第 3 章(II)多自由度系统的振动

1、第三章多自由度系统的振动李西南交通大学2015.09，2020年6月26日，振动力学，2020年2月26日，中国力学学会学术会议 2005 ，2020年2月26日，2 .课件可免费用于教师教学和学生学习。它不能用于任何商业目的。本课件的一部分是指上海交通大学的陈国平教授和太原科技大学的杨建伟教授的课件。作者想对两位教授表示衷心的感谢。如果课件无意中损害了两位教授的利益，作者在此致歉。本课件基于高淑英、沈火明主编的振动力学(中铁出版社，2011)前四章。感谢研究生蒋和对其工作的文字录入，2020年6月26日振动力学，3，教学内容，2020年6月26日振动力学，3，教学内容，振动多自由度系统固有特

2、性的近似解，2020年6月26日4。教学内容，多自由度系统振动的近似解/多自由度系统的固有特性，2020年6月26日，振动力学，4，多自由度系统固有特性的近似解，邓恩利，瑞利，里兹，传递矩阵法，矩阵迭代法，2020年6月26日，010多自由度系统振动的近似解/多自由度系统的固有特性/邓恩利法，1邓恩利法设N自由度系统的质量矩阵和柔度矩阵为自由振动方程，2020年6月26日，振动力学年6月，多自由度系统振动的近似解/邓克利法。特征方程为=1/2。展开式假设根1=1/12，2=1/22，n=1/n2，则(3.101)可表示为，2020年6月26日，振动力学，7，多自由度系统振动的近似解/邓克利法。

3、1/2，1/3，1/n较小，且ii=1/kii，因此在2020年6月26日，振动力学，8，多自由度系统振动的近似解/多自由度系统固有特性/Dunkley法，因此上述公式为Dunkley公式，而ii为系统质量mii。由于(3.105)左侧省略了一些正项，1/12的值由(3.105)计算，2020年6月26日，振动力学年9月，多自由度系统振动的近似解/Dunkley方法，例3.10图3.15是等截面简支梁。有三个集中质量：m1、m2和m3，梁的抗弯刚度为EI，质量不计算在内。系统第一固有频率的近似值用邓克利法计算。已知m1=m3=m，m2=2m。解法根据材料力学，单位下简支梁挠度曲线的公式为：A和

4、B分别为力作用点至左右两端的距离。2020年6月26日，振动力学，2020年10月，多自由度系统振动的近似解/邓克利法，柔度影响系数计算为1值，由(3.107)计算得出，比精确值小2.5%。2020年6月26日，振动力学年11月，2020年6月26日，振动力学年11月，教学内容，多自由度系统振动的近似解/瑞利法，2020年6月26日，振动力学年11月，多自由度系统固有特性的近似解，邓克立，瑞利，里兹，传递矩阵法，矩阵迭代法，2020年6月26日，0103011年将瑞利多自由度系统的动能t和势能u的表达式代入(3.108)和(3.109)当系统作某一阶主振动时，以及最大动能Tmax和最大势能um

5、ax当系统作第一阶主振动时，2020年6月26日，振动力学，13，多自由度系统振动/多自由度系统固有。 根据机械能守恒定律，Tmax=Umax，将(3.115)中的A(i)代入假设的模式A，结果表示为R1，称为这种计算系统固有频率的方法称为瑞利法。由于很难选择接近高阶主模态的A(i)，瑞利法通常不用于计算高阶固有频率，而仅用于计算低阶固有频率。2020年6月26日，振动力学，14，多自由度系统振动的近似解/瑞利法。如果将接近一阶主模态的假设模态A代入(3.115)，瑞利商就是一阶固有频率的平方近似值。证明如下：如果假设模态A不是主模态，它可以用瑞利商正则模态，2020年6月26日，振动力学年1

6、5日，和多自由度系统振动/固有特性的近似解/瑞利法线性表示。如果A接近一阶主模A(1)，那么C2/C11，C3/C11，CN如果很难选择A，你可以选择任意一个A。将其与动态矩阵d (=m)相乘得到B1=DA，然后取B1或其比例B1作为A(1)的近似模形，然后根据(3.116)计算R1，得到12的良好近似。2020年6月26日，振动力学，16，多自由度系统振动的近似解/瑞利法，瑞利法也可用于建立具有柔度矩阵的振动方程，当系统势能U等于外力的功时，即在振动过程中，只有惯性力作用，即由于X，2020年6月26日，01030多自由度系统振动的近似解/多自由度固有特性势能和动能的最大值是Tmax=Uma

7、x，当A是第一主模态，第一固有频率的平方值是(3.122)的i2。 在(3.122)中，假设模式a被替换，结果由R2表示，因此上述公式被称为第二瑞利商。2020年6月26日，振动力学年18日，多自由度系统振动的近似解/瑞利法，注：由(3.115)或(3.123)计算的12总是大于精确值12。选择一个a将增加对系统的约束，提高系统的刚度并增加频率。例3.11用瑞利法计算例3.10中一阶固有频率的近似值。解法根据实例3.10，质量矩阵M和柔度矩阵分别为2020年6月26日振动力学年19日，多自由度系统振动/多自由度系统固有特性近似解/瑞利法，三点静挠度为最大势能，各点最大速度为y1、y2、y3，最大动能为2020年6月，2020年6月26日，振动力学，21，2020年6月26日，振动力学，21，2020年6月26日，振动力学，21，2020年6月26日，2020年6月26日，振动力学，21，2020年6月26日，振动力学，21，2020年6月26日，振动力学， 矩阵迭代法，2020年6月26日，振动力学年23日，振动的近似解/多自由度系统的固有特性/里兹法，3里兹瑞利法可以从理论上求解里兹法改进的瑞利商。 采用其极值形式，可以找到更精确的低阶和高阶振型，不仅可以找到更精确的基频，还可以计算高阶频率和振型。因此，利兹法也被称为瑞利-利兹法。利兹法需要假设几种振动模式并进行线