（广东专用）2014年高考数学 第六章 第七节 数学归纳法课件 理 新人教A版

1、第七节 数学归纳法,数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)证明当n取_时命题成立，这一步是归纳奠基. (2)假设n=k(kn0,kN*)时命题成立，证明当_时命题也成立，这一步是归纳递推. 完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.,第一个值n0(n0N*),n=k+1,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”). (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n=1时结论成立.( ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( ) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.( ),(4)不

2、论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk 到 nk1时，项数都增加了一项.( ) (5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+2n+2=2n+3-1”，验证n=1时，左边式子应为1+2+22+23.( ),【解析】(1)错误.用数学归纳法证明时，第一步是验证当n取 第一个可取值时结论成立，第一个可取值不一定是1. (2)错误.例如，证明等式 时，也可直接运用等比数列的求和公式证明. (3)错误.用数学归纳法证明问题时，归纳假设必须用上，否则 就不是用数学归纳法证明. (4)错误.用数学归纳法证明时，由nk 到 nk1时项数不 一定都增加了一项. (5)正确.当n=1时左边式子一共有4项，为

3、1+2+22+23. 答案:(1) (2) (3) (4) (5),1用数学归纳法证明3nn3(n3,nN)时，第一步应验证当n取何值时成立( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】选C.由已知条件n3,nN知，应验证当n=3时不等式成立.,2.若 则f(1)为( ) (A)1 (B) (C)1+ (D) 【解析】选D.f(1)=,3用数学归纳法证明： 时，在第二步证明从 nk 到 nk1 成立时，左边增加的 项数是( ) (A)2k (B)2k-1 (C)2k-1 (D)2k+1 【解析】选A.增加的项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2k，故选A.,4用数学归纳法证明等式(

4、n+1)(n+2)(n+n)= 2n13 (2n-1)(nN*)，由n=k到n=k+1时，等式左边的变化 是( ) (A)多乘了(2k+1) (B)多乘了2(2k+1) (C)多乘了(2k+1)(2k+2) (D)多乘了2(k+1),【解析】选B.当n=k时，左边 =(k+1)(k+2)(k+k), 当n=k+1时，左边 =(k+1)+1(k+1)+2(k+1)+(k+1) =(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2) =(k+1)(k+2)(k+k) =(k+1)(k+2)(k+k)2(2k+1), 所以多乘了2(2k+1).,5在数列an中，a1 且Sn=n(2n-1)an，通

5、过求a2，a3，a4，猜想an的表达式，其结果是_. 【解析】由a1 且Sn=n(2n-1)an得，a2 ，a3 ，a4 ，而 可得 答案:,考向1 用数学归纳法证明等式 【典例1】(2012天津高考)已知an是等差数列，其前n项和为Sn，bn是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4-b4=10. (1) 求数列an与bn的通项公式. (2) 记Tn=anb1+an-1b2+a1bn(nN*)，证明Tn+12=-2an+10bn (nN*). 【思路点拨】(1)第一问可分别求出公差和公比即得通项公式.(2)第二问可用数学归纳法证明等式成立.,【规范解答】(1)设等差数列an的公差为

6、d，等比数列bn的 公比为q， 由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d, 由条件得方程组： an=3n-1,bn=2n(nN*). (2)下面用数学归纳法证明等式Tn+12=-2an+10bn(nN*)成立. 当n=1时，T1+12=a1b1+12=16，而 -2a1+10b1=16,故等式成立；,假设当n=k(k1,且kN*)时等式成立，即Tk+12=-2ak+10bk, 则当n=k+1时有： Tk+1=ak+1b1+akb2+ak-1b3+a1bk+1 =ak+1b1+q(akb1+ak-1b2+a1bk) =ak+1b1+qTk =ak+1b1+q(-2ak+1

7、0bk-12) =2ak+1-4(ak+1-3)+10bk+1-24 =-2ak+1+10bk+1-12.,即Tk+1+12=-2ak+1+10bk+1. 因此n=k+1时等式也成立. 由和可知，对任意nN*,Tn+12=-2an+10bn(nN*)成立.,【拓展提升】用数学归纳法证明等式的注意点 (1)明确等式两边项的构成规律，弄清由n=k到n=k+1时左边的项是如何变化的，由此明确变形的目标. (2)注意合理利用恒等变形的常用方法.例如,因式分解、添拆项、配方等.,【变式训练】 是否存在常数a，b，c，使等式122232 n(n1)2 (an2bnc)对一切正整数n都成 立？证明你的结论,

8、【解析】把n1，2，3代入等式得方程组 解得 猜想：等式122232n(n1)2 (3n211n10)对一切nN*都成立,下面用数学归纳法证明： (1)当n1时，由上面可知等式成立 (2)假设nk(k1,kN*)时等式成立， 即122232k(k1)2 (3k211k10)， 则当nk+1时， 122232k(k1)2(k1)(k2)2 (3k211k10)(k1)(k2)2 (3k5)(k2)(k1)(k2)2,当 nk1 时，等式也成立 综合(1)(2)，对nN*等式都成立,考向2 用数学归纳法证明不等式 【典例2】由下列不等式： 你能得到一个怎样的一般不等式？并加 以证明.,【思路点拨】

9、观察所给出的不等式，其左边是若干个分式相 加，分子都是1，分母由1开始，每一项比前一项大1，最后一 项是2n-1，因此左边的式子为 不等式的右 边是一个分数，依次为 由此可得到一般的不等 式.证明可采用数学归纳法.,【规范解答】根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式， 即一般不等式为 用数学归纳法证明如下： (1)当n=1时，1 ,猜想成立. (2)假设当n=k(k1,kN*)时，猜想成立，即 则当n=k+1时，,即当n=k+1时，猜想也成立，所以对任意的nN*，不等式都成立.,【拓展提升】用数学归纳法证明不等式的注意问题 (1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可

10、考虑应用数学归纳法. (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立，推证n=k+1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明.,【变式训练】求证：,【证明】(1)当n2时，左边 不等式成立 (2)假设nk(k2，kN*)时命题成立，即 则当nk1时， 当nk1时不等式亦成立 原不等式对一切n2，nN*均成立,【备选考向】归纳、猜想、证明 【典例】 在数列an中，a1=2,an+1=an+n+1+(2-)2n (nN*,0). (1)求a2，a3，a4. (2)猜想an的通项公式，并加以证明. 【思路点拨】利用递推公式将n=1,2,3代入即可求得a

11、2，a3，a4，然后再用数学归纳法证明猜想成立.,【规范解答】(1)a222(2)2222， a3(222)3(2)222323， a4(2323)4(2)233424. (2)由(1)可猜想数列通项公式为： an=(n-1)n+2n. 下面用数学归纳法证明： 当n1时，a12，等式成立 假设当nk(k1,kN*)时等式成立，即ak=(k-1)k+2k，,那么当n=k+1时， ak+1=ak+k+1+(2-)2k =(k-1)k+2k+k+1+2k+1-2k =(k+1)-1k+1+2k+1, 即当nk1时等式也成立，根据和可知，等式对任何nN*都成立,【拓展提升】解“归纳猜想证明”题的关键环

12、节 (1)准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础. (2)通过观察、分析、比较、联想，猜想出一般结论. (3)对一般结论用数学归纳法进行证明.,【变式训练】数列an中， 求a3,a4,猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想.,【解析】因为a1=1，a2= ，且 所以 同理可求得 归纳猜想 下面用数学归纳法证明猜想正确. (1)当n=1时，易知猜想正确. (2)假设当n=k(k1,kN*)时，猜想正确，即 那么当n=k+1时，,即当n=k+1时，猜想也正确. 由(1)(2)可知，猜想对任意正整数都正确.,【备选考向】用数学归纳法证明整除问题 【典例】用数学归纳法证明：(3n+1)7n

13、-1(nN*)能被9整除. 【思路点拨】在第二步证明中，注意利用归纳假设，对n=k+1时的式子进行合理变形.,【规范解答】(1)当n=1时，(31+1)7-1=27能被9整除，命题成立； (2)假设当n=k(kN*,k1)时命题成立， 即(3k+1)7k-1能被9整除， 则当n=k+1时， 3(k+1)+17k+1-1 =(3k+1)7k+1-1+37k+1 =(3k+1)7k-1+6(3k+1)7k+37k+1,=(3k+1)7k-1+9(2k+3)7k. 由于(3k+1)7k-1和9(2k+3)7k都能被9整除， 所以(3k+1)7k-1+9(2k+3)7k能被9整除， 即当n=k+1时，

14、命题也成立， 故(3n+1)7n-1(nN*)能被9整除.,【拓展提升】证明整除问题的关键“凑项” 证明整除问题的关键是“凑项”，即采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，将n=k+1时的式子凑出n=k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证.,【变式训练】用数学归纳法证明42n+1+3n+2能被13整除，其中n为正整数. 【证明】(1)当n=1时，421+1+31+2=91能被13整除. (2)假设当n=k(k1,kN*)时，42k+1+3k+2能被13整除， 则当n=k+1时， 方法一：42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+23-42k+13+42k+13 =42k+113+3(4

15、2k+1+3k+2). 42k+113能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除, 42(k+1)+1+3k+3能被13整除.,方法二：42(k+1)+1+3k+3-3(42k+1+3k+2) =(42k+142+3k+23)-3(42k+1+3k+2)=42k+113, 42k+113能被13整除， 42(k+1)+1+3k+3-3(42k+1+3k+2)能被13整除，即42(k+1)+1+3k+3能被13整除, 当n=k+1时，命题也成立, 由(1)、(2)知，对任意nN*，42n+1+3n+2都能被13整除.,【易错误区】未运用归纳假设致误 【典例】用数学归纳法证明： 【误区警示】

16、本题错误在于证明当n=k+1等式也成立这一步骤 时，没有运用归纳假设，而是直接利用等比数列的前n项和公 式求得 这是错误的.,【规范解答】当n=1时，左边= ，右边 等式成立. 假设当n=k(k1,kN*)时，等式成立， 即 则当n=k+1时， 即当n=k+1时，等式也成立. 由知，等式对nN*成立.,【思考点评】数学归纳法证题的关注点 在运用数学归纳法证明问题时，两个步骤缺一不可，尤其是在证明第二步时，一定要运用归纳假设，即运用当n=k时得到的结论，去证明当n=k+1时命题的正确性，否则，若没有运用归纳假设，即使证明出当n=k+1时结论成立，也不是利用数学归纳法证明问题，这种证法是错误的.,

17、1.(2013广州模拟)用数学归纳法证明123n2 则当nk1时左端应在nk的基础上加上式子( ) (A)k21 (B)(k1)2 (C) (D)(k21)(k22)(k1)2,【解析】选D.当n=k时，左端=1+2+3+k2,当n=k+1时，左端=1+2+k2+(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2，因此应在n=k的基础上加上式子(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2.,2.(2013九江模拟)用数学归纳法证明34n+1+52n+1(nN*)能被8整除时，当n=k+1时，对于34(k+1)+1+52(k+1)+1可变形为( ) (A)5634k+1+25(34k+1+52k+1) (B)

18、3434k+1+5252k (C)34k+1+52k+1 (D)25(34k+1+52k+1),【解析】选A.当n=k时，34k+1+52k+1能被8整除，那么当n=k+1时，34k+5+52k+3=52(34k+1+52k+1)-5234k+1+34k+5=(34-52)34k+1+ 52(34k+1+52k+1)=5634k+1+25(34k+1+52k+1),故选A.,3.(2013江门模拟)凸n边形有f(n)条对角线，凸(n+1)边形有f(n+1)条对角线，则( ) (A)f(n+1)=f(n)+n+1 (B)f(n+1)=f(n)+n (C)f(n+1)=f(n)+n-1 (D)f(n+1)=f(n)+n-2,【解析】选C