陕西省周至县高中数学 第一章 推理与证明 1.4 数学归纳法教案 北师大版选修2-2（通用）

1、1.4 数学归纳法一、教学分析这门课是数学归纳法的第一课。此前，学生们已经学会了归纳和推理相关内容的学习，并早期掌握了从有限的多个特殊案例中得出一般结论的推理方法，即不完整的归纳方法。不完全归纳法是研究数学问题、推测或发现数学规律的重要手段，有利于发现问题，形成推测，但结论不一定正确，这种推理方法不能用作一种论证方法。完全归纳，结论可靠，但难以一一确认。因此，需要进一步学习严格的科学论证方法数学推导，解决与正整数相关的数学问题的科学方法。数学归纳法是归纳和推理后促进学生从有限思维向无限思维发展的重要环节。这也是培养学生缜密的推理能力，训练学生抽象的思维能力，体验数学内在美的好素材。二、教育目标

2、学生通过归纳和推理等相关知识的学习，已经基本掌握了不完整的归纳方法，具有一定的观察、归纳和推测能力。通过新课程教学方法和新课程概念的渗透，学生们已经基本上熟悉了所给的问题，但还要进一步提高提出问题和提出问题的能力和怀疑。自己提出问题，敢于怀疑，是学生人格和创新能力的重要标志。如何让学生自己提问和提问？在本课程中，我们在这方面做了一些尝试。根据课程内容特点和新课程高中数学标准及学生现有的知识水平，根据学生的终身发展要求，设定以下教育目标：1.知识和技能(1)从有限数量的特殊事例中得出的一般结论不一定正确。(2)对数学推导原理的初步认识。(3)理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个阶段。(4)用

3、数学推导证明与正整数相关的一些简单恒等式。2.流程和方法(1)通过数学归纳法的学习、应用，培养学生的观察、归纳、推测、分析能力和严密的逻辑推理能力。(2)让学生通过发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。感情、态度和价值(1)通过对数学归纳法原理的探索，培养学生严格实事求是的科学态度和不怕困难、勇于探索的精神。(2)通过理解数学归纳法的原理，让学生感受数学的内在美，让他们喜欢数学。(3)通过怀疑和探索，培养学生独立人格和果断创新的精神。三、教学难点根据新课程教学计划书要求、本单元的内容特点及学生现有的知识水平，决定以下教学的重难。1.焦点：(1)初步理解数学推导的原理

4、。(2)用数学推导阐明命题的两个步骤。(3)初步使用数学归纳法证明与简单正整数相关的数学认同感。2.困难：(1)对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证明问题的贴近性和有效性。(2)假设的利用，即n=k 1时，如何利用假设来证明结论是正确的。四、教学过程步骤1:输入步骤创建学习方案以提供学习内容创设问题情境，开始学生思考不完全归纳法和完全归纳法的比较案例：哪个老师想考验自己的两个门徒，看谁更聪明。他每一筐花生剥皮，把花生粒全部包成粉末，看谁先给答案。大弟子费了很大的劲把花生都剥了。两个徒弟只有几个紧，几个干，几个熟，几个未熟，几个三人，几个一，两个仁，只有一个花生。显然，两个弟子先回答，他比

5、大弟子聪明。在生活及生产实践中，归纳法也广泛使用。例如，气象学家、水文工作者根据累积的历史资料进行气象预报，水文预报，主要使用归纳法。这种归纳方法完全不能使用。回顾数学的古老知识，回溯归纳意识(从生活到数学，和学生一起复习以前学过的数学知识，让学生更真实地感受到归纳意识，让学生感觉到在以前的学习中实际接触了归纳。）(1)不完全归纳法的例子：在已知的数列中，写下这个数列的一般公式。(2)完整归纳法的例子：用另一种方法概括线和椭圆位置之间的关系时，讨论了三种情况。根据数学历史资料，促使学生进行推测以生活例子和所学的数学知识为基础，引导学生多方面地重新看数学历史资料，感受归纳法的普遍性。同时引导学生

6、进行推测：不完全诱导在数学中使用往往会得到错误的结论。无论是我们还是数学家都可以这样做。那么有更好的归纳方法吗？)，以获取详细信息问题1已知=(N-N-N)、(1)另求，2)我们由此可以得出什么结论？(？这个结论正确吗？计算得出的推论。事实上，根据计算。培养学生大胆猜测的意识和数学上的一般火力。一般化是思维能力的核心。鲁宾斯坦指出，思维能力是在一般情况下实现的。心理学认为“转移是一般的”，知识、技术、思维方式、数学原理的转移就是学生的一般化过程问题2，nn时都是小数吗？验证：f (0)=41、f (1)=43、f (2)=47、f (3)=53、f (4)=61、f (5).f (39)=1

7、601。栏f (40)=1 681=，总和。第二阶段：新知识和新知识的作用，构建新知识结构检索生活的例子，激发学习的兴趣在第一阶段的基础上，从生活例子出发，与学生一起分析归纳原理，揭示递归过程。孔子说：“认识的人不如好，好人不如幸福。”关心这种性格心理倾向通常伴随着良好的感情经验。）示例：播放多米诺视频钥匙：(1)第一张卡塌了。(2)如果一张牌跌倒，那么下一张牌一定会摔倒。因此，我们可以得出多米诺骨牌会全部掉下来的结论。另外，举几个生活事例，车间整齐排放的自行车倒塌，烽火台传递信息，早操排队排列。探讨数学问题，理解方法的真谛比喻多米诺指数过程，提出以下问题。不等式对什么正整数n成立？证明你的结

8、论。本模块的核心部分以对话、通信和讨论的形式提供。(1)发现结论：通过验算，学生们得到了当时原不等式成立的初步结论。(2)证明尝试：(老师)怎样改进刚才没完没了的实验方法？例如，对于n=4，如果已知：n=3，则不等式成立。也就是说，当n=4时，也可以证明不等式成立。想想一个新问题：知道，证明： (不要亲自计算)(生)(老师)现在证明n=4的不等式成立，如果n=5，则不相等时也成立。我知道，证词：如刚才证明的那样，把3换成4，把4换成5就行了。(老师)刚才的证明和实验有所不同。实验与一次不同，要无限多次，绝对做不到。现在的工作，需要无限多次，但都是相似的，本质上是相同的。做一次就能多次登顶。那么

9、，能把刚才的问题概括一下吗？知道，作证：(生)大家都很理解刚完成的证明，一个人可以无限地填满很多东西。因为N=3时，通过直接测试，不等式成立。根据刚才的证明，n=4小时不等式可以成立。然后，对于任意正整数n，n=5，n=6，直到不等式成立。你能把刚才的思维过程表现为重要的几个阶段吗？思考交换后，学生提供以下步骤：当n=3时，确认原始不等式是否成立。如果n=k，则假定不等式成立。也就是说。如果n=k 1根据，不等式在所有n中成立。“有指导的发现学习”是布鲁纳的发现学习理论，强调了知识的发展过程。在这里通过比喻多米诺游戏的过程，让学生们发现数学推导的原型是一种重新发现性的学习诱导学生一般化，形成科

10、学方法证明与正整数相关的命题的关键步骤如下：(1)证明n在取第一个值时结论是正确的。假设(2) n=k (k k)时的结论是正确的，则证明在n=k 1时的结论也是正确的。完成这两个步骤后，就可以得出命题从开始就对所有正整数n都是正确的结论。这种证明方法称为数学推导。第三阶段：运营阶段巩固认知结构，丰富认知过程方法初步应用，培养反射意识(这个例子要求学生通过先猜后证明，巩固归纳法和数学归纳法，教学生如何做数学，培养学生独立研究数学问题的意识和能力。）例1证明：总理表示，容差为d的等差数列的前n项和公式教师诱导学生应用数学归纳证明例句后，立即提出了以下问题。思考和交流的第二步是采用以下证据。假设n

11、=k，命题成立，即n=k 1时，因为也就是说，n=k 1时的命题也成立。你认为这样证明是对的吗？结论：实际上，这个证据不准确。用数学归纳法证明，第二步必须创造一个命题。“假设时命题成立，证明当时命题也成立，证明这个命题。上述证词在第二阶段没有使用归纳假设，因此该证词不是数学归纳法的证明。教师评论：证明的第二阶段，不是直接完成命题，而是形式下结论，而是“时间命题成立”引入“时间命题也成立”，建立递归关系，完成证明。师生共同总结，完成总的晋升(1)本单元的中心内容是归纳法和数学归纳法。(2)归纳法是一种从特殊到一般的推理方法，可分为完全归纳法和不完全归纳法两种。完全归纳法仅限于有限元素，不完全归纳法的结论不一定可靠，数学归纳法是完全归纳法的一部分。