《高考数学第一轮复习课件》第22讲 简单的三角恒等变换

1、新课标高中一轮总复习,第四单元 三角函数与平面向量,第22讲,简单的三角恒等变换,能运用同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的三角公式进行简单的三角恒等变换.,1.在ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB1，则ABC是( ),A,A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形,由两角和的正弦公式得sinA1. 由弦函数有界性知，sinA=1，得A=90.,2.化简： - =( ),B,A.-sin4 B.2cos4-sin4 C.sin4-2cos4 D.2sin4-cos4,原式= - =|sin4-cos4|-|cos4|,又sin4-co

2、s40,cos40, 所以原式=-sin4+cos4+cos4=2cos4-sin4.,3.化简： - cos2x+ cos4x= .,sin4x,原式= - (2cos2x-1)+ (2cos22x-1) = -cos2x+ cos22x = -cos2x+ (2cos2x-1)2 =1-2cos2x+cos4x =（1-cos2x）2=sin4x.,4.若A-B= ,tanA-tanB= , 则cosAcosB= .,tan(A-B)= = , 所以1+tanAtanB=2， 即 =2， 所以cosAcosB= cos(A-B)= .,5.化简：tan+tan+tantantan(+) =

3、 .,tan(+),由tan(+) , 可得tan+tan=tan(+)(1-tantan), 所以tan+tan+tantantan(+)= tan(+).,三角变换的基本题型化简、求值和证明 (1)化简. 三角函数式化简的一般要求：三角函数种数尽量少；项数尽量少；次数尽量低；尽量使分母不含三角函数式；尽量使被开方数不含三角函数式；能求出的值应尽量求出值. 依据三角函数式的结构特点，常采用的变换方法：异角化同角；异名化同名；异次化同次；高次降次.,(2)求值. 常见的有给角求值,给值求值,给值求角. 给角求值的关键是正确地分析角（已知角与未知角）之间的关系，准确地选用公式，注意转化为特殊值.

4、 给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、名称、结构的差异，有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求待求式的值.,给值求角的关键是求出该角的某一三角函数值，讨论角的范围，求出该角. (3)证明.它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式的证明.常用方法：从左推到右；从右推到左；左右互推.,题型一 恒等变换下的化简求值,例1,已知：tan2=- ,2( ,), 求 的值.,tan2=- =- ， 解得tan=- 或tan= ， 因为2( ,),所以（ ， ）,所以tan0，所以tan= . = = = =,对于附加条件求值问题，要先看条件可不可以变形或化简，然后看所求

5、式子能否化简，再看它们之间的相互联系，通过分析找到已知与所求的纽带.,题型二 恒等变换下的拆角求值,例2,已知cos(- )=- ，sin( -)= ,且 ，0，求cos 的值.,抓住已知角(- )，( -)与目标角 的关系： =(- )-( -)，因此先求得sin(- )，cos( -)的值，再代公式.,因为 0, 所以 - ，0 - ， 所以sin(- )= = = .,cos( -)= = = , 故cos =cos(- )-( -) =cos(- )cos( -)+sin(- )sin( -) =(- ) + = .,根据已知角与目标角的联系，将题目中的“目标角整体”变成“已知角整体”

6、之间的“和、差、倍、半、余、补、负”，应用已知条件，直接解决问题.常用“凑角”技巧： (-)+=(+)-，2+=(+)+， = + ， = - ， 2=(-)+(+)等.,已知cos= ,cos(+)=- ,且(0， ),+( ，),求的值.,因为(0, )，且cos= ，所以sin= = ， 又因为+( ,），cos(+)=- ， 所以sin(+)= = ，,所以cos=cos(+)- =cos(+)cos+sin(+)sin =- + = . 又(0, )，+( ，），则(0,)，所以= .,在给角求角的式子中,发现目标角与已知角的联系,将目标角用已知角表示,求得其某一名三角函数值.但对于

7、在(0，180)间的角,选用余弦或正切比选用正弦好,在(-90,90)间的角，宜选用正弦.注意避开讨论，减少失误.,题型三 恒等变换下的三角证明,例3,(1)已知2sin=sin+cos, sin2=2sincos. 求证:cos2=2cos2； (2)已知5sin=3sin(-2), 求证:tan(-)+4tan=0.,(1)4sin2=1+2sincos, 所以4sin2=1+sin2， 所以1-sin2=2-4sin2=2（1-2sin2）, 即cos2=2cos2. (2)因为5sin=3sin(-2), 所以5sin(-)+=3sin(-)-所以5sin(-)cos+5cos(-)s

8、in =3sin(-)cos-3cos(-)sin, 所以2sin(-)cos+8cos(-)sin=0，依题意知,k+ ,-k+ ,kZ. 所以tan(-)+4tan=0.,(1)结论中不含，所以从条件中消去即可.(2)把条件中的角进行拆拼，使出现-，实现已知角向未知角转化即可.,等比数列 an中，a2=sin+cos，a3=1+sin2，其中 . 求:(1)2sin2- cos4+ 是数列an的第几项? (2)若tan(-)= ,求数列an的前n项和Sn.,设数列an的公比为q， 则q= = = =sin+cos, 所以a1= =1. 所以an=(sin+cos)n-1(nN*). (1)

9、2sin2 - cos4+ = (4sin2-cos4+3) = 4sin2-（1-2sin22）+3 = (2sin22+4sin2+2)=(1+sin2)2 =(sin+cos)4=a5, 所以2sin2- cos4+ 是数列an中的第5项.,(2)由tan(-)= ，得tan=- ， 又 ，所以sin= ,cos=- ， 所以q=sin+cos= ，所以an=( )n-1， 故Sn= = - ( )n-1.,三角恒等变形的实质是对角、函数名称及运算结构的转化，而转化的依据就是一系列的三角公式，因此对三角公式在实现这种转化中的应用应有足够的了解： (1)同角三角函数关系可实现函数名称的转化

10、. (2)诱导公式及和、差、倍角的三角函数可以实现角的形式的转化. (3)倍角公式及其变形公式可实现三角函数的升幂或降幂的转化,同时也可完成角的转化.,(2009上海卷)函数y=2cos2x+sin2x的最小值是 .,1-,f(x)=cos2x+sin2x+1= sin(2x+ )+1， 所以最小值为1- .,(2009山东卷)设函数 f(x)=cos(2x+ )+sin2x. (1)求函数f(x)的最大值和最小正周期; (2)设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB= ,f( )=- ,且C为锐角,求sinA.,(1)f(x)=cos(2x+ )+sinx =cos2xcos -sin2xsin + = - sin2x. 所以,当2x=- +2k(kZ)， 即x=- +k(kZ)时， 函数f(