二项分布及其应用(理)

1、第七节 二项分布及其应用(理),点 击 考 纲 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念 2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布 3.能解决一些简单的实际问题.,关 注 热 点 1.相互独立事件、n次独立重复试验的概率及条件概率是高考重点考查的内容 2.三种题型均有可能出现，在解答题中常和分布列的有关知识结合在一起考查，属中档题目.,(3)条件概率的性质 条件概率具有一般概率的性质，即 . 如果B和C是两个互斥事件，即 P(BC|A) ,0P(B|A)1,P(B|A)P(C|A),2事件的相互独立性 设A，B为两个事件，如果P(AB) ，则称事件A与事件B相互独立,P(A)P(B),1如何判

2、断事件是否相互独立？ 提示：(1)利用定义：事件A、B相互独立P(AB)P(A)P(B) (2)利用性质：A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立,(3)具体背景下： 有放回地摸球，每次摸球结果是相互独立的 当产品数量很大时，不放回抽样也可近似看作独立重复试验,相同,A,B,4二项分布 在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生k的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(Xk) (k0,1,2，n)此时称随机变量X服从二项分布，记作 ，并称p为成功概率,Cnkpk(1p)nk,XB(n，p),2如何判断一个试验是不是独立重复试验？ 提示：

3、(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的 (2)各次试验中的事件是相互独立的 (3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生,3如何判断一个随机变量是否服从二项分布？ 提示：(1)这个随机变量是不是n次独立重复试验中某事件发生的次数 (2)这个事件在每次试验中发生的概率是不是确定的,答案：D,答案：A,3甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( ) A0.12 B0.42 C0.46 D0.88 解析：至少有一人被录取的概率P1(10.6)(10.7)10.40.310.120.88. 答案：D

4、,4接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为_ 解析：PC53(0.80)3(0.20)2C54(0.80)40.20(0.80)50.94. 答案：0.94,抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8” (1)求P(A)，P(B)，P(AB)； (2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率,【思路导引】 (1)利用古典概型的概率公式求解 (2)代入条件概率公式求解,提醒：在等可能事件的问题中，求条件概率第二种方法更易理解,1有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼

5、苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率 解析：设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件AB(发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为： P(B|A)0.8，P(A)0.9. 根据条件概率公式P(AB)P(B|A)P(A)0.90.80.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.,(2009全国卷)甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立已知前2局中，甲、乙各胜1局 (1)求甲获得这次比赛胜利的概率； (2)设X表示从第3局开始到比赛结束所进行的局

6、数，求X的分布列及数学期望,【思路导引】 (1)甲获得这次比赛胜利当且仅当甲先胜2局故分三类 (2)X的取值为2、3. 【解析】 记Ai表示事件：第i局甲获胜，i3,4,5，Bj表示事件：第j局已获胜，j3,4,5. (1)记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利 因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而 BA3A4B3A4A5A3B4A5，,由于各局比赛结果相互独立，故 P(B)P(A3A4)P(B3A4A5)P(A3B4A5) P(A3)P(A4)P(B3)P(A4)P(A5)P(A3)P(B4)P(A5) 0.60.60.40.60.60.60

7、.40.6 0.648.,(2)X的可能取值为2,3. 由于各局比赛结果相互独立，所以 P(X2)P(A3A4B3B4) P(A3A4)P(B3B4) P(A3)P(A4)P(B3)P(B4) 0.60.60.40.4 0.52， P(X3)1P(X2)10.520.48.,X的分布列为 E(X)2P(X2)3P(X3) 20.5230.48 2.48.,【方法探究】 (1)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有 利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解 正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算,(2)已知两个事件A、B相互独立，它们的概率分别为 P(A)、P(B)，则有,(1)求他们

8、选择的项目所属类别互不相同的概率； (2)记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列,(2)寻找与选择民生工程项目的人数的关系，据服从二项分布，可求的分布列,故的分布列是,【方法探究】 (1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的,(2)二项分布满足的条件 每次试验中，事件发生的概率是相同的 各次试验中的事件是相互独立的 每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生 随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数,即的分布列是,(20

9、10全国，12分)如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9.电流能否通过各元件相互独立已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.,(1)求p； (2)求电流能在M与N之间通过的概率； (3)表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望,(3)由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能否通过各元件相互独立， 故B(4,0.9)，E40.93.6.(12分) 【考向分析】 从近两年的高考试题来看，相互独立事件的概率、n次独立重复试验的概率是考查的热点，题型为解答题，属

10、中档题，主要考查对基本知识的应用及运算能力 预测2012年高考，相互独立事件的概率，n次独立重复试验仍然是考查的重点，同时应注意二项分布的应用,答案：B,答案：A,3在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是( ) A0.4,1 B(0,0.4 C(0,0.6 D0.6,1) 解析：设事件A发生的概率为p， 则C41p(1p)3C42p2(1p)2，解得p0.4. 答案：A,4某人有5把钥匙，一把是房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一把于是，他逐把不重复地试开，则：恰好第三次打开房门锁的概率是_；三次内打开的概率是_,5(