2014届高三理数考前查漏补缺(2)

1、2014届高三理数考前查漏补缺 (2)概率、统计及离散型随机变量的分布列常考知识点：1排列与组合：组合与顺序无关，排列与顺序有关；排列可以分成先选取(组合)后排列两个步骤进行2排列数、组合数的有关公式：An(n1)(n2)(nm1) = . An(n1)(n2)21n！ 规定0！1.C 性质：CC； CCC.3二项式定理： (ab)nCanCan1b1CankbkCbn(nN*)二项展开式的通项公式Tk1Cankbk.4二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即CC.(2)增减性与最大值：二项式系数C，当k时，二项式系数是递减的当n是偶数时，中间的一项Cn取得最

2、大值 当n是奇数时，中间两项Cn和Cn相等，且同时取得最大值(3)各二项式系数的和 (ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n；即CCCCC2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即CCCCCC2n1.5 概率的五个基本性质(1) 随机事件A的概率：0P(A)1. (2)必然事件的概率为1. (3)不可能事件的概率为0.(4) 若AB为不可能事件，则事件A与事件B互斥；如果事件A与事件B互斥，则P(AB)P(A)P(B)(5) 若AB为不可能事件，AB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(AB)P(A)P(B)1

3、，即P(A)1P(B)6 两种常见的概型(1)古典概型：特点：有限性，等可能性 概率公式：P(A).(2)几何概型：特点：无限性，等可能性 概率公式：P(A).7 随机抽样(1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围：总体中的个体较少(2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，适用范围：总体中的个体数较多(3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取，适用范围：总体由差异明显的几部分组成8 常用的统计图表(1)频率分布直方图：小长方形的面积组距频率；各小长方形的面积之和等于1；小长方形的高，所有小长方形的高的和为.(2)茎叶图：在样本数据较少时，用茎叶图表示

4、数据的效果较好9 用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)众数、中位数、平均数数字特征样本数据频率分布直方图众数出现次数最多的数据取最高的小长方形底边中点的横坐标中位数将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标平均数样本数据的算术平均数每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和(2)方差：s2(x1)2(x2)2(xn)2 标准差：s.10 变量的相关性与最小二乘法(1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数(2)最小二乘法：对于给定的一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，

5、通过求Q(yiabxi)2最小时，y1y2总计x1ababx2cdcd总计acbdn得到线性回归方程 x 的方法叫做最小二乘法11 独立性检验：对于取值分别是x1，x2和y1，y2的分类变量X和Y，其样本频数列联表是：则K2(其中nabcd为样本容量).12离散型随机变量的分布列及其均值与方差Xx1x2xixnPp1p2pipn (1)设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，则称表为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有性质：pi0，i1,2，n；p1p2pipn1. (2)均值：称E(X)x1p1x2p2xip

6、ixnpn 为随机变量X的均值或数学期望，它反映离散型随机变量取值平均水平(3)方差：称D(X) (xiE(X)2pi 为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差 (4)均值与方差的性质：(1)E(aXb)aE(X)b. (2)D(aXb)a2D(X).(a，b为常数)13两点分布及其均值、方差X10Ppq (1)如果随机变量X的分布列为其中0p0)为参数，我们称，(x)的图象(如图)为正态分布密度曲线，简称正态曲线 (2)正态曲线的性质：曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线x对称；曲线在x处达到峰值； 曲线与x轴

7、之间的面积为1；当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示；当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示19正态分布(1)正态分布的定义及表示：如果对于任何实数a，b (ab)，随机变量X满足P(aXb)，(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作N(，2)(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值: P(X)0.682 6； P(2X2)0.954 4； P(3X3)0.997 4.易错题示例：混淆相互独立事件的概率与二项分布例1 (2004重庆，理18) 设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路

8、口遇到绿灯（允许通行）的概率为，遇到红灯（禁止通行）的概率为。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，表示停车时已经通过的路口数，求：（1）的概率分布列及期望；（2）停车时最多已通过3个路口的概率。错解：(1) 的所有可能值为0，1，2，3，4，汽车通过每个路口的概率是，则B(4，)，于是E=； (2) 正解：(I) 的所有可能值为0，1，2，3，4. 用表示“汽车通过第k个路口时不停”则相互独立，故， ， ， ， ，01234P从而的分布列为(II) 。混淆古典概型与独立重复试验、二项分布例2 (2014调研一，理19) 为了迎接2014年青年奥运会，某中学举行了“奥运”知识测试. 已知

9、在备选的10道试题中，甲同学能答对其中的6道题，乙同学能答对其中的8道题，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格.(I) 求甲、乙两同学至少有一人测试合格的概率； (II) 求甲同学答对的试题数X的分布列和数学期望.错解：(1) 由题意甲答对每道的概率是，乙答对每道题的概率是，记甲、乙两人测试合格的事件分别为A、B，则 ， ，故甲、乙至少有一人测试合格的概率为.(2) 由题意甲答对的试题数XB(3，)，其中，则EX=.正解：(I)记甲、乙两人测试合格的事件分别为A、B，则 ，故甲、乙至少有一人测试合格的概率为.(II) 由题意X的可能取值为0，1，2，3，X01

10、23P则甲答对的试题数X的分布列如下：于是EX=.常考题型：题型一 统计与概率分布列的综合问题例1 (2010湖南，理19) 图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图.（）求直方图中的值.（）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数的分布列和数学期望. 解：(I) 依题意及频率分布直方图知，解得.(II) 由题意知，.因此，.01230.7290.2430.0270.001故随机变量的分布列为 的数学期望为.题型二 相互独立事件、互斥概率与分布列的综合问题例2（2013山东，理19）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛结果相互独立.()分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率;()若比赛结果为3:0或3:1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分、对方得1分. 求乙队得分的分布列及数学期望.解：(1) 记“甲队以30胜利”为事件A1，“甲队以31胜利”为事件A2，“甲队以32胜利”为事件A3，由题意，各局比赛结果相互独立，故 P(A1)，P(A2)， P(A3).所以，甲队以30胜利、以31胜利的概率都为