南理工高等数学下第11章 无穷级数_第1页
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文档简介

1、,一、问题的提出,1. 计算圆的面积,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,级数的概念,1. 级数的定义:,(常数项)无穷级数,一般项,部分和数列,级数的部分和,2. 级数的收敛与发散:,余项,无穷级数收敛性举例：Koch雪花.,做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形“Koch雪花”,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,播放,周长为,面积为,第 次分叉：,于是有,结论：雪花的周长是无界的，而面积有界,雪花的面积存在极限（收敛）,解,收敛,发散,发散,发散,综

2、上,解,基本性质,结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.,结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,证明,类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.,证明,注意,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,收敛,发散,二、正项级数及其判敛法,证明,级数收敛的必要条件:,注意,1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;,发散,2.必要条件不充分.,讨论,8项,4项,2项,2项,项,由性质4推论,调和级数发散.,正项级数及其审敛法,1.定义:,这种级数称为正项级数.,2.正项级数收敛的充要条件:,定理,部分和数列 为单调增加数列.,证明,即部分和数列有界,3.比较审敛法,

3、不是有界数列,定理证毕.,比较审敛法的不便:,须有参考级数.,解,由图可知,重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.,证明,4.比较审敛法的极限形式:,证明,由比较审敛法的推论, 得证.,解,原级数发散.,故原级数收敛.,证明,收敛,发散,比值审敛法的优点:,不必找参考级数.,两点注意:,解,比值审敛法失效, 改用比较审敛法,级数收敛.,三、任意项级数,定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.,证明,满足收敛的两个条件,定理证毕.,解,原级数收敛.,绝对收敛与条件收敛,定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,证明,上定理的作用：,任意项级数,正项级数,解,故由定理知原级数绝对收敛.,四、小结,常数项级数的基本概念,基本审敛法,思考题,思考题解答,由比较审敛法知 收敛.,反之不成立.,例如：,收敛,发散.,练习题 1,练习题 1 答案,练 习 题 2,练习题 2 答案,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过

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