2013年江西省高考数学试卷（理科）

1、2013年江西省高考数学试卷（理科）一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合M=1，2，zi，i为虚数单位，N=3，4，MN=4，则复数z=（）A2iB2iC4iD4i2（5分）函数y=ln（1x）的定义域为（）A（0，1）B0，1）C（0，1D0，13（5分）等比数列x，3x+3，6x+6，的第四项等于（）A24B0C12D244（5分）总体由编号为01，02，19，20的20个个体组成利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编

2、号为（）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A08B07C02D015（5分）（x2）5的展开式中的常数项为（）A80B80C40D406（5分）若S1=x2dx，S2=dx，S3=exdx，则S1，S2，S3的大小关系为（）AS1S2S3BS2S1S3CS2S3S1DS3S2S17（5分）阅读如下程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中应填入的语句为（）AS=2*i2BS=2*i1CS=2*iDS=2*i+48（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，正方体的六个面所在的

3、平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=（）A8B9C10D119（5分）过点（）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（）ABCD10（5分）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，ll1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点设弧的长为x（0x），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（）ABCD二第卷填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11（5分）函数y=sin2x+2sin2x最小正周期T为12（5分）设，为单位

4、向量且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为13（5分）设函数f（x）在（0，+）内可导，且f（ex）=x+ex，则f（1）=14（5分）抛物线x2=2py（p0）的焦点为F，其准线与双曲线=1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p=三第卷选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两道题都做，按第一题评卷计分本题共5分15（5分）（坐标系与参数方程选做题）设曲线C的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为16（不等式选做题）在实数范围内，不等式|x2|1|1的解集为四第卷解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文

5、字说明、证明过程或演算步骤17（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosAsinA）cosB=0（1）求角B的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范围18（12分）正项数列an的前n项和Sn满足：Sn2（1）求数列an的通项公式an；（2）令b，数列bn的前n项和为Tn证明：对于任意nN*，都有T19（12分）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8（如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队

6、（1）求小波参加学校合唱团的概率；（2）求X的分布列和数学期望20（12分）如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，DABDCB，EA=EB=AB=1，PA=，连接CE并延长交AD于F（1）求证：AD平面CFG；（2）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值21（13分）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3问：是否存在常数，使得k1+k2=k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由22（14

7、分）已知函数f（x）=，a为常数且a0（1）f（x）的图象关于直线x=对称；（2）若x0满足f（f（x0）=x0，但f（x0）x0，则x0称为函数f（x）的二阶周期点，如果f（x）有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；（3）对于（2）中的x1，x2，和a，设x3为函数f（f（x）的最大值点，A（x1，f（f（x1），B（x2，f（f（x2），C（x3，0），记ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性2013年江西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2013江西）已知

8、集合M=1，2，zi，i为虚数单位，N=3，4，MN=4，则复数z=（）A2iB2iC4iD4i【分析】根据两集合的交集中的元素为4，得到zi=4，即可求出z的值【解答】解：根据题意得：zi=4，解得：z=4i故选C2（5分）（2013江西）函数y=ln（1x）的定义域为（）A（0，1）B0，1）C（0，1D0，1【分析】由函数的解析式可直接得到不等式组，解出其解集即为所求的定义域，从而选出正确选项【解答】解：由题意，自变量满足，解得0x1，即函数y=的定义域为0，1）故选B3（5分）（2013江西）等比数列x，3x+3，6x+6，的第四项等于（）A24B0C12D24【分析】由题意可得（3x

9、+3）2=x（6x+6），解x的值，可得此等比数列的前三项，从而求得此等比数列的公比，从而求得第四项【解答】解：由于 x，3x+3，6x+6是等比数列的前三项，故有（3x+3）2=x（6x+6），解x=3，故此等比数列的前三项分别为3，6，12，故此等比数列的公比为2，故第四项为24，故选A4（5分）（2013江西）总体由编号为01，02，19，20的20个个体组成利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）78166572080263140702436997280198320492344935820

10、03623486969387481A08B07C02D01【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01故选：D5（5分）（2013江西）（x2）5的展开式中的常数项为（）A80B80

11、C40D40【分析】利用（x）5展开式中的通项公式Tr+1=x2（5r）（2）rx3r，令x的幂指数为0，求得r的值，即可求得（x）5展开式中的常数项【解答】解：设（x）5展开式中的通项为Tr+1，则Tr+1=x2（5r）（2）rx3r=（2）rx105r，令105r=0得r=2，（x）5展开式中的常数项为（2）2=410=40故选C6（5分）（2013江西）若S1=x2dx，S2=dx，S3=exdx，则S1，S2，S3的大小关系为（）AS1S2S3BS2S1S3CS2S3S1DS3S2S1【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可【解答】解：由于S1=x2dx=|=，S

12、2=dx=lnx|=ln2，S3=exdx=ex|=e2e且ln2e2e，则S2S1S3故选：B7（5分）（2013江西）阅读如下程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中应填入的语句为（）AS=2*i2BS=2*i1CS=2*iDS=2*i+4【分析】题目给出了输出的结果i=5，让我们分析矩形框中应填的语句，根据判断框中内容，即s10，我们模拟程序执行的过程，从而得到答案【解答】解：当空白矩形框中应填入的语句为S=2*I时，程序在运行过程中各变量的值如下表示：i S 是否继续循环循环前1 0/第一圈 2 5 是第二圈 3 6 是第三圈 4 9 是第四圈 5 10 否故输出的i值为：5，符合

13、题意故选C8（5分）（2013江西）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=（）A8B9C10D11【分析】判断CE与EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，求出m+n的值【解答】解：由题意可知直线CE与正方体的上底面平行在正方体的下底面上，与正方体的四个侧面不平行，所以m=4，直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以n=4，所以m+n=8故选A9（5分）（2013江西）过点（）引直线l与曲线y

14、=相交于A，B两点，O为坐标原点，当ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（）ABCD【分析】由题意可知曲线为单位圆在x轴上方部分（含与x轴的交点），由此可得到过C点的直线与曲线相交时k的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值【解答】解：由y=，得x2+y2=1（y0）所以曲线y=表示单位圆在x轴上方的部分（含与x轴的交点），设直线l的斜率为k，要保证直线l与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，则1k0，直线l的方程为y0=，即则原点O到l的距离d=，l被半圆截得的半弦长为则=令，则，当，即

15、时，SABO有最大值为此时由，解得k=故答案为B10（5分）（2013江西）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，ll1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点设弧的长为x（0x），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（）ABCD【分析】由题意可知：随着l从l1平行移动到l2，y=EB+BC+CD越来越大，考察几个特殊的情况，计算出相应的函数值y，结合考查选项可得答案【解答】解：当x=0时，y=EB+BC+CD=BC=；当x=时，此时y=AB+BC+CA=3=2；当x=时，FOG=，三角形OFG为正三

16、角形，此时AM=OH=，在正AED中，AE=ED=DA=1，y=EB+BC+CD=AB+BC+CA（AE+AD）=321=22如图又当x=时，图中y0=+（2）=22故当x=时，对应的点（x，y）在图中红色连线段的下方，对照选项，D正确故选D二第卷填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11（5分）（2013江西）函数y=sin2x+2sin2x最小正周期T为【分析】函数解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期【解答】解：y=sin2x+2=sin2xcos2x+=2（sin2xcos2

17、x）+=2sin（2x）+，=2，T=故答案为：12（5分）（2013江西）设，为单位向量且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为【分析】根据题意求得的值，从而求得的值，再根据在上的射影为 ，运算求得结果【解答】解：、为单位向量，且 和 的夹角等于，=11cos=+3，=2，=（+3）（2）=2+6=2+3=5在上的射影为 =，故答案为 13（5分）（2013江西）设函数f（x）在（0，+）内可导，且f（ex）=x+ex，则f（1）=2【分析】由题设知，可先用换元法求出f（x）的解析式，再求出它的导数，从而求出f（1）【解答】解：函数f（x）在（0，+）内可导，且f（ex）=x+e

18、x，令ex=t，则x=lnt，故有f（t）=lnt+t，即f（x）=lnx+x，f（x）=+1，故f（1）=1+1=2故答案为：214（5分）（2013江西）抛物线x2=2py（p0）的焦点为F，其准线与双曲线=1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p=6【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p即可【解答】解：抛物线的焦点坐标为（0，），准线方程为：y=，准线方程与双曲线联立可得：，解得x=，因为ABF为等边三角形，所以，即p2=3x2，即，解得p=6故答案为：6三第卷选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两道题都做，按

19、第一题评卷计分本题共5分15（5分）（2013江西）（坐标系与参数方程选做题）设曲线C的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为cos2sin=0【分析】先求出曲线C的普通方程，再利用x=cos，y=sin代换求得极坐标方程【解答】解：由（t为参数），得y=x2，令x=cos，y=sin，代入并整理得cos2sin=0即曲线C的极坐标方程是cos2sin=0故答案为：cos2sin=016（2013江西）（不等式选做题）在实数范围内，不等式|x2|1|1的解集为0，4【分析】利用绝对值不等式的等价形式，利用绝对值不等式几何意义求

20、解即可【解答】解：不等式|x2|1|1的解集，就是1|x2|11的解集，也就是0|x2|2的解集，0|x2|2的几何意义是数轴上的点到2的距离小于等于2的值，所以不等式的解为：0x4所以不等式的解集为0，4故答案为：0，4四第卷解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）（2013江西）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosAsinA）cosB=0（1）求角B的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范围【分析】（1）已知等式第一项利用诱导公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，整理后根据sinA不为0求出tanB的值，

21、由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由余弦定理列出关系式，变形后将a+c及cosB的值代入表示出b2，根据a的范围，利用二次函数的性质求出b2的范围，即可求出b的范围【解答】解：（1）由已知得：cos（A+B）+cosAcosBsinAcosB=0，即sinAsinBsinAcosB=0，sinA0，sinBcosB=0，即tanB=，又B为三角形的内角，则B=；（2）a+c=1，即c=1a，cosB=，由余弦定理得：b2=a2+c22accosB，即b2=a2+c2ac=（a+c）23ac=13a（1a）=3（a）2+，0a1，b21，则b118（12分）（20

22、13江西）正项数列an的前n项和Sn满足：Sn2（1）求数列an的通项公式an；（2）令b，数列bn的前n项和为Tn证明：对于任意nN*，都有T【分析】（I）由Sn2可求sn，然后利用a1=s1，n2时，an=snsn1可求an（II）由b=，利用裂项求和可求Tn，利用放缩法即可证明【解答】解：（I）由Sn2可得，（Sn+1）=0正项数列an，Sn0Sn=n2+n于是a1=S1=2n2时，an=SnSn1=n2+n（n1）2（n1）=2n，而n=1时也适合an=2n（II）证明：由b=19（12分）（2013江西）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再

23、从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8（如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队（1）求小波参加学校合唱团的概率；（2）求X的分布列和数学期望【分析】（1）先求出从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法，而X=0时，即两向量夹角为直角，求出结果数，代入古典概率的求解公式可求（2）先求出两向量数量积的所有可能情形及相应的概率，即可求解分布列及期望值【解答】解：（1）从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法有=28种X=0时，两向量夹角为直角共有8种情形所以小波参加学校合唱团的概率P（X=0）=（2）两

24、向量数量积的所有可能情形有2，1，0，1X=2时有2种情形X=1时有8种情形X=1时，有10种情形X的分布列为： X21 01 PEX=20（12分）（2013江西）如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，DABDCB，EA=EB=AB=1，PA=，连接CE并延长交AD于F（1）求证：AD平面CFG；（2）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值【分析】（1）利用直角三角形的判定得到BAD=，且ABE=AEB=由DABDCB得到EABECB，从而得到FED=FEA=，所以EFAD且AF=FD，结合题意得到FG是PAD是的中位线，可得FGPA，根据PA平面ABC

25、D得FG平面ABCD，得到FGAD，最后根据线面垂直的判定定理证出AD平面CFG；（2）以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，得到A、B、C、D、P的坐标，从而得到、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（1，）和=（1，2）分别为平面BCP、平面DCP的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，即可得到平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值【解答】解：（1）在DAB中，E为BD的中点，EA=EB=AB=1，AE=BD，可得BAD=，且ABE=AEB=DABDCB，EABECB，从而得到FED=BEC=AEB=EDA=EAD=，可得EFAD

26、，AF=FD又PAD中，PG=GD，FG是PAD是的中位线，可得FGPAPA平面ABCD，FG平面ABCD，AD平面ABCD，FGAD又EF、FG是平面CFG内的相交直线，AD平面CFG；（2）以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（，0），D（0，0），P（0，0，）=（，0），=（，），=（，0）设平面BCP的法向量=（1，y1，z1），则解得y1=，z1=，可得=（1，），设平面DCP的法向量=（1，y2，z2），则解得y2=，z2=2，可得=（1，2），cos，=因此平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值等于co

27、s，=21（13分）（2013江西）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3问：是否存在常数，使得k1+k2=k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由【分析】（1）由题意将点P （1，）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为e=，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；（2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系求得x1+x2=，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3比较k1+k2=k3即可求得参数的值；方法二：设B（x0，y0）（x01），以之表示出直线FB的方程为，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2，k3比较k1+k2=k3即可求得参数的值【解答】解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2，代入解得c=1，a=2，b=故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x1）代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x28k2x+4k212=0设A（x1，y1）