高中数学函数定义及表示方法专项讲解及练习

1、专题专题函数定义及表示方法函数定义及表示方法 考点精要考点精要 1 1了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的 概念概念 2 2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解 析法）表示函数析法）表示函数 3 3了解简单的分段函数，并能简单应用了解简单的分段函数，并能简单应用 4 4理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函 数奇偶性的含

2、义数奇偶性的含义 热点分析热点分析 主要考查简单函数的定义值、值域、表示方法及影射的概念主要考查简单函数的定义值、值域、表示方法及影射的概念 知识梳理知识梳理 1 1函数：设集合函数：设集合 A A 是一个非空的数集，对是一个非空的数集，对 A A 中的任意数中的任意数 x x，按照确定的法，按照确定的法 则则 f f， 都有唯一确定的数都有唯一确定的数 y y 与它对应，与它对应， 则这种对应关系叫做集合则这种对应关系叫做集合 A A 上的一个函数，上的一个函数， 记作记作 y=fy=f（x x） ，x xA A，其中，其中 x x 叫做自变量，自变量取值的范围（数集叫做自变量，自变量取值的

3、范围（数集 A A）叫做这）叫做这 个函数的定义域个函数的定义域 如果自变量取值如果自变量取值 a a，则由法则，则由法则 f f 确定的值确定的值 y y 称为函数在称为函数在 a a 处的函数值，记作处的函数值，记作 y=fy=f（a a）或）或 y y| |x=a x=a 所有函数值构成的集合所有函数值构成的集合y | y f (x), x A叫做这个函数的值域叫做这个函数的值域 2 2函数两要素：因为函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定，所以确函数两要素：因为函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定，所以确 定一个函数就只需要两个要素：定义域和对应法则定一个函数就只需要两个要素

4、：定义域和对应法则 3 3映射：设映射：设 A A，B B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则是两个非空集合，如果按照某种对应法则 f f，对，对 A A 中的任意中的任意 一个元素一个元素 x x，在，在 B B 中有且仅有一个元素中有且仅有一个元素 y y 与与 x x 对应，则称对应，则称 f f 是集合是集合 A A 到集合到集合 B B 的映射这时，称的映射这时，称 y y 是是 x x 在映射在映射 f f 的作用下的象，记作的作用下的象，记作 f f（x x） ，于是，于是 y=fy=f（x x） ，x x 称作称作 y y 的原象映射的原象映射 f f 也可以记为也可以记为

5、f f：A AB B，x xf f（x x） ， 其中其中 A A 叫做映射叫做映射 f f 的定义域（函数定义域的推广）的定义域（函数定义域的推广） ，由所有象，由所有象 f f（x x）构成的集合）构成的集合 叫做映射叫做映射 f f 的值域，通常记作的值域，通常记作 f f（A A） 4 4一一映射：如果映射一一映射：如果映射f f 是集合是集合 A A 到集合到集合 B B 的映射，的映射，并且对于集合并且对于集合 B B 中的任意中的任意 一个元素，在集合一个元素，在集合 A A 中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之 间

6、存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合 A A 到集合到集合 B B 的一一映射的一一映射 5 5函数与映射：对定义域内每个自变量的值，根据确定的法则对应唯一的函数函数与映射：对定义域内每个自变量的值，根据确定的法则对应唯一的函数 值，函数值也在一个数集内变化于是函数也就是数集到数集的映射映射是值，函数值也在一个数集内变化于是函数也就是数集到数集的映射映射是 函数概念的推广，函数是一种特殊的映射函数概念的推广，函数是一种特殊的映射 这里要注意：在映射中，要求元素的对应形式是这里要注意：在映射中，要求元素的对应形式是 “ “多对一多对一” ”或或“ “

7、一对一一对一” ”，一，一 一映射中元素的对应形式必须是一映射中元素的对应形式必须是“ “一一对应关系一一对应关系” ” 6 6函数的表示方法：表示函数常用的方法有列表法、解析法和图象法三种函数的表示方法：表示函数常用的方法有列表法、解析法和图象法三种 列表法：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列列表法：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列 表法表法 图象法：对于函数图象法：对于函数 y=fy=f（x x） （x xA A）定义域内的每一个）定义域内的每一个 x x 值，都有唯一的值，都有唯一的 y y 值与它对应把这两个对应的数构成有序实数对（值与它对

8、应把这两个对应的数构成有序实数对（x x, , y y）作为点）作为点 P P 的坐标，即的坐标，即 P P （x x, , y y） ，则所有这些点的集合，则所有这些点的集合 F F 叫做函数叫做函数 y=fy=f（x x）的图象，即）的图象，即 F P(x, y)| y f (x), x A 这就是说，这就是说，如果如果 F F 是函数是函数 y=fy=f（x x）的图像，的图像，则图像上的任一点的坐标则图像上的任一点的坐标（x x, , y y） 都满足函数关系都满足函数关系 y=fy=f（x x） ；反之，满足函数关系；反之，满足函数关系y=fy=f（x x）的点（）的点（x x, ,

9、 y y）都在图象）都在图象F F 上上 这种用这种用“ “图形图形” ”表示函数的方法叫做图象法表示函数的方法叫做图象法 解析法：如果在函数解析法：如果在函数 y=fy=f（x x） （ x xA A）中，）中，f f（x x）是用代数式（或解析式）是用代数式（或解析式） 来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法（也称为公式法）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法（也称为公式法） 7 7分段函数：在函数的定义域内，对于自变量分段函数：在函数的定义域内，对于自变量 x x 的不同取值区间，有着不同的的不同取值区间，有着不同的 对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，如对应法则，这样的函数通常

10、叫做分段函数，如y 等等 8 8求函数定义域：确定一个函数只需要两个要素，就是定义域和函数的对应法求函数定义域：确定一个函数只需要两个要素，就是定义域和函数的对应法 则则 f f，定义域是自变量，定义域是自变量 x x 的取值范围，它是函数不可缺少的组成部分，研究一个的取值范围，它是函数不可缺少的组成部分，研究一个 函数，首先要确定它的定义域，即函数，首先要确定它的定义域，即 “ “主角主角” ”自变量的自变量的“ “活动舞台活动舞台” ”在中学阶段，在中学阶段， 所研究的函数大都是能用解析式表示的，如果未加特殊说明，函数的定义域就所研究的函数大都是能用解析式表示的，如果未加特殊说明，函数的定

11、义域就 是指能使函数解析式有意义的所有实数是指能使函数解析式有意义的所有实数 x x 的集合，在实际问题中，还必须考虑的集合，在实际问题中，还必须考虑 自变量自变量 x x 所代表的具体量的允许范围求函数的定义域，一般要遵循以下几条所代表的具体量的允许范围求函数的定义域，一般要遵循以下几条 x , x0,1 ；y=y=| |x x| |；y=y=| |x x 1| 1| 2 x,x 1,2 原则：原则： （1 1）若）若 f f（x x）为整式，则函数的定义域为）为整式，则函数的定义域为 R R （2 2）若）若 f f（x x）为分式，则要求分母不为）为分式，则要求分母不为 0 0 （3 3

12、）若）若 f f（x x）为对数形式，则要求真数大于）为对数形式，则要求真数大于 0 0 （4 4）若）若 f f（x x）为根指数是偶数的根式即偶次根式，则要求被开方式非负）为根指数是偶数的根式即偶次根式，则要求被开方式非负 此外，函数解析式涉及零指数幂或负指数幂时，注意底数（式）不能为此外，函数解析式涉及零指数幂或负指数幂时，注意底数（式）不能为 0 0； 涉及到分数指数幂时，注意底数大于涉及到分数指数幂时，注意底数大于 0 0；如果函数；如果函数f f（x x）是由几个数学式子经由）是由几个数学式子经由 求和、差、积、商构成的，则其定义域是使每个式子都有意义的实数集合，实求和、差、积、商

13、构成的，则其定义域是使每个式子都有意义的实数集合，实 际上是一个不等式组的解集合际上是一个不等式组的解集合 例题精讲例题精讲 例例 1. 1.（1 1） 函数函数f (x) 3x2 1 x lg(3x 1)的定义域是 的定义域是_ （2 2）已知函数）已知函数 f f(2(2x x）的定义域是）的定义域是-1-1，1 1 ，求，求 f f(log(log2 2x x) )的定义域的定义域. . 2x x2 （3 3）函数）函数f (x) (32x)0的定义域是（的定义域是（） lg(2x 1) 变式题：已知函数变式题：已知函数 f f（x x）= = 是（是（） A Aa a 例例 2. 2.

14、求函数的解析式求函数的解析式 （1 1） 已知已知 f f（x x）是二次函数，且满足）是二次函数，且满足 f f（x x+1+1）+ + f f（x x 1 1）=2=2x x2 2 4 4x x，求，求 f f（x x） 1 3 3x 1 的定义域是的定义域是 R R，则实数，则实数 a a 的取值范围的取值范围 ax2 ax 3 3 B B1212a a0 0C C1212a a0 0D Da a 1 3 练习练习 ：已知：已知f (x)是一次函数，且是一次函数，且f (x1) f (x1) 2x3，则，则f (x) 1 （2 2）已知）已知f (x)满足满足2 f (x) f ( )

15、3x，求，求f (x)。 x 练习：已知练习：已知f (x)2 f (x) 3x2，则，则f (x) 11 （3 3）已知）已知f (x) x3 3 ，求，求f (x)； xx 练习练习 ：已知：已知f (x1) x22x3，则，则f (x) 2 （4 4）已知）已知f (1) lgx，求，求f (x)； x 练习：已知练习：已知f (3x1) 9x26x5，则，则f (x) 例例 3 3 求下列函数的值域求下列函数的值域 （1 1）f f（x x） = = x x2 2 2 2x x 3 3，x x2, 42, 4 （2 2）f f（x x） = = x x2 2 2 2x x 3 3，x

16、x 3, 43, 4 （3 3）f f（x x） = sin= sin2 2x x 2sin2sinx x 3 3，x xR R 1 （4 4）y 2 x22x （复合函数）（复合函数） （5 5）y x 4 1 x； （注：总结（注：总结y ax bcx d型值域，型值域， ） y x 1 x2 （6 6）y （7 7）y | x1| | x4|； 3x1 ； x2 2x2x2 （8 8）y 2 ； xx 1 2x2x 11 (x)；（9 9）y 2x 12 （1010）y x21 sinx 。f(x)的值域为的值域为 2cosx32 x 针对训练针对训练 1 1设设 A A，B B 都是正

17、整数集都是正整数集 N N* *，映射，映射 f f：A AB B 把把 A A 中的元素中的元素 n n 映射到映射到 B B 中的元中的元 素素 2 2n n+n+n，则在映射，则在映射 f f下，象下，象 2020 的原象是的原象是 A A2 2B B3 3C C 4 4D D 5 5 2 2下列各组函数中表示相同函数的一组是下列各组函数中表示相同函数的一组是 A Af(x) x2,g(x)log 2 2x x24 C Cf(x) ,g(x)x2 x2 B Bf(x) lgx2,g(x)2lgx D D f(x) x3,g(t)t3 3 3函数函数 y=fy=f（x x）的图像与直线）的

18、图像与直线 x=ax=a（a R R）的交点个数为 ）的交点个数为 A A0 0B B1 1C C0 0 或或 1 1D D可多于可多于 1 1 4 4函数函数f (x) 1 x x的定义域为 的定义域为 A Ax| x 1B Bx| x 0C Cx| x 1或x 0D Dx|0 x 1 x23x 4 5 5函数函数y 的定义域为的定义域为 x A A 4 4，11 （0 0，11 B B 4 4，0 0）C C （0 0，11D D 4 4，0 0） 1 6 6函数函数y lg 1的定义域是 的定义域是 x A A x x| |x x1 B B x x| |x x11C C x x|0|0x

19、 x11D D x x| |x x f f（1 1）的解集是）的解集是 x 6(x 0) A A(3,1)U (3,)B B(3,1)U (2, )C C D D(, 3)U (1,3) (1,1) U (3,) 1515已知函数已知函数f (x) x2| x 2|，则，则 f f（1 1）=_=_ 3 xx 1 1616已知函数已知函数f (x) ，若，若 f f（x x）=2=2，则，则 x x = _ = _ xx 1 1717函数函数f (x) _._. 4x 4, x 1 2 x 4x 3, x 1 的图像和函数的图像和函数 g g（x x）= log= log2 2x x 的图像的

20、交点个数是的图像的交点个数是 x2 2x a 1818已知函数已知函数f (x) ，若当，若当x1, 时时 f f（x x） 00 恒成立，求恒成立，求a a 的取值的取值 x 范围范围 1 2 2答案答案 例例 1 1 ,1 例例 2 2 f f ( (x x) =) = x x 2 2x x 1 1例例 3 3 （1 1）y3,5（2 2）y4,12（3 3） 3 y4,0（4 4）y0, 2 针对训练针对训练 1 1C C2 2D D3 3C 4C 4D D5 5D D6 6D D7 7C C8 8D D9 9C 10C 10A A1111C C1212B B 1313C C1414A

21、A15152 2 1616loglog3 32 217173 31818a a 3 3 高考链接高考链接模拟实战模拟实战 1 1（1111 北京理）如果北京理）如果log 1 x log 1 y 0，那么，那么 22 （A A）y x 1(B)(B)x y 1(C)(C)1 x y(D)(D)1 y x 2 x 2 , 2 2（1111 北京文）已知函数北京文）已知函数 f (x) x若关于若关于 x x 的方程的方程 f f（x x）=k=k 有两个有两个 (x1)3,x 2 不同的实根，则实数不同的实根，则实数 k k 的取值范围是的取值范围是_ 1 3 3 （ 0606全全 国国 文文

22、） 已已 知知f (x 1) 2x 3， 且且f (m) 6， 则则m等等 于于 2 （） A A、 4 4（0505 北京文）函数北京文）函数f (x) x1 1 的定义域为的定义域为. . 2 x 1133 B B、C C、D D、 4422 3 x,x 1, 5 5 （0909 北京文）北京文） 已知函数已知函数f (x) 若若f (x) 2， 则则x 。 x, x 1, 6 6（0808 全国）图中的图象所表示的函数的解析式为全国）图中的图象所表示的函数的解析式为 A A. .y B.B.y 3 | x 1|(0(0x x2)2) 2 33 | x 1|(0(0x x2)2) 22 ( () ) C C. .y 3 | x 1| (0 (0x x2)2) 2 D D. .y 1 | x 1|(0(0x x2)2) 3 x,x 1, 7 7（20092009 北京文）已知函数北京文）已知函数f (x) 若若