)处的单调减少区间是(0)、单调增加区间是(，)因此，当=、解得到的m=即m=时，函数f(x )和函数h(x )在共同的定义域中具有相同的单调性。十四解(1)又来了(2)是等腰三角形15解： (I )证： x=0或m=1时，原不等式中号明显成立，用数学归纳法证明在x-1、x0时，m2，为(1 x)m1 mx .(I )在m=2的情况下，左边=1 2x，右边=1 2x，x0，所以x20，即左边右边，不等式成立(ii )假设在m=k(k2 )的情况下，不等式成立，即设(1 x)k1 kx，则在m=k 1的情况下，由于x-1，故为1 x0.另外，由于x0，k2，故为kx20.因此，不等式(1 x)k1 kx的两侧乘以1 x(1x ) k (1x ) (1kx ) (1x )=1(k1 ) xk x21 (k1 ) x因此，当(1 x)k 11 (k 1)x、即m=k 1时，不等式也成立.如上所述，所证明的不等式成立(ii )证：当从(I )开始(iii )解：假设正整数成立即，()=1.另外，可以从(ii )中得到（）与公式矛盾因此，在n6的情况下，不存在满足该式的正整数n .因此，只要研究n=