四川大学理论力学第9章第一课时

1、欢迎光临,理论力学,第三篇 动力学,一、动力学的任务 动力学研究物体的运动变化与作用在物体上的力之间的一般关系。 动力学研究方法上的特点是既要对研究对象进行受力分析,又要进行运动分析,并根据动力学定律建立力和运动之间的定量关系。,二、力学模型 质点、质点系、刚体 三、动力学的内容 动力学部分包括以下内容：质点动力学；动量定理、动量矩定理、动能定理，碰撞；动静法；以及作为分析动力学基础的虚位移原理和拉格朗日方程；动力学专题有：一个自由度系统振动。,四、两类基本问题 动力学研究两类基本问题: (1)已知运动求力(正问题) (2)已知力求运动(逆问题),牛顿运动三定律,动力学基本方程,或,第二定律

2、质点受力作用时所获得的加速度的大小与作用力的大小成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方向相同。,第一定律 任何质点如不受力作用，则将保持其原来静止的或匀速直线运动的状态。,第三定律 对应每个作用力必有一个与其大小相等、方向相反且在同一直线上的反作用力。,质点的运动微分方程,或,质点运动微分方程的矢量形式,惯性坐标系：,在动力学中，把适用于牛顿定律的这种参考坐标系称为惯性坐标系或基础坐标系。,或,质点运动微分方程的矢量形式,质点运动微分方程的直角坐标形式,质点运动微分方程的自然坐标形式,动力学普遍定理,动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理和动能定理。这些定理使某些与运动有关的物理量，

3、如动量、动量矩和动能，和某些与作用力有关的物理量，如冲量、力矩和功等联系起来，建立它们之间数量上的普遍关系。应用这些定理求解质点和质点系的动力学问题，不但数学运算得到简化，而且会使我们更深入地了解机械运动的性质。,第 9 章 动量定理,动量定理建立了质系动量的变化率与作用于质系上外力系的主矢量之间的关系。质系动量定理和质心运动定理也是流体动力学及变质量质系动力学的理论基础。,9.1 质点系的动量定理,1. 质点及质点系的动量,动量是度量物体机械运动强度的一个物理量。质点的动量定义为它的质量与速度的乘积, 即,p = mv,动量是矢量, 其方向与质点的速度方向相同。 动量在坐标轴上的投影是代数量

4、。,质点系内所有质点的动量的矢量和称为质点系的动量, 即,p = pi = mivi,质点系内所有质点的动量构成一个动量系, 质点系的动量即是这个动量系的主矢量。质点系的动量是度量质点系整体运动的基本特征量之一。,2. 质点系的动量定理,考虑由n个质点组成的质点系,对其第i个质点应用牛顿第二定律得,式中mivi第i个质点的动量, Fie是作用于该质点的外力 的合力, Fii是作用于该质点的内力的合力。上式对i求和得,上式表明, 质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系的外力系的主矢。这一结论称为质点系的动量定理。在实际应用中常用其投影形式:,或,Iie称为力Fi(e)在时间间隔（t2 t1）内

5、的冲量，,令,则上式可写为：,上式表明, 质点系的动量在任一时间内的变化，等于同一时间内作用在该质点系上所有外力的 冲量的主矢。这一结论称为质点系的冲量定理。在实际应用中常用其投影形式:,由质点系的动量定理可知,系统动量的改变只与外力有关,而与内力无关。内力只能改变系统内部的相对运动,在系统内部作动量的转移和传递,而不能改变整个系统的动量。,3. 质点系的动量守恒,Fie 0,p =mivi = 常矢量,若作用于质点系的外力系的主矢恒等于零,则该质点系的动量保持不变质点系的动量守恒。,Fixe 0,px =mivix = 常数,若作用于质点系的外力系的主矢在某坐标轴上的投影恒等于零, 则该质点

6、系的动量在同一轴上的投影保持不变质点系的动量在该坐标轴方向守恒。,例1、 斜向抛一物体，在最高点炸裂成两块，一块沿原轨道返回抛射点，另一块落地点水平距离OB 则是未炸裂时应有水平距离OB0 的两倍。求物体炸裂后两块质量之比。,解：设物体炸裂后两块质量分别为m1 和m2，炸开前的速度为 v。炸开后第一块的速度变为 v1，继续向前；第二块的速度为v2，转向后方，应有v2 = - v 。,因爆炸力为内力，系统动量在水平方向守恒，即,如图示，因为,所以,代入上式,从而解得,例2、已知m1=2kg，m2=1kg, m3=0.5kg , 小车与沙箱以v0=3.5km/h在光滑水平面上作匀速直线运动。求物体

7、A 铅直向下落入沙箱后小车的速度。设A落入后，沙箱在小车上 滑动0.2s后，才与车面相对静止，求车面与箱底相互作用的摩擦力的平均值。,解：（1）取系统为研究对象，受力如图示。系统动量在水平方向守恒。设重物落入小车后速度为v，则,解得：,v0,（2）取小车为研究对象，其受力如图示。根据动量定理的有限形式有,解得：,1. 质点系的质量中心,质量中心，简称质心，是反映质点系内质量分布状况的物理概念之一。,质点系的质心C相对于O的矢径定义为,显然,质系矢径是质系中各点矢径的加权平均值，所取权数是该质点的质量 。,9.2 质心运动定理,质心位置坐标公式,式中(xi, yi, zi)是质点mi的坐标。,显

8、然, 均质物体的质心与形心相重合。在地球表面附近, 质点系的质心与重心相重合。,2. 质心运动定理,设 m = mi 则有,mrC =miri,mvC =mivi,= p,即质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积。,maC =Fie,即质点系的总质量与质心加速度之积等于作用于质点系的外力系的主矢,这一结论称为质心运动定理。,maC =Fie,由此定理可得到以下结论：,（1）质系质心的运动，可以视为一质点的运动，如将质系的质量集中在质心上，同时将作用在质系上所有外力都平移到质心上，则质心运动的加速度与所受外力的关系符合牛顿第二定律。,（2） 质系的内力不影响质心的运动，只有外力才能改变质

9、心的运动。例如汽车行驶是靠车轮与路面的摩擦力。,质心运动定理的投影形式,在直角坐标系上的投影形式,在自然轴系上的投影形式,对于刚体系，整个系统的质心的矢径,刚体系统质心运动定理,3. 质心运动守恒,Fie 0,vC = 常矢量,若作用于质点系的外力系的主矢恒等于零,则该质点系的质心处于静止或匀速直线运动状态质点系的质心运动守恒。,aC = 0,Fixe 0,vCx = 常数,若作用于质点系的外力系的主矢在某坐标轴上的投影恒等于零, 则该质点系质心的速度在同一轴上的投影保持不变质心运动在该坐标轴方向守恒。,aCx = 0,maC =Fie,Fixe 0 且 vCx0 = 0,xC = 常数,xC

10、 = xC0,质心守恒定律的位移形式,例1. 试求下列均质体的动量。,p = Gl/2g,p = 0,例2. 己知m、u, = 45, 杆重不计,园盘沿斜面纯滚,试求系统的动量。,解: 斜面平动,园盘作平面运动,瞬心为C。如图有,vO = u,系统的动量大小为,p = mu,D,例3. 均质杆AB=2a, A端置于光滑水平面上,当杆从铅直位置无初速地倒下时,求B端的轨迹。,解: t=0时, vCx=0, xC=0; 水平方向无外力作用,质心的水平运动守恒,故始终有 xC=0。如图在任意时刻有,yC = a sin,yB =2yC = 2a sin,由以上二式消去 得,即 B 端的轨迹为椭园。,

11、例4. 已知FG 、 FP 、 FQ , 为常量, AO=2l,地面光滑，系统初始静止。(1)求电机质心 O 的水平运动; (2) 如将电机固定于地面,求固定螺栓的最大水平反力。,解: 以整个系统为研究对象。,(1) 取 x 轴水平向右为正, t=0时的电机质心O为坐标原点。,x2 = x1 + l sint,x3 = x1 + 2l sint,在时刻 t 有,故系统质心的坐标为:,系统在水平方向不受外力作用, 质心的水平运动守恒,而初始时刻 vC = 0, xC = 0, 因此,(2) 若电机固定于地面,仍取 x 轴水平向右为正, 电机质心O为坐标原点。 则,设固定螺栓的水平反力为Fx,则由质心运动定理有,例5、在光滑轨道上有一小车，长为l，重为w1。重为w2的人站在小车A端，开始时人与车都静止，如图示。令人从A端走到B端，问小车后退距离s。,解：取整体。由题意可知，质点所受外力在水平方向投影为零。开始时系统处于静止。人从A端到B端时，小车和人的x坐标变量为,由,得,所以,例6、 图示曲柄滑块机构，曲