2018高考数学试题分类汇编 数列求和及综合应用 解析版

1、数列求和及综合应用数列求和及综合应用 一、填空题 1.(2018江苏高考T14)已知集合A=x|x=2n-1,nN*,B=x|x=2n,nN*. 将AB的所有元素从小到大依次排列构成一个数列a n.记 S n 为数列a n的 前n项和,则使得S n12 a n+1 成立的n的最小值为. 【解析】B=2,4,8,16,32,64,128 ,与A相比,元素间隔大 ,所以从S n 中加 了几个B中元素考虑 , 1 个:n=1+1=2S 2=3,12 a 3=36 2 个:n=2+2=4S 4=10,12 a 5=60 3 个:n=4+3=7S 7=30,12 a 8=108 4 个:n=8+4=12

2、S 12=94,12 a 13=204 5 个:n=16+5=21S 21=318,12 a 22=396 6 个:n=32+6=38S 38=1150,12 a 39=780 发现 21n38 时S n-12 a n+1 与 0 的大小关系发生变化 ,以下采用二分法查找 : S 30=687,12 a 31=612,所以所求 n应在 2229 之间, S 25=462,12 a 26=492,所以所求 n应在 2529 之间, S 27=546,12 a 28=540,所以所求 n应在 2527 之间, S 26=503,12 a 27=516, 因为S 2712 a 28,而 S 2612

3、 a n+1 成立的n的最小值为 27. 答案:27 二、解答题 2.(本小题 13 分)(2018 北京高考文科T15) 设a n是等差数列,且 a 1=ln2, a 2+a3=5ln2 . (1)求a n的通项公式 . (2)求错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 +错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 +错误！未找到引错误！未找到引 用源。用源。. 【命题意图】考查求数列的通项公式与前n项和,以及对数运算 ,意在考查灵 活运用公式与基本运算能力 ,培养学生的逻辑思维能力 ,体现了逻辑推理、数 学运算、数据分析的数学素养. 【解析】 (1)由已知,设a n的公差为 d,则 a 2+

4、a3=a1+d+a1+2d=2a1+3d=5ln2,又 a 1=ln2, 所以d=ln2, 所以a n的通项公式为 a n=ln2+( n-1)ln2=nln2(nN*). (2)由(1)及已知,错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 =enln2=(eln2)n=2n, 所以错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 +错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 +错误！未找到引用错误！未找到引用 源。源。=21+22+2n=错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 =2n+1-2(nN*). 3.(本小题满分 13 分)(2018天津高考理科 T18)设a n是等比数列 ,公比 大于 0,其

5、前n项和为S n(nN *),b n是等差数列 .已知a 1=1, a 3=a2+2,a4= b 3+b5,a5=b4+2b6. ()求a n和bn的通项公式 . ()设数列S n的前 n项和为T n(nN *), ()求T n; ()证明错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 =错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 -2(nN*). 【命题意图】 本题主要考查等差数列的通项公式,等比数列的通项公式及前 n项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力. 【解析】 (I)设等比数列 a n的公比为 q.由a 1=1, a 3=a2+2,可得 q2-q-2=0. 因为q0,可

6、得q=2,故a n=2 n-1. 设等差数列 b n的公差为 d,由a 4=b3+b5,可得 b 1+3d=4.由 a 5=b4+2b6,可得 3b 1+13 d=16,从而b 1=1, d=1,故b n=n. 所以数列 a n的通项公式为 a n=2 n-1,数列b n的通项公式为 b n=n. (II)()由 (I),有S n=错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 =2n-1,故T n=错误！未找到引用 错误！未找到引用 源。源。(2k-1)= 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 2k-n=错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 -n=2n+1-n-2. ()因为 错误！未找

7、到引用源。错误！未找到引用源。 =错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 = 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 =错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 -错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 , 所以,错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 =错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 +错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 +错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 =错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 -2. 4.(本小题满分 13 分)(2018天津高考文科T18)设a n是等差数列 ,其前 n 项和为S n(nN *);b n是等比数列 ,公比大于 0,其前

8、 n项和为T n(nN *).已 知b 1=1, b 3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6. ()求S n 和T n; ()若S n+(T1+T2+Tn)=an+4bn,求正整数 n的值. 【命题意图】本题主要考查等差数列、 等比数列的通项公式及前n项和公式 等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力. 【解题指南】()利用等差、 等比数列的公式 ,结合题设条件 ,即可求解 ;() 结合()的结论,将题设代数式化简 ,利用方程思想求解. 【解析】 (I)设等比数列 b n的公比为 q,由b 1=1, b 3=b2+2,可得 q2-q-2=0.因 为q0,可得q=2,故b n

9、=2 n-1. 所以T n=错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 =2n-1. 设等差数列 a n的公差为 d.由b 4=a3+a5,可得 a 1+3d=4. 由b 5=a4+2a6, 可得 3a 1+13 d=16,从而a 1=1, d=1,故a n=n,所以 S n=错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。. (II)由(I),知T 1+T2+Tn=(2 1+22+2n)-n=2n+1-n-2. 由S n+(T1+T2+Tn)=an+4bn 可得错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 +2n+1-n-2=n+2n+1, 整理得n2-3n-4=0,解得n=-1(舍),或n=4.所以

10、n的值为 4. 5.(本小题满分 16 分)(2018江苏高考 T20) 设a n是首项为 a 1,公差为 d的等差数列 ,b n是首项为 b 1,公比为 q的等比数 列. (1)设a 1=0,b1=1,q=2,若|an-bn|b1 对n=1,2,3,4 均成立,求d的取值范围. (2)若a 1=b10,mN *,q(1,错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 ,证明:存在dR,使得 |a n-bn|b1 对n=2,3,m+1 均成立,并求d的取值范围 (用b 1,m,q 表示). 【解析】 (1)由条件知 :a n=(n-1)d,bn=2 n-1. 因为|a n-bn|b1 对n=1,2,

11、3,4 均成立, 即|(n-1)d-2n-1|1 对n=1,2,3,4 均成立, 即 11,1d3,32d5,73d9,得错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 d错误！错误！ 未找到引用源。未找到引用源。. 因此,d的取值范围为 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。. (2)由条件知 :a n=b1+(n-1)d,bn=b1q n-1. 若存在d,使得|a n-bn|b1(n=2,3,m+1)成立, 即|b 1+(n-1)d-b1q n-1|b 1(n=2,3,m+1), 即当n=2,3,m+1 时,d满足错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。b 1d错误！未找到 错误！未找到 引用

12、源。引用源。b 1. 因为q(1,错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 ,则 10,对 n=2,3,m+1 均成立. 因此,取d=0 时,|a n-bn|b1 对n=2,3,m+1 均成立. 下面讨论数列 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 的最大值和数列 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 的最小值 (n=2,3,m+1). 当 2nm时,错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 -错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 =错误！未错误！未 找到引用源。找到引用源。 =错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 , 当 10. 因此,当 2nm+1 时,数列错误！未找到引用源

13、。错误！未找到引用源。 单调递增, 故数列错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 的最大值为 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。. 设f(x)=2x(1-x),当x0时,f(x)=(ln2-1-xln2)2x0,所以f(x)单调递减 , 从而f(x)f(0)=1. 当 2nm时,错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 =错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 错误！未错误！未 找到引用源。找到引用源。 =f错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 1,且 a 3+a4+a5=28, a 4+2 是 a 3,a5 的等差中项.数列b n满足 b 1=1,数列(bn+1-bn)an的

14、前n项和为 2n2+n. ()求q的值. ()求数列b n的通项公式 . 【命题意图】 本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识,同 时考查运算求解能力和综合应用能力. 【解析】 ()由a 4+2 是 a 3,a5 的等差中项得a 3+a5=2a4+4, 所以a 3+a4+a5=3a4+4=28, 解得a 4=8. 由a 3+a5=20 得 8 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 =20, 因为q1,所以q=2. ()设c n=(bn+1-bn)an,数列cn的前 n项和为S n. 由c n=错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 解得c n=4n-1. 由()可知a n

15、=2 n-1, 所以b n+1-bn=(4 n-1)错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 ,故b n-bn-1=(4 n-5)错误！未错误！未 找到引用源。找到引用源。 ,n2, b n-b1=(bn-bn-1)+( b n-1-bn-2)+(b3-b2)+( b 2-b1) =(4n-5)错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 +(4n-9)错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 +7错错 误！未找到引用源。误！未找到引用源。 +3, 设T n=3+7 错误！ 错误！未找到引用源。未找到引用源。+11 错误！错误！未找到引用源。未找到引用源。+(4n-5) 错错 误！未找到引用源。误！未找到引用源。 ,n2, 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。T n=3错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 +7错误！未找到引用错误！未找到引用 源。源。+(4n-9)错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。