8年级数学教案第3讲：常见辅助性的作法

1、辅导教案学员姓名： 学科教师：年 级： 辅导科目： 授课日期年月日时 间A / B / C / D / E / F段主 题常见辅助线的作法教学内容1了解添置辅助线的基本方法，会添置几类常见的辅助线；2逐步培养数学语言运用能力和逻辑表达能力。（此环节设计时间在10-15分钟）说明：结合上次课的预习思考部分内容，让学生总结“倍长中线”法作辅助线的基本特征并对以下两题进行分析总结。1在ABC中，AC5，中线AD7，则AB边的取值范围是( )A.2AB12 B.4AB12 C.9AB19 D.10AB19 答案：C2如图，点E是BC的中点，BAECDE，延长DE到点F使得EFDE，联结BF，则下列说法

2、正确的是（ ）BFCD BFECDE ABBF ABE为等腰三角形A. B. C. D. 答案：A（此环节设计时间在50-60分钟）案例一：“倍长中线”法作辅助线例1：已知，在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于F，求证：AFEF 解析：延长中线AD到点G，使得DGAD，联结BG，可证DBGDCA（SAS），得到BGAC，GCAD，因为BEAC，所以BEBG，从而得等腰三角形BEG，利用角的等量代换，得到FAEAEF从而得证。试一试：已知，如图，在中，D、E在BC上，且DEEC，过D作交AE于点F，DFAC 求证：AE平分解析：延长中线AE到点G，使得G

3、EAE，联结DG，可证DEGCEA（SAS），得到DGAC，GCAE，因为DFAC，所以DFDG，从而得等腰三角形DGF，利用角的等量代换，得到CAEBAE从而得证。案例二：“截长补短”法作辅助线例2：已知，如图，在ABC中，ACB2B，AD平分BAC，求证：ABAC+CD. 方法一：补短法 解：延长AC到E，使CECD，联结DE，DCCECDEE，ACB2E，ACB2B，BE，在ABD与AED中， ABDAED（AAS）ABAE又AEAC+CEAC+DC，ABAC+DC方法二：截长法解：在AB上截取AFAC，联结DF，在AFD与ACD中，AFDACD（SAS），DFDC，AFDACB又ACB

4、2B，FDBB，FDFBABAF+FBAC+FD，ABAC+CD试一试：如图，已知BC AB，A+C180，BD平分ABC。 求证：ADCD 教法指导：本题中的条件BC AB，就意味着可以用“截长补短”法来作辅助线。要求学生用“截长”和“补短”两种方法来证明方法一：截长法在BC上截取BEBA，连结DE，BDBD，ABDCBD，BADBED ADEB，ADDEA+C180，BED+DEC180， CDECDEDCADCD 方法二：补短法 略思考：讲本题中的条件A+C180和结论ADCD对调，能否证明？案例三：其它构造X型全等例3：如图，ABCD，M是BC的中点，DM平分ADC，DMAM。求证：A

5、M平分DAB。 证明：延长DM和AB交于点N，证明DCMBNM（ASA或AAS），得到DMMN再证明ADMANM（SAS）试一试：如图，ABC中，ABAC，D是AB上的一点，F是AC延长线上一点，连DF交BC于E，若DBCF，求证：DEEF 方法一：证明：作FHAB交BC延长线于H，FHAB，FHCB又ABAC， BACB又ACBFCH， FHEFCHCFHF又BDCF， HFBD又FHAB， BDEHFE，DBEFHEDBEFHE（ASA）DEEF方法二：作DGAC交BC于G，其它略此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习+10分钟互动讲解）。1已知CDAB，BDABAD，AE是ABD的中

6、线，求证：CBAE 证明：延长AE到F，使EFAE，联结DF，AE是ABD的中线 BEED，在ABE与FDE中，BEDE，AEBDEF ，AEEFABEFDE（SAS）， ABDF，BAEEFD，ADB是ADC的外角， DAC+ACDADBBAD，BAE+EADBAD，BAEEFD，EFD+EADDAC+ACD， ADFADC，在ADF与ADC中，ADAD，ADFADC， FDDCADFADC（SAS） CAFDBAE2如图，在ABC中，ADBC于点D，AB+BDCD，求证：B2C。 解析：在CD上取一点E，使得EDBD，联结AE，可证明ABDAED，BAED，ABAE，在根据外角定理可得AE

7、D C+CAE2C补充类拓展试题：1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，EAF45，求证：BE+DFEF。 解析：延长CB至G，使得BGDF，证明ADFABG，AEFAEG即可2已知，如图，中，ABAC，ACB90，D是AC上一点，AEBE， BD平分ABC。 求证： 解析：延长AE和 BC交于点F，证明ACFBCD（ASA或AAS），得到AFBD，在证明ABEFBE（ASA），得到AEFE，即，所以（此环节设计时间在5-10分钟内）让学生回顾本节课所学的重点知识，以学生自我总结为主，学科教师引导为辅，为本次课做一个总结回顾倍长中线法作辅助线的基本方法：截长补短法作辅助线的基

8、本方法：构造X型全等：1如图，在四边形ABDC中，点E是线段CD上的一点，CAEEAB，（1）若DBEEBA，AD/BC，求证：ABAC+BD； （2）若点E为CD中点，ABAC+BD，求证：DBEEBA。证明：（1）在AB上截取ACAF，联结EF，在CAE和FAE中, ACAF，CAEFAE，AEAECAEFAE（SAS），CAFE，ACBD， C+D180，EFB+AFE180，DEFB，在BEF和BED中，DEFB，FBEDBE，BEBEBEFBED（AAS），BFBD，ABAC+BD（2）在AB上截取ACAF，联结EF，在CAE和FAE中, ACAF，CAEFAE，AEAECAEFAE

9、（SAS），CEEF，CEED， EDEF，ABAC+BD，ACAF BDBF，在BEF和BED中，BDBF，DEEF，BEBEBEFBED（SSS） DBEEBA2如图1，ABC DBE,且ACBDEB90, AD，直线DE与直线AC交于点F.（1）求证：AF+EFDE；（2）若将DBE绕点B旋转到如图2所示的位置，请写出此时AF、EF、DE的数量关系，并证明ABCDEF（图1） ABCDEF（图2）答案：（1）证明：联结BF ABCDBE， BCBE,DEAC ACBDEB900, BFBF, FBCFBE， CFEF AF+EFAF+CFAC, AF+EFDE （2）AF-EFED 证明：联结BF ABCDBE， BCBE,DEAC ACBDEB900, BFBF,FBCFBE ，CFEFACAF-CF, ACAF-EF， DE AF-EF预习思考