数学分析 第八章 重积分_第1页
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文档简介

1、第八章 重积分,1.二重积分的概念,1.平面集合的面积,2.二重积分的定义 设 是平面上的一个有界闭区域. 是零面积 集合. 是定义在 上的函数. 用两组 相互横截的曲线将 分成 个小区域. 并进一步假定分割 的曲线都是零面积的. 令 . 再任取 , 考察和 记,如果存在数 , 对 , , 使得 只要 , 不论 分割曲线组及中间点如何选取，那么就称 在 上可积. 称 为 在 上的二重积分. 记作 或 .,3. 可积的必要条件与充分条件 定理1.1 若 在可求面积的有界闭区 域 上可积, 则 在 上有界. 定理1.2 设 是平面上有界闭区域, 边界是零 面积集合. 又设 在 上连续, 则 在 上

2、可积.,4. 二重积分的基本性质 (1) (2),(3)(区域可加性) 设 且 , 都是可求面积的, 在 上均 可积, 则 在 上可积, 且 .,(4) 若 , , 则 .,(5)积分中值定理 设 在可求面积的有界闭区域 上 连续, 则在 上至少存在一点 , 使得 , 其中 的面积.,2. 二重积分的计算,1. 化二重积分为累次积分 定理2.1 设 在有界闭区域 连续, , 其中 是 上连续函数, 则 , 上式右端积分称为累次积分.,例1 求 . 例2 求 . 例3 写出 所对应的累次积分, 其 中 由 所围.,2. 利用对称性化简计算 例4. 设 , 求 , . 例5. 求 .,3.极坐标下

3、二重积分的计算 定理2.2 设 为可求面积的有界闭区域, 在 上可积, 则 其中 .,例6. 设 , , 求 . 例7. 将 用极坐标化成二次积分, 其中 为 (1) (2)由 所围成 (3)由 所围成,例8. 求 , 其中 是 在第一卦限的部分.,3.二重积分的一般变元替换法则,设 在可求面积的有界闭区域 中 连续. 假定 是一一对应, 其中 是有界闭区域. , 在 中有连续的一阶偏导数, 并且 , .,定理3.1在上述假定下, 有下列公式,推论. 在上述假定下, 区域 的面积,例1. , 求 . 例2. , 求 . 例3. 求 所围区 域 的面积.,4. 三重积分的概念与计算,1.三重积分的概念 设 是 中可求体积的有界闭区域. 是 上函数. 分割 成 个互不 重叠的可求体积的小区域 任取 , , .,若对 的任一分割法及中间点的任意选

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