第3节 差商及Newton插值多项式

1、3 差商及Newton插值多项式,一、差商及其性质,Lagrange 插值多项式的优点是格式整齐规范，但其缺点是：当需要增加节点时，其基函数都要发生变化，需要重新计算，这在实际计算中会影响效率。下面介绍的Newton插值法会弥补这一不足。,1.差商的定义,设y=f(x)在n+1个互异点 x0 , x1 , , xn 处的函数值为：,一般地，称k-1 阶差商的一阶差商,为f(x)关于点 的 k 阶差商。,可以求得,2.差商的性质,其中,以k=2进行证明。由,得到,由,得到,从而,由性质1立刻可得。,性质2:差商具有对称性,即k阶差商 fx0 , x1 , , xk-1 , xk 中，任意调换 x

2、i , xj 的次序，其值不变。,再由数学归纳法可证得：,性质3：若f(x)为n 次多项式，则f x,x0为关于x 的n-1次多项式。,证明：已知,故,类似的可以得到：,也就是说，对多项式求一次差商，次数降低一次。,由于 是 的根，所以,3.差商的计算,为构造 Newton 插值多项式方便起见，计算差商时，采用列表的方式进行。,例 2.2 已知函数 y=f(x) 的如下离散数据(1,0)、(2,2)、(4,12)、 (5,20)、(6,70)，试求其各阶差商.,解：列差商表计算,2,5,8,50,1,1,21,0,5,1,二、Newton 插值多项式,对于区间a,b内的离散点 及相应的函数值

3、，计算如下差商：,可以求得：,依次类推得到：,令：,则可以将函数 f(x) 表示成：,由如上构造，容易验证,因此 Nn(x) 满足插值条件，是一个 n 次插值多项式。,并称,为n次Newton插值多项式。,如果 f(x) Nn(x),则误差为：,关于Newton插值多项式，有以下几个特点：,1 Newton插值多项式与同次Lagrange插值多项式相同，因而误差相同,因为Newton插值多项式与Lagrange插值多项式满足相同的插值条件，由插值多项式的存在唯一性知,因此，Newton插值多项式与Lagrange插值多项式的误差相同。这样，由,Nn(x)=Ln(x),得到,这个表达式给出了 n

4、+1 阶差商与 n+1 阶导数之间的关系式。,解：由差商与导数的关系式,得到,练习：,提示：,2. Newton插值多项式具有递推式,由,可知,所以，具有递推公式：,所以，具有递推公式：,由此可知：当求出n次插值多项式后，再增加一个节点时，只需要增加一项的计算即可。,由Newton插值多项式的结构可以看出，在构造Newton插值多项式时，必须首先计算各阶差商。,3. Newton插值多项式的计算,例4 已知f(x) 的五组数据(1,0)、(2,2)、(3,12)、(4,42)、(5,116),求 N4 (x)。如果再增加一个节点(6,282),求出N5(x)，并计算 N4(1.5)、N5(1.

5、5).,解：先由前五组数据列差商表,1 0 2 2 3 12 4 42 5 116,2 10 30 74,4 10 22,2 4,0.5,得到：,如果，再增加一点(6, 282),就在上表中增加一行计算差商。,6 282,166,46,8,1,0.1,由Newton公式的递推式得到：,得到：,练习题：已知离散数据(1,0)、(2,2)、(4，12）、(5,20) 求三次Newton插值多项式，增加一点(6,70)后， 再求出四次Newton插值多项式。,本节(3 )要点,1.掌握差商及其性质，导数与差商的关系 2.掌握Newton 插值多项式的构造方法及具体结构 3.掌握Newton插值多项式的误差结果 4.编写Newton插值多项式计算程序进行实际计算,思考题： 如何实现差商表和Newton插值多项式的程序设计。,作