2020高中数学 第3章归纳总结同步导学案 北师大版必修5（通用）

1、第三章总结知识结构知识梳理一，不平等关系1.不平等关系反映在日常生活的各个方面。在数学意义上，不平等关系可以反映出来：(1)常数之间的不平等关系；(2)变量之间的不平等关系；(3)功能之间的不平等关系；(4)一组变量之间的不平等关系。2.比较实数大小的方法：差分法(1)a-b0ab；(2)a-b=0a=b；(3)a-b0abbb，bcac(3)ABA CB c；(4)ab、c0acbcab，c0acb，cda cb d。(6)ab0，cd0acbd(7)ab0anbn(nN和n1)；(8)ab0 (nN和n1)。对于不平等的性质，关键是要正确理解和运用它，找出每一种性质的条件和结论，注意条件放

2、宽和加强后结论是否发生了变化；在使用不等式的性质时，我们必须注意不等式成立的条件，决不能用“貌似”、“是”和“明显”的理由来代替不等式的性质。第二，一维二次不等式1.一维二次不等式的解和一维二次不等式的解集：一般来说，使一个二次不等式成立的X值叫做这个二次不等式的解。这个二次不等式的所有解的集合叫做这个二次不等式的解集。2.求解一个变量的二次不等式的步骤：数与形的结合经常被用来解决一个变量的二次不等式。步骤：(1)当a0时，求解ax2 bx c0(0)或ax2 bx c0(0)形式的二次不等式一般可分为三步：(1)确定方程ax2bx c=0的解；绘制相应函数y=ax2 bx c的图；(3)借助

3、形象直观写出不等式的解集。(2)特别地，如果a0，它可以通过利用不等式的性质转换成正数，然后求解不等式。3.一维二次不等式的求解技巧：(1)求解一维二次不等式ax2 bx c0(或0)。当a0时，如果一维二次方程的判别式 0对应，求出两个或因式分解因子，并按“两边大于，中间小于”写出解；如果=0或 0，这是一个特例，不等式的解集是用一个变量的相应二次函数的图像来写的。(2)对于带参数的不等式，在求解过程中，要注意不要忽略对参数的适当分类和讨论，特别是当涉及到形式上的二次不等式，并且二次项的系数包含参数时，往往需要对该系数是否为零进行分类和讨论，如果对应的二次方程有两个不相等的实根并且根的表达式

4、包含参数，则有必要对这两个的大小进行分类和讨论。4.分数不等式与一元二次不等式的关系设a0等于(x-a)(x-b)0，0相当于(x-a)(x-b)0，(x-a)(x-b)00相当于x-b0(x-a)(x-b)00相当于x-b0分数不等式解的本质是变换。要通过将分数不等式转化为代数表达式不等式来解决它，必须注意分数的意义，即分母不为零，或将分数不等式转化为两个不等式组的并，然后找到其解集。5.简单的一元高阶不等式f(x)0用数线法(或区间法或透根法)求解，包括以下步骤：将f(x)的最高阶项的系数转化为正数；(2) f(x)分解成几个主要因素的乘积或次要不可分因素的乘积；(3)在数轴上标出每个线性

5、因子的根，并从右上方用曲线将每个根串联起来；(4)根据曲线表示的f(x)值的符号变化规律写出不等式的解集；奇数根依次通过，偶数根通过。第三，基本不平等1.几个重要的基本不等式：(1)a2 b22ab(a，bR)；(2) (a，bR)；(3) 2(a和B的数字相同)；(4)a 2(a0)，a2(A0)；(5)ab()2(a，bR)。2.用基本不等式求最大值。(1)用基本不等式求最大值，用均值不等式求最大值是常见的：(1)已知某些变量的乘积(正nu总和或乘积是固定值；3可以建立等号，即“一个正相、两个定相、三个相等”，这三个条件是不可缺少的。(3)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”

6、转化为“和式”的标度函数，常用于比较数的大小或证明不等式。解决问题的关键是分析不等式两边的结构特征，选择好利用基本不等式的切入点。3.为应用基本不平等创造条件(1)合理分割项目或匹配因素是一种常见的技能，分割和匹配的目的是使等号成立，每个项目都是正的。如有必要，有必要构建“固定价值的产品”或“固定价值的总和”。(2)在多次使用基本不等式时，必须注意每次是否能建立等号，并注意取等号条件的一致性，否则会出错。因此，在用基本不等式处理问题时，列出等号的条件不仅是解决问题的必要步骤，也是检验转换是否错误的一种方法。四。简单线性规划1.二元线性不等式(群)表示面积的判定方法线划界和点定位(原点)。以Ax

7、乘C0(A0，B0)为例。“以线为界”是指画一条由二元线性方程Ax乘C=0表示的直线来定义边界，其中还应注意实线或虚线。“逐点定域”，由于实数AxC的值的符号对于直线AxC=0的同一侧的点是相同的，所以可以采用特殊符号来确定AxC的值2.最优解的确定方法有两种方法可以确定最佳解决方案：(1)目标函数的直线平行移动，先通过或后通过的顶点为最优解；(2)根据包围可行区域的直线的斜率来判断。如果包围可行区域的直线l1，l2，ln的斜率分别是k10到xR，当a2-1=0时，即a=1。如果a=1，不等式变为2x 10，a1.如果a=-1，不等式变为10，这与问题的含义一致。a2-10当a2-10，即a1

8、时，有：=(a1)2-4(a2-1)0解决了a-1或a .总而言之，a的范围是(-，-1(，)。当使用1 m作为变量时，方程x2 (m-2)x (5-m)=0的两个根都大于2？的解析解1:让方程的两个根是X1和X2，那么有00X12，即(x1-2) (x2-2)0，x22 (x1-2)(x2-2)0m2-160 -m-20，m 50解决方案是-50，-2m2-160也就是说，m 50。m-2如果-5g(x)成立，则ag(x)最大。3.数字和形状的组合：利用不等式与函数的关系，用函数图像直观地表示常数建立的问题。例2如果不等式x2 ax 10适用于所有x (0，则a的最小值为()a0B-2C。-

9、d-3答案 C 解析解1:设f(x)=x2 ax 1。为了使不等式x2 ax 10适用于所有x (0，只有f(x)0适用于所有x (0，。f(x)的图像穿过一个固定点。(1)当=a2-4 0，即-2a2时，f(x)0适用于所有x (0，；(2)当=a2-40时，即a-2或a2，(1)如图所示，对称轴x=-0，即a0。或者a-2或者u a-2，a2.(2)如图所示，对称轴x=-和f()0，-也就是说，a 10解决办法是-a-1。或者a-2或者u a-2，-a-2.总而言之，a的范围是a-,所以a的最小值是-。解2:(变量的分离)由已知不等式a-对所有x (0，函数f(x)=(x)是x (0，上的

10、增函数，f(x)的最大值是f()=-。因此，a的最小值是-。例3已知a0和a1，f(x)=x2-ax，当x (-1，1)都有f(x)时，则实数a的取值范围为()A.(0)，(2，3)C.，1)(1，2D.(0)，(4，)答案 C analyzed从x2-ax得到ax x2-x，让y1=ax，y2=x2-x，并分别作出它们的图像，如图所示，从图中很容易知道，当0x 2-x=1，a1 12-=，反之亦然，同样，当a1，可以得到10，b0)解“常数积”的“最大积”问题。要注意适用范围和条件：“一正、二定、三相”等。特别是，我们使用分裂、添加、匹配、分离变量、减少变量等方法。构造固定值条件并验证等号是否成立。如果不能得到等号，就应该用函数的单调性来寻找最大值，用平均不等式来解决实际问题。例4让函数f (x)=x，x0，)。(1)当a=2时，求函数f(x)的最小值；(2)当00，0，x 1 2。当且仅当x 1=，即x=-1，f(x)取最小值。此时，f (x) min=2-1。(2)当0x20时，则f(x1)-f(x2)=x1 -x2-=(x1-x2)1-，x1 x20，x1-x20,x1 11，x2 11，(x1 1)(x2 1)1，00，f(x)在0，)上单调增加，f(x)最小值=f(0)=a加工厂需要定期购买原材料。据了解，每公斤原材料的价格是1.5元，每次购买