八年级数学轴对称图形综合

1、轴对称全章复习与巩固轴对称全章复习与巩固 【知识网络】【知识网络】 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、轴对称要点一、轴对称 1.1.轴对称图形和轴对称轴对称图形和轴对称 （1）轴对称图形 如果一个图形沿着某一条直线折叠， 直线两旁的部分能够互相重合， 这个图形就叫做轴 对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一 对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠， 如果它能够与另一个图形重合， 那么就说这两 个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： 关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是

2、全等形； 如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分 线； 两个图形关于某条直线对称， 如果它们的对应线段或延长线相交， 那么它们的交点在 对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系， 轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形； 轴 对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对 称轴分成两个图形， 那么这两个图形关于这条轴对称； 如果把成轴对称的两个图形看成一个 整体，那么它就是一个轴对称图形 2.2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段

3、两个端点的距离相等.反 过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 要点二、作轴对称图形要点二、作轴对称图形 1.1.作轴对称图形作轴对称图形 （1）几何图形都可以看作由点组成， 我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点， 再 连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形； （2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段 端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 2.2.用坐标表示轴对称用坐标表示轴对称 点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,y）；点（x,y）关于y轴对称的点 的坐标为（x,y）；点（x,y）关于原点对

4、称的点的坐标为（x,y）. 要点三、等腰三角形要点三、等腰三角形 1.1.等腰三角形等腰三角形 （1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. （2）等腰三角形性质 等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角” ； 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三 线合一” ）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45. （3）等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等 边” ）. 2.2.等边三角形等边三角形 （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60

5、. （3）等边三角形的判定： 三条边都相等的三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形. 3.3.直角三角形的性质定理：直角三角形的性质定理： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【典型例题】【典型例题】 类型一、轴对称的判断与应用类型一、轴对称的判断与应用 1、如图，C、D、E、F 是一个长方形台球桌的4 个顶点，A、B是桌面上的两个球，怎 样击打 A 球，才能使 A 球撞击桌面边缘 CF 后反弹能够撞击 B 球？请画出 A球经过 的路线，并写出作法 【变式】已知MON 内有一点 P，P 关于 OM

6、，ON 的对称点分别是P 1 和P2，PON 1P2 分别交 OM, 与点 A、B，已知P 1P2 15，则PAB 的周长为（） A. 15 B 7.5 C. 10 D. 24 【答案】【答案】A； 提示：根据轴对称的性质，PA P， 1 A,PB PB 1 PAB 的周长等于P 1P2 2、如图，ABC 中，点 A 的坐标为（0，1） ，点 C 的坐标为（4，3） ，点 B 的坐标为 （3，1） ，如果要使ABD 与ABC 全等，求点 D 的坐标 【答案与解析】【答案与解析】 解：满足条件的点 D 的坐标有 3 个（4，1） ； （1，1） ； （1，3）. 类型二、等腰三角形的性质与判定类

7、型二、等腰三角形的性质与判定 3、已知：一等腰三角形的两边长x，y满足方程组 周长为（） A.5 B.4 C.3 D.5或 4 解：解方程组 2x y 3 ，则此等腰三角形的 3x2y 8 2x y 3 x 2 得， 3x2y 8y 1 当腰为 1，2 为底时，112，不能构成三角形， 当腰为 2，1 为底时，能构成三角形，周长为2215 【变式】已知等腰三角形的一个内角为70，则另两个内角的度数是（） A.55，55 B.70，40 C.55，55或 70，40 D.以上都不对 【答案】【答案】C； 4、如图，在ABC 中，点 E 在 AB 上，点 D 在 BC 上，BDBE，BADBCE，

8、AD 与 CE 相交于点 F，试判断AFC 的形状，并说明理由 【思路点拨】【思路点拨】要判断AFC 的形状，可通过判断角的关系来得出结论，那么就要看FAC 和 FCA 的关系因为BADBCE，因此我们只比较BAC 和BCA 的关系即可 【答案与解析】【答案与解析】 解：AFC 是等腰三角形理由如下：在BAD 与BCE 中， BB，BADBCE，BDBE，BADBCE， BABC，BACBCA，BACBADBCABCE，即FACFCA AFCF，AFC 是等腰三角形 【变式】 如图， BAC90， 以ABC 的边 AB、 AC 为直角边向外作等腰直角ABE 和ACD， M 是 BC 的中点，请

9、你探究线段DE 与 AM 之间的数量关系 【答案】【答案】ED2AM 解：连接 DE， BAC90，M 是 BC 的中点 AMBMMC 1 BC 2 EADBAC90，AEAB，ACAD ABCAED EDBC ED2AM 类型三、等边三角形的性质与判定类型三、等边三角形的性质与判定 5、如图，设为等边ABC 内一点，且 ADBD，BPAB, DBPDBC.求BPD 的 度数. 【答案与解析】【答案与解析】 解：如图，连接 CD， ABC 是等边三角形， ABACBC，又 ADBD，DC 是公共边， BDCADC（SSS） ， DCBDCA 1 6030，DBCDAC， 2 DBPDBC， D

10、ACDBP， 又已知 BPAB， BPAC， DBPDAC（SAS） ， PACD30 【总结升华总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，在判定三角 形 全等时，关键是选择恰当的判定条件 提高：提高： 1、 如图，ABC 的内部有一点 P，且 D，E，F 是 P 分别以 AB， BC， AC为对称轴的对称点 若ABC的内角A70， B60， C50，则ADBBECCFA（） A.180 B.270 C.360 D.480 【答案】【答案】C； 解：连接 AP，BP，CP， D，E，F 是 P 分别以 AB，BC，AC 为对称轴的对称点 ADBAPB，BECBPC，CF

11、AAPC， ADBBECCFAAPBBPCAPC360 2、已知MON40，P 为MON 内一定点，OM 上有一点 A，ON 上有一点 B，当PAB 的周长取最小值时，求APB 的度数. 【思路点拨】【思路点拨】求周长最小，利用轴对称的性质，找到P 的对称点来确定 A、B 的位置，角度 的计算，可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算. 【答案与解析】【答案与解析】 解：分别作 P 关于 OM、ON 的对称点P 1 ，P 2 ，连接P 1P2 交 OM 于 A，ON 于 B.则PAB 为符合 条件的三角形. MON40 P 1PP2 140. PPA 1 11 PAB,P 2 PB PB

12、A. 22 1 (PABPBA)APB140 2 PABPBA2APB280 PABP 1 PPA, PBAP 2 P 2 PB 1 P 1 P 2 P 1PP2 180 APB100 【总结升华】【总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型，将周长的三条线段的和转化为一条线段， 这样取得周长的最小值. 3 3、如图，在五边形 ABCDE 中，BAE120，BE90，ABBC，AEDE，在 BC， DE 上分别找一点 M， N， 使得AMN 的周长最小时， 则AMNANM 的度数为 （） A100 B110 C 120 D 130 【答案】【答案】C； 提示：找 A 点关于 BC 的对称点A 1

13、，关于 ED 的对称点 A 2 ，连接A 1 A 2 ，交 BC 于 M 点，ED 于 N 点，此时AMN 周长最小. AMNANM180MAN，而2BAM AMN， 2EANANM， BAMEANMAN120,所以AMNANM120. 4、如图，ABC 关于平行于x轴的一条直线对称，已知 A 点坐标是（1，2） ，C 点坐标是（1， 4） ，则这条平行于x轴的直线是（） A.直线x1 B.直线x3 C.直线y1 D.直线y3 【思路点拨】【思路点拨】根据题意，可得 A、C 的连线与该条直线垂直，且两点到此直线的距离相等， 从而可以解出该直线 【答案】【答案】C； 【解析】【解析】 解：由题意

14、可知，该条直线垂直平分线段AC 又 A 点坐标是（1，2） ，C 点坐标是（1，4） AC6 点 A，C 到该直线的距离都为 3 即可得直线为y1 【总结升华】【总结升华】 本题考查了坐标与图形的变化一一对称的性质与运用， 解决此类题应认真观察 图形，由 A 与 C 的纵坐标求得对称轴 【巩固练习】【巩固练习】 一一. .选择题选择题 1. 如图，阴影部分是由 5 个小正方形涂黑组成的一个直角图形，再将方格内空白的两个小 正方形涂黑，得到新的图形(阴影部分)，其中不是轴对称图形的是( ) 2直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的（） A.形内 B.形外 C.斜边的中点D.不能确定 3. 以

15、下叙述中不正确的是（） A等边三角形的每条高线都是角平分线和中线 B其中有一内角为 60的等腰三角形是等边三角形 C等腰三角形一定是锐角三角形 D在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，在一个 三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等 4下列条件有一个角为60的三角形；三个外角都相等的三角形；一边上的高与中 线重合的三角形； 有一个角为 60的等腰三角形 能判定三角形为等边三角形的有 （） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 5. 如图，BD 是ABC 的角平分线，DEBC，DE 交 AB 于 E, 且 AB BC， 则下列结论中错误的是（） ABDA

16、C BAEDA CBC2AD DBEED 6. 如图，ABC 中ACB90,CD 是 AB 边上的高，BAC 的角平分线 AF 交 CD 于 E，则CEF 必为（） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 7.下列说法中不正确的是（） A.等边三角形是轴对称图形 B.若两个图形的对应点连线都被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称 C.若ABCA1B 1C1 ,则这两个三角形一定关于一条直线对称 D.直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线，若 P 点使 PAPB，则点 P 在 MN 上，若P 1 APB 1 ， 则P1不在 MN 上 8如图所示,RtABC

17、 中，C90,AB 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D， 交 AB 于点 E当B30时，图中不一定相等的线段有（） AACAEBE BADBD CCDDE DACBD 二二. .填空题填空题 9. 如图，O 是 ABC 内一点，且 OAOBOC，若OBA20,OCB30，则OAC _. 9 题 10题 10. 如图，ABC 中，A90，BD 为ABC 平分线，DEBC，E 是 BC 的中点，C 的度 数为_. 11. 如图，ABC 中，C90，D 是 CB 上一点，且 DADB4，B15,则 AC 的长 为 11 题 13题 12. 在ABC 中，ABAC，若AB30则A_， B_. 13.

18、 点 D、E 分别在等边ABC 的边 AB、BC 上，将BDE 沿直线 DE 翻折，使点B 落在 B1处， DB1、EB1分别交边 AC 于点 F、G若ADF80，则 CEG 14一个汽车车牌在水中的倒影为，则该车的牌照号码是_ 15. 等腰三角形的两边长分别为10cm，6cm，则它的周长为_. 16. 三角形纸片 ABC 中，A60，B80， 将纸片的一角折叠，使点C 落在ABC 内，如图 所示130，则2_ 三三. .解答题解答题 17如图所示，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 E，若 AC 平分DAB，且 AB AE，ACAD，求证DBC 1 DAB 2 18如图所示，在ABC 中，B90，ABBC，BDCE，M 是 AC 边的中点，求证DEM 是等腰三角形 A M D BEC 【答案与解析】【答案与解析】 一一. .选择题选择题 1. D；2. C；3. ；4. ；5. C；6. A；7. C；8. D； 二二. .填空题填空题 9. 【答案】40； 【解析】 AOB 与BOC 与AOC 均为等腰三角形,OAC 10.【答案】30； 【解析】证BDECDE，ABDDBEC30. 11.【答案】2； 【解析】ADC30，AC 1802 （2030） 40.