初三 数学 一元二次方程应用 集锦

1、LYR(2010-09-30) 一元二次方程应用 集锦面积、体积问题01一元二次方程的应用04一元二次方程根的判别式的综合应用08一元二次方程复习指南11一元二次方程应用题例解13 二次三项式的因式分解16 面积、体积问题 教学内容 根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题 教学目标 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题 利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题 重难点关键 1重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题 2难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模

2、型 教学过程一、复习引入：先回忆下面的问题：1直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？2正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？3梯形的面积公式是什么？4菱形的面积公式是什么？27215平行四边形的面积公式是什么？ 6圆的面积公式是什么？ 二探求新知（一）探究要设计一本书的封面,封面长27,宽21,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）?分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两边之比也为9:7解法一:设正中央的矩形两边分别为9

3、xcm，7xcm依题意得解得 故上下边衬的宽度为:左右边衬的宽度为:分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为9:7解法二:设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm依题意得解方程（方程的哪个根合乎实际意义? 为什么）（二）某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条宽度相同的道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积均为540平方米。（题图） （题图）解:(1)如图，设道路的宽为

4、x米，则化简得 解之得 其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去.图(1)中道路的宽为1米.（2）分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2。解法一、 如图，设道路的宽为x米，化简得， 其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.解法二：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）相等关系是：草坪长草坪宽=540平方米（三）(2004年,镇江)学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花圃. （1）若请你在这块空地上设计一

5、个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案. （2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由。解：（1）本题 方案有无数种（长宽分别是64的约数但注意长宽的数据和40、20的关系） （2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面积不能增加2平方米.由题意得长方形长与宽的和为16米.设长方形花圃的长为x米，则宽为（16-x）米.x(16-x)=63+2， x2-16x+65=0此方程无解.在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加2平方米三反

6、馈训练1在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周80cmxxxx50cm镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果四周金色纸边的面积是1400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是【 】Ax2+130x-1400=0 Bx2+65x-350=0Cx2-130x-1400=0 Dx2-65x-350=02.用20厘米长的铁丝能否折成面积为30平方厘米的矩形,若能够,求它的长与宽;若不能,请说明理由.3. (2003年,舟山)如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米，花圃ABCD的面积为S米2

7、，（1）S与x的函数关系式为。（2）如果要围成面积为45米2的花圃，AB的长是。（附参考答案：1. B2.解:设这个矩形的长为xcmx2-10x+30=0此方程无解用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.）3. 设宽AB为x米，则BC为(24-3x)米，这时面积S=x(24-3x)=-3x2+24x(2)由条件-3x2+24x=45化为：x2-8x+15=0解得x1=5，x2=3024-3x10得14/3x8x2不合题意，AB=5，即花圃的宽AB为5米四小结列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答这里要特别注意:在列一元二次方程解应用题

8、时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求 一元二次方程的应用 知识梳理一、知识结构二、知识要点归纳1.数学应用题由实际情景加工整理成抽象实际的问题，通过数学化变成数学问题.经过求解、检验、修正改进等进而产生的问题称为数学应用问题，数学应用题是经过加工的数学应用问题，是呈现在我们中学生面前的数学应用问题.从数学应用问题到数学应用题作了以下几个方面的“加工”.加工“背景”：让背景材料为学生所熟悉的材料；让背景材料较为简洁.加工“数学”：让“数学化”的过程较为简单，让各环节中使用的数学思想、方法和知识都是学生所能接受的.加工“检验”：在问题中的检验和讨论“实际化”即检验数

9、学结果是否合乎实际问题，有验证的意识就可以了.解一元二次方程的数学应用题的一般步骤找找出题中的等量关系设设未知数列列出方程，即根据找出的等量关系列出含有未知数的等式解解出所列的方程验将方程的解代入方程中检验，回到实际问题中检验答作答下结论三、中考改革趋势一元二次方程的应用是中考数学重点考查的内容之一，它的试题背景与二元一次方程组的应用、简单分式方程的应用、一元一次方程的应用一样，随着改革的继续而更富有时代的气息，更宣于生活化，更贴近学生的实际.（一） 解题指导例1.将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利

10、润，售价应定为多少？这时应进货多少个？分析：如果按单价50元售出，每个利润是10元，卖出500个，只能赚得5000元.为了赚得8000只.只能涨价，但要适度，否则销售量就少得太多.其中的等量关系是：每个商品的利润销售量=8000（元）.这里的关键是如何表示出每个商品的利润和销售量的问题.解：设商品的单价是元，则每个商品的利润是元，销售量是个.由题意列方程为 整理，得 .解方程，得 .故商品的的单价可定为50+10=60元或50+30=80元.当商品每个单价为60元时，其进货量只能是500-1010=400个，当商品每个单价为80元时，其进货量只能是 500-1030=200个.答：售价定为60

11、元时，进货是400个，售价定为80元时，进货是200个.点评：此题属于能力要求较高的一元二次方程应用题.关键在于表示出两个“动态”的量：每个商品的利润、销售的量.例2.某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？分析：运用基本关系式：基数（1+平均增长率）n=实际数.当然首先要求（或表示）出基数：=60040%.解：设2001年预计经营总收入为万元，每年经营总收入的年增长率为. 根据题意，得 解

12、方程，得不合题意，舍去）， 答：2001年预计经营总收入为1800万元.点评：本题是有关增长率问题，它的基本关系式是：基数=实际数.例3.某市供电公司规定，本公司职工，每户一个月用电量若不超过千瓦时，则一个月的电费只要交10元，若超过千瓦时，则除了交10元外，超过部分每千瓦/时还要交元.一户职工三月份用电80千瓦时，交电费25元；四月份用电5千瓦时，交电费10元，试求的值.分析：本题需先判断的范围，再建立等量关系：超过千瓦时所交的钱+10元=25元.以此来作为解决问题的突破口.解：由题意，可知45. 且有 . 解得 （千瓦时），（不合题意，舍去）.答：的值为50千瓦时.（二） 解题指导例1.如

13、图3-9-1所示,某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与平行,另一条与垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144米2,求甬路的宽度?分析:为了使问题简化,不妨把种小块矩形草坪平移后拼成一大块矩形草整体思考,问题便显得轻而易举.解:可设甬路宽为米,依题意,得,解得(不合题意,舍去).答:甬路的宽度为2米.例2.如图3-9-2所示要建一个面积为150m2的长方形养鸡场,为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙,墙长为m,另三边用竹篱笆围成,已知篱笆总长为35m.(1)求鸡场的长与宽各为多少米?(2)题中的墙长度m对题目的解起着怎样的作用?分析:

14、从几何图形建立等量关系式.从所列得的方程的解、分类讨论的不同取值所产生的影响.解：（1）设鸡场的宽为m，则长为m.依题意列方程为 .整理，得 .解方程，得.所以当时，.答：当鸡场的宽为10m时，长为15m；当鸡场宽为7.5m时，长为20m.（2）由（1）解得结果可知：题中墙长m对题目的解起严格的限制作用.当时，问题无解；当时，问题只有一解，即可建宽为10m，长为15m的一种鸡场；当时，问题有两解.点评：应注意讨论对题目的解起的关键作用.例3.已知：如图3-9-3所示，在中，.点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动.（1）如果分别从同时出发，那么几秒后

15、，的面积等于4cm2？（2）如果分别从同时出发，那么几秒后，的长度等于5cm？（3）在（1）中，的面积能否等于7cm2?说明理由.分析：设出未知数后，关键是用含未知数的代数式表示与问题有关的线段、面积等.解 （1）设s后，的面积等于4cm2，此时，.由得 .整理，得 .解方程，得 .当时，,说明此时点越过点，不合要求.答：1s后，的面积等于4cm2.（2）仿（1），由 得.整理，得 解方程，得（不合，舍去），.答：2s后， 的长度等于5cm.（3）仿（1），得整理，得 容易判断此方程无解.答：的面积不可能等于7cm2.点评：较为复杂的一元二次方程在几何（图形）上的应用，往往要借用一些几何知识，

16、如：面积公式；勾股定理；其它乘积关系的几何定理等等.观察图形，寻找等量关系，列出方程是解这类问题的关键.一元二次方程根的判别式的综合应用一、知识要点：1. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b24ac。定理1 ax2+bx+c=0（a0）中，0方程有两个不等实数根.定理2 ax2+bx+c=0（a0）中，=0方程有两个相等实数根.定理3 ax2+bx+c=0（a0）中，0方程没有实数根.2、根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。定理4 ax2+bx+c=0（a0）中，方程有两个不等实数根0。定理5 ax2+bx+c=0（a0）中，方程有两个相等实数根

17、0。定理6 ax2+bx+c=0（a0）中，方程没有实数根0。注意：（1）再次强调：根的判别式是指=b24ac。（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。（3）如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b24ac0切勿丢掉等号。（4）根的判别式b24ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a0.二、根的判别式有以下应用： 不解一元二次方程，判断根的情况。例1 不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）2x2+3x4=0（2）ax2+bx=0（a0）解：（1） 2x2+3x4=0a=2, b=3, c

18、=4,=b24ac=3242（4）=410方程有两个不相等的实数根。（2）a0, 方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，=（b）24a0=b2,无论b取任何关数，b2均为非负数，0，故方程有两个实数根。 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。例2k的何值时？关于x的一元二次方程x24x+k5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；分析：由判别式定理的逆定理可知（1）0；（2）=0；（3）0；解：=（4）24（k5）=164k+20=364k（1）方程有两个不相等的实数根，0，即364k0.解得k9（2）方程有两个不

19、相等的实数根，=0，即364k=0.解得k=9（3）方程有两个不相等的实数根，0，即364k9 证明字母系数方程有实数根或无实数根。例3求证方程（m2+1）x22mx+（m2+4）=0没有实数根。分析：先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。证明：=（2m）24（m2+1）（m2+4）=4m24（m4+5m2+4）=4m416m216=4（m4+4m2+4）=4（m2+2）2不论m取任何实数（m2+2）20, 4（m2+2）20, 即0时，关于x的方程c（x2+m）+b（x2m）2ax=0有两个相等的实数根。求证ABC为Rt。证明：整理原方程：方

20、程c（x2+m）+b（x2m） 2ax =0.整理方程得：cx2+cm+bx2bm2ax =0（c+b）x22ax +cmbm=0根据题意：方程有两个相等的实数根，=（2a）24（c+b）（cmbm）=04ma24（c2mbcm+bcmb2m）=0ma2c2m+b2m=0=m（a2+b2c2）=0又 m0,a2+b2c2=0a2+b2=c2又a,b,c为ABC的三边，ABC为Rt。判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式例5、（1）若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式则k的值可能是（ ）;（2）若关于a的二次三项式ka2+4a+1是一个完全平方式则k的值可能是（）;分析

21、：可以令二次三项等于0，若二次三项是完全平方式，则方程有两个相等的实数根。即=0解：（1）令16a2+ka+1=0方程有两个相等的实数根，=k241625=0 k=+40或者40（2）令ka2+4a+15=0方程有两个相等的实数根，=164k=0 k=4 可以判断抛物线与直线有无公共点例6：当m取什么值时，抛物线与直线y=x2m只有一个公共点？解：列方程组消去y并整理得x2+xm1=0，抛物线与直线只有一个交点，0，即4m+5=0 （ 说明：直线与抛物线的交点问题也可归纳为方程组的解的问题。） 可以判断抛物线与x轴有几个交点分析：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点 （）当y=0时，即有ax

22、2+bx+c=0，要求x的值，需解一元二次方程ax2+bx+c=0。可见，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况确定的，而决定一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况的，是它的判别式的符号，因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形： 当时，抛物线与x轴有两个交点，若此时一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则抛物线与x轴的两个交点坐标为（x1，0）（x2，0）。当时，抛物线与x轴有唯一交点，此时的交点就是抛物线的顶点，其坐标是（）。当 时，抛物线与x轴没有交点。例7、判定下列抛物线与x轴交点的个数：（）（）（）解：（）161

23、2=40 抛物线与x轴有两个交点。（）3636=0 抛物线与x轴只有一个公共点。（）416=120，即 4m+80 m2（2）抛物线和x轴只有一个公共点，0，即 4m+8=0 m=2当m=2时，方程可化为，解得x1=x2= 1，抛物线与x轴公共点坐标为（1,0）。（3）抛物线与x轴没有公共点，0，即4m+82当m2时，抛物线与x轴没有公共点。 利用根的判别式解有关抛物线（0）与x轴两交点间的距离的问题.分析：抛物线 （0）与x轴两交点间的距离，是对应的一元二次方程 的两根差的绝对值。它有以下表示方法：例9： 求当a为何值时?二次函数图象与x轴的两个交点间的距离是3。解：令y=0，得方程，设这个

24、一元二次方程的两根分别为x1和x2，则由得，即。进而得a=或a=。 当时，图象与x轴两个交点间的距离是3。一元二次方程复习指南本章内容主要分为三部分，第一部分是一元二次方程的有关概念第二部分是一元二次方程的解法第三部分是实际与探索（即一元二次方程的应用），该章是初中数学中十分重要的一个内容，是各地中考基本题、中档题和高分题命题的一个热点题源主要题型有： （1）不解方程，判断方程根的情况（2）求方程中的参系数值、范围或相互关系（3）确定抛物线与轴的位置关系（4）验根、求根或确定方程根的符号（5）求与方程根有关的代数式的值（6）列方程解应用题应用题主要讨论行程问题、工程问题等及其他类型的常见应用问

25、题近年出现的一些与市场经济、社会重大问题等有关的新颖情境问题层出不断，且已成为中考命题的方向一、主要知识解读1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程它的一般形式是2、一元二次方程的解法直接开平方法配方法求根公式法因式分解法理论依据平方根的定义完全平方公式直接开平方法配方法和直接开平方法，则或适用题型，所有的一元二次方程所有的一元二次方程左边能分解因式，右边为的方程方法或步骤观察方程是否符合或；直接开平方，得两个一次方程；3、解一元一次方程得原方程的两个根化二次项系数为1 移项，使方程左边之含有二次项和一次项，右边为常数项方程两边都加上一次项系

26、数一半的平方原方程变为1、把方程化为一般形式2、确定 的值3、求出 值4、的值代入1、将方程右边化为2、将方程左边进行因式分解3、令每个因式等于，得两个一元一次方程4、解这两个一元一次 方程，得方程的两个根五、典型例题解析例1方程是一元二次方程，则 = 命题意图：考查一元二次方程的概念及其成立的条件（二次项系数不为零）思路分析：首先根据一元二次方程的定义得，；再由一元二次方程的定义中这一条件得来求的值解：例2请写出一个根为，另一个根满足的一元二次方程 命题意图：本题考查一元二次方程根的定义思路分析：本题是道开放型试题，答案不唯一首先要明确一元二次方程的概念及其解的含义，其次要选用恰当的方法待定

27、系数法，即可以先假定中中一个数的值已给定，然后将方程的根代入原方程，求得另两个数，从而求得的值解：因为另一个根满足，所以不妨设另一根为0，那么满足条件的方程可以为例3用配方法解方程：命题意图：本题考查用配方法解一元二次方程思路分析：用配方法解一元二次方程的关键是：首先将二次项系数化为，并将常数项移到方程右边后，关键是方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后写出完全平方的形式，用直接开平方法求得解：，所以，所以，例4某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为kg，出油率为（即每千克花生可加工成花生油kg）现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油kg，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的

28、，求新品种花生亩产量的增长率命题意图：考查学生运用增长率解决实际问题的能力思路分析：增长率问题在近年中考试题中频频出现，解决此类问题应掌握：（1）增长率是指增长数与基准数的比；（2）如果设基准数为，增长率为，那么第一次增长后的亩产量为解：设新品种花生亩产量的增长率为，根据题意，得，解得 (不合题意舍去)答：新品种花生亩产量的增长率为例5某百货商场服装柜在销售中发现“宝乐”牌童装平均每天可售出件，每件盈利元为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存经市场调查发现；如果每件童装每降价元，那么平均每天就可多售出件要想平均每天在销售这种童装上盈利元，那么每件童装

29、应降价多少元？命题意图：本题考查一元二次方程解应用题及分析问题和解决实际问题的能力思路分析：解决本题的关键是根据“每天所卖童装件数每件童装赢利=每件赢利元”关系式建立方程不妨设每件降价元，可知在每天售件，每天盈利元的基础上，根据每降价元，就多售件得降价元，多售件，即售件，相应每件盈利减少元，即盈利元，列出方程并求解，对所求结果，还要结合“减少库存”进行取舍，从而得到最后结果解：设降价元，则，解得，由于要减少库存，故降价越多，售出越多，库存越少，故取答：每件降价元一元二次方程应用题例解复习（1）原产量+增产量=实际产量（2）单位时间增产量=原产量增长率（3）实际产量=原产量（1+增长率）例1 某

30、钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？分析：设平均每月的增长率为x那么：则2月份的产量是5000+5000x=5000（1+x）（吨）3月份的产量是5000（1+x）+5000（1+x）x =5000（1+x）2（吨）解：设平均每月的增长率为x，据题意得： 5000（1+x）2=7200（1+x）2=1.441+x=1.2 x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）取x=0.2=20注意以下几个问题：（1）为计算简便、直接求得，可以直接设增长的百分率为x（2）认真审题，弄清基数，增长了，增长到等词语的关系（3）用直接开平方法做

31、简单，不要将括号打开我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型请同学们完成下面问题 例2某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？分析：直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为x因为一月份是1万台，那么二月份应是（1+x）台，三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长的同样“倍数”增长，即（1+x）+（1+x）x=（1+x）2，那么就很容易从第一季度总台数列出等式 解：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为x，则1+（1+x）+（1+x）2=3.31 去括号：

32、1+1+x+1+2x+x2=3.31 整理，得：x2+3x-0.31=0 解得：x=10% 答：（略）例3将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？解：设商品的单价是元，则每个商品的利润是元，销售量是个.由题意列方程为 整理，得 .解方程，得 .故商品的的单价可定为50+10=60元或50+30=80元.当商品每个单价为60元时，其进货量只能是500-1010=400个，当商品每个单价为80元时，其进货量只能是 500-1030=200个.答：售价定为60元时，进货是4

33、00个，售价定为80元时，进货是200个例4某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？解：设2001年预计经营总收入为万元，每年经营总收入的年增长率为. 根据题意，得 解方程，得不合题意，舍去）， 答：2001年预计经营总收入为1800万元.例5某市供电公司规定，本公司职工，每户一个月用电量若不超过千瓦时，则一个月的电费只要交10元，若超过千瓦时，则除了交10元外，超过部分每千瓦/时还要交元.

34、一户职工三月份用电80千瓦时，交电费25元；四月份用电5千瓦时，交电费10元，试求的值.解：由题意，可知45. 且有 . 解得 （千瓦时），（不合题意，舍去）.答：的值为50千瓦时.例6如图3-9-1所示,某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与平行,另一条与垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144米2,求甬路的宽度?解:可设甬路宽为米,依题意,得,解得(不合题意,舍去).答:甬路的宽度为2米.例7如图3-9-2所示要建一个面积为150m2的长方形养鸡场,为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙,墙长为m,另三边用竹篱笆围成,已知篱笆总长为

35、35m.(1)求鸡场的长与宽各为多少米?(2)题中的墙长度m对题目的解起着怎样的作用?解：（1）设鸡场的宽为m，则长为m.依题意列方程为 .整理，得 .解方程，得.所以当时，.答：当鸡场的宽为10m时，长为15m；当鸡场宽为7.5m时，长为20m.例8已知：如图3-9-3所示，在中，.点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动.（1）如果分别从同时出发，那么几秒后，的面积等于4cm2？（2）如果分别从同时出发，那么几秒后，的长度等于5cm？（3）在（1）中，的面积能否等于7cm2?说明理由.解 （1）设s后，的面积等于4cm2，此时， ，.由得 .整理，

36、得 .解方程，得 .当时，,说明此时点越过点，不合要求.答：1s后，的面积等于4cm2.（2）仿（1），由 得.整理，得 解方程，得（不合，舍去），.答：2s后， 的长度等于5cm.（3）仿（1），得整理，得 容易判断此方程无解.答：的面积不可能等于7cm2.例9利用墙为一边，再用13米长的铁网当三边，围成一个面积为20平方米的长方形露天仓库，问这个长方形的长、宽各是多少？解：设沿墙的走向的边长为A，则宽如图为a，于是我们有A+2a13m A13-2a露天仓库的面积为： 得出方程： 解得：所以： 经验算两个解均满足题意，于是可知露天仓库的长和宽应该为：长5m、宽4m或长8m、宽2.5m.例10

37、现有长方形纸片一张，长19cm,宽15cm,需要剪去边长是多少的小正方形才能做成底面积为77cm2的无盖长方形的纸盒？解：设需要剪去的小正方形边长为cm，则盒底面长方形的长为(192)cm,宽为(152)cm. 根据题意： (192)(152)=77整理后得： 解得： 当时，152=11（不合题意，舍去）.答：需要剪去的小正方形边长为4cm. 例11某商品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率一样。求每次降价的百分率。（精确到0.1%）分析1：“两次降价的百分率一样”，指的是第一次和第二次降价的百分数是一个相同的值，即两次按同样的百分数减少，而减少的绝对数是不相同的，设每次降价

38、的百分率为，若原价为，则第一次降价后的零售价为，又以这个价格为基础，再算第二次降价后的零售价。解设原价为a元，每次降价的百分率为x.根据题意，得a(1x) 2a 解这个方程，得x由于降价的百分率不可能大于1，所以x不符合题意，因此符合本题要求的x为29.3%.答：每次降价的百分率为29.3%. 例10-1某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到0.1%）解，设原价为元，每次升价的百分率为，根据题意，得 解这个方程，得由于升价的百分率不可能是负数，所以不符合题意，因此符合题意要求的为答：每次升价的百分率为9.5%。例11某种药品，原来每盒售

39、价96元，由于两次降价；现在每盒售价54元。平均每次降价百分之几？解：设平均每次降价的百分率为，依题意，得96(1-x)2=54 ，因为不合题意，所以只能取。 答：平均每次降价的百分率是。小结本节类型题目的方法： 关于量的变化率问题，不管是增加还是减少，都是变化前的数据为基础，每次按相同的百分数变化，若原始数据为，设平均变化率为，经第一次变化后数据为；经第二次变化后数据为。在依题意列出方程并解得值后，还要依据的条件，做符合题意的解答。例2某学生因营养过剩，缺乏锻炼，去年的体重是斤，今年的体重是斤，（）今年较去年体重的增长率为_,（）按上题增长率，则预计明年他的体重是_。分析：年增长率 100

40、本年值上年值上年值年增长率本年值上年值年增长率上年值上年值（年增长率）例13某家庭前年人均收入为3000元，到今年人均收入为4320元，如果每年人均收入增长率相同（也叫平均增长率），求：这个增长率？分析：如果该增长率用x表示，那么去年人均收入为3000(1+x)元，今年人均收入为3000(1+x)(1+x)元，这样可列出方程求解解：设这个家庭的人均收入增长率为x3000(1+x)2=4320 (1+x)2=1.441+x=1.2或1+x=-1.2(不合题意，舍去）x=0.2=20%答：这个家庭人均收入增长率为例14随着北京奥运会的临近，某生产奥运产品的产家，四月份的产值为120万元，第二季度的

41、产值为570万元，那么该厂第二季度的月平均增长率为多少？解：设该厂第二季度的月平均增长率为x120+120(1+x)+120(1+x)2=5704(1+x)2+4(1+x)-15=02(1+x)+52(1+x)-3=0 x1=0.5=50% x2=-3.5(不合题意，舍去)答：该厂第二季度的月平均增长率为50%。例15某种产品原来每件价格为800元，但因科技含量不足，决定降价销售，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每件售价为512元，求每次降价的百分率？解：设每次降价的百分率为x 800(1-x)2=512 (1-x)2=0.64 1-x=0.8或1-x=-0.8(不合题意，舍去） x

42、=0.2=20%答：每次降价的百分率为20%。例16某品牌服装每件进价为300元，卖出价按成本价增加50%，后因款式老化，商店决定打折，但销路仍不畅，因此再打同样的折扣出售，卖出后每件还每赚64.5元，问这两次商品所打折扣是几折？解法：（一）设这两次商品打了x折 x=9答：这两次商品打了折。解法：（二）设这两次商品的降价率为x300(1+50%)(1-x)2=300+64.5 (1-x)2=0.811-x=0.9或1-x=-0.9(不合题意，舍去） x= 0.1答：这两次商品打了折。例17中国股市正碰上千年难遇的牛市，股指一路上扬，某股票分析师根据近几天的股指的变化绘制了如下的图，股指星期一二三四3307.53000（）如果假设这几天的增长率相同，你能否为大家预测一下星期四的股指是多少？说明一下。（）但股市毕竟风险很大，有一个每股20元的股票经过几次跌停版（即每一次下跌前一股价的10）变为16.2元股，问这个股票经历了几次跌停版？是否经过相同次数的涨停