高考理科数学考前30天--计算题专训(一)

1、高考理科数学考前高考理科数学考前 3030 天天- -计算题专训（一）计算题专训（一） 2 17已知an的前n项和Sn 4nn （1）求数列an的通项公式； 7a n （2）求数列 n 的前n项和Tn 2 【答案】 （1）an 52n； （2）T n 6 n3 2n1 2 24n1n1 52n， 【解析】 （1）当n2时，an S n S n1 4nn 当n 1时，a1 S 1 3适合上式，a n 52n 7a n n1345nn1 T 2 ，所以， n 2n2n1222232n22n1 （2）解：令bn 1234nn1 T n 2 3 n1 n ，两式相减得： 222222 1 1 n3 1

2、111n1n1n32 T n 2 2 n1 n 1 n 3 n ，故T n 6 n1 12 2222222 1 2 n 18 B、 C 所对的边长分别是 a、 b、 c，在ABC中， 内角 A、已知asinB bcosA， cosB 3 5 （1）求cosC的值； （2）若a 15，D 为 AB 边上的点，且2AD BD，求 CD 的长 【答案】 （1） 2 ； （2）CD 13 10 【解析】 （1）由asinB bcosA得：sin AsinB sinBcosA， 4 A、B、C 是ABC的内角，sinB 0，因此，tan A1，故A 2 3 34 由cosB 得：sin B 1 5 5

3、5 又cosC cos A B cosA B； 2 也就是cosC coscosBsinsin B 4410 227 2 （2）解：由cosC 得：sinC 1， 1010 10 15c 2 由正弦定理得： sin 7 2c 21，BD c 14， 3 4 10 3 222CD 15 14 21514169，CD 13 ABC在中， 5 2 19如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直 1 AE CD，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角MBD观图中，是的中点， 2 三角形，有关数据如图所示 （1）求证：EM/平面ABC； （2）求出该几何体的体积 【答案】 （1）见解

4、析； （2）4 【解析】 （1）M为DB的中点，取BC中点G，连接EM、MG、AG； 1 DC，MG/AE且MG AE， 2 则MG/DC，且MG 故四边形AGME为平行四边形，EM/AG， 又AG 平面ABC，EM 平面ABC，EM/平面ABC （2）解：由己知，AE 2，DC 4，AB AC，且AB AC 2， EA 平面ABC，EA AB，又AB AC，AB 平面ACDE， AB是四棱锥B ACDE的高， 梯形ACDE的面积S AE DC AC 242 6 22 ， 1 V BACDE S AB 4，即所求几何体的体积为 4 3 20动点P到定点F 0,1的距离比它到直线 y 2的距离小

5、 1，设动点P的轨迹 为曲线 C，过点 F 的直线交曲线 C 于 A、B 两个不同的点，过点 A、B 分别作曲 线 C 的切线，且二者相交于点 M （1）求曲线 C 的方程； （2）求证：ABMF 0； （3）求ABM 的面积的最小值 2 【答案】 （1）x 4y； （2）见解析； （3）4 【解析】 （1）由已知，动点P在直线y 2上方，条件可转化为动点P到定点 F0,1的距离等于它到直线y 1距离，动点P的轨迹是以F0,1为焦点， 2 直线y 1为准线的抛物线，故其方程为x 4y x 2 4y （2）证：设直线AB的方程为：y kx1，由得：x24kx4 0， y kx1 2 设AxA,

6、yA，BxB, yB，则xA xB 4k ，xAxB 4由x 4y得：y 1 2x ， 4 y 11 2 1 x，直线AM的方程为：y x A x A x x A ， 242 1 2 1 y x B x B x x B 直线BM的方程为：， 42 1 2 11 2 x x 22x B x A x A x B x x B x A ，即x AB 2k， 4222 得： 将x 1 2 1 x B x A 11 2 x A x Bx x x A ，代入得：y x A x A AB 42 2 442 y 1 x A x B 1，故M2k,1，MF 2k,2，AB x B x A ,kx B x A ，

7、4 ABMF 2kx B x A 2kx B x A 0 ，AB MF1 （3）解：由（2）知，点M到AB的距离d MF 2 1k2， AB AF BF y A y B 2 kx A x B 4 4k24 ， 311 222S AB d 4k 12 1k 4k 124， 22 当k 0时，ABM 的面积有最小值 4 21 已知函数f x mln xn e 2.71828是自然对数的底数）n 为常数，（m、， xe 2 e 曲线y f x 在点1,f 1处的切线方程是 y （1）求 m、n 的值； （2）求 fx的最大值； exlnx1 （3）设gx f x （其中 f x 为f x的导函数）

8、，证明：对任意 2 2 1 ln x1 x 0，都有gx1e （注： x1 ） 【答案】 （1）n 2，m 2； （2）f x max 2 ； （3）见解析 e 【解析】 （1）由f x mln xnmnxmxln x f x x 0 ，由已知得，得 xxexe f 1 n2mn 0，解得m n又f 1 ，n 2，m 2 eee （2）解：由（1）得： f x 21 x xln x ， xxe 当x0,1时，1x 0，xlnx 0，所以1 x xlnx 0； 当x1,时，1x 0，xlnx 0，所以1 x xlnx 0， 当x0,1时， f x0；当x1,时， f x0， 2 e fx的单调递增区间是0,1，x 1时，fx max 单调递减区间是1,， exlnx1 1 x xln xlnx1 （3） 证明：gx f x 对任意x 0， x 0 2x gx1e 等价于1 x xln x 2 x1e2 lnx1 ，令px1 x xlnxx 0， 则 p x lnx2 ，由 p x lnx20 得：x e2， 当x0,e2 时， p x0 ，px单调递增； 2 当xe ,时， p x0 ，px单调递减， 所以px的最大值为p