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文档简介

1、a,1,第五节 典型例题,n阶行列式的计算是学习线性代数的基础，在以后的各章中都要用到它。这里主要应该掌握的基本方法是：,1. 用n阶行列式的性质把一般行列式化成特殊行列式（如上三角行列式等）来计算。,2. 用n阶行列式的展开定理，把行列式按某一行（列）展开，即化高阶行列式为低阶行列式来计算。(Laplace定理),3. 其他方法：对于具有特殊形式的行列式，有一些特殊的方法：递推、归纳、加边等.,a,2,证明,用数学归纳法,证明范得蒙(Vandermonde)行列式,例1,(1),a,3,a,4,n-1阶范德蒙行列式,注意：范德蒙行列式是等于零a1, a2, , an中至少有两元素相等.,a,

2、5,例2 计算,利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德 蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列 式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。,a,6,解,a,7,上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知,a,8,例3,计算n阶行列式,加边法：行列式的每行或每列除对角线上元素外分别是某个数的倍数.,a,9,a,10,这种形式的行列式简称“两边加一对角线”行列式，它必可利用行列式性质化为三角形行列式而求得其值，所以,a,11,a,12,a,13,例4,计算n阶行列式,a,14,解,将左上角的x改写为(xa)a，第一列的(a)均改写为0( a)，于是第一列各元素均为两项之和，于是,即,（

3、1）,a,15,利用类似的方法，可得,（2）,故从式（1）与（2）中可以消去Dn-1,a,16,例5,计算n阶行列式,a,17,解法1,化为三角行列式,此题的特点与2例6相同. 把各行都加到第一行上，然后提出公因式x+(n 1)a，得,(-a),(-a),(-a),a,18,a,19,解法2,化为两边加一对角线行列式,(-1),(-1),(-1),a,20,a,21,a,22,加边法,将Dn添加一行、一列，构成n+1阶行列式。,解法3,(-1),(-1),(-1),a,23,把行列式的第2、3、n+1列分别提出公因子x-a，得,a,24,a,25,解法4,递推法,将Dn的第一列元素都写成两个元素之和，然后将Dn拆成两个n阶行列式的和，再利用递推关系,a,26,a,27,例6 计算行列式,a,28,解：此类型行列式称为三对角线型，常采用方法是将两条次对角线中某一条上元素全化为零或递推法.,

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