第六章-参数估计

1、1,统计学原理,主讲：李晓辉,南昌航空大学,2,某快餐店需要确定每份快餐的销售价格以及快餐原材料的采购成本，这需要估计每位顾客午餐的平均花费金额。假设该快餐店在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本，通过调查获取了每一个顾客的午餐花费金额，假定该样本的标准差为5元，样本均值为20元，试以95%的把握程度估计该店所有顾客午餐的平均花费金额所在的范围。,思考题 Thinking Challenge,3,第一节 参数估计的一般问题,第三节 样本容量的确定,第二节 参数的区间估计,第六章 参数估计,4,第一节 参数估计的一般问题,一、参数估计的概念,参数估计(parameter esti

2、mation)就是用样本统计量去估计总体参数。 估计量：用于估计总体参数的统计量。 如样本均值，样本比例，样本方差等，样本均值就是总体均值的一个估计量。 估计值：根据一个具体样本计算出来的估计量的具体值,5,二、点估计与区间估计 （一）点估计 也叫定值估计，它是以样本统计量作为总体参数的估计量，并以样本指标的实际值直接作为总体未知参数估计值的一种推断方法。 例如：用样本均值直接作为总体均值的估计。 点估计的方法主要有矩估计法、极大似然估计法、最小二乘法和顺序统计量法等。,6,矩一般分为原点矩和中心矩两种:,矩估计法：用样本矩去估计总体矩。就是用样本均值去估计总体均值，用样本方差去估计总体方差。

3、,假设X是随机变量，若E(Xk),(k=1,2, n)存在，则称E(Xk)为X的k阶原点矩;,显然，当k=1时，一阶原点矩就是数学期望;,假设随机变量X的函数X-E(X)k,(k=1,2, n)的数学期望存在，则称EX-E(X)k为X的k阶中心矩;,当k=2时，很明显能够看出，二阶中心矩就是方差.,7,【例】已知某种灯泡的寿命XN ，2,其中，2都是未知的，今随机取得4只灯泡，测得寿命（单位：小时）为1502，1453，1367，1650。试估计和,8,【解】,故和的估计值分别是1493和118.61小时。,9,点估计的缺点是无法控制误差。 从一个样本得到的估计值往往不会恰好等于总体实际值，总

4、有一定的估计误差。 点估计无法说明估计误差的大小，也无法说明估计结果有多大的把握程度。 仅适用于对推断的准确程度与可靠程度要求不高的情况,点估计的优点是简单，具体明确，给出确定的估计值。,10,的抽样分布,例如由样本均值估计总体均值，根据中心极限定理大样本条件下， N( ， ),11,（二）区间估计 (interval estimate),在点估计的基础上，给出总体参数的一个估计区间，该区间由样本统计量(点估计量)加减估计误差而得到 根据样本统计量的抽样分布能够给出总体参数落在该区间的可靠程度(置信水平) 比如，某班级平均分数在7585之间，置信水平是95%,12,区间估计的图示,x, -1.

5、65 x, +1.65x,90%的样本均值满足：,以总体均值区间估计为例,由样本均值抽样分布可知(正态总体或大样本),13,区间估计的图示,x,95%的样本均值满足：,14,区间估计的图示,99% 的样本,99%的样本均值满足：,由以上情况可知其他条件不变,置信水平越高,置信区间就越宽。,15,三、评价估计量的标准 无偏性(unbiasedness),无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数,16,一致性(consistency),一致性：随着样本量的增大，估计量的 值越来越接近被估计的总体参数,A,B,较小的样本量,较大的样本量,P( ),17,有效性(efficiency),有

6、效性：对同一总体参数的两个无偏点估计 量，标准差更小的估计量更有效,18,第二节 参数的区间估计,一、总体均值的区间估计,要考虑以下三个问题： 1.总体是否服从正态分布 2.总体方差是否已知 3.样本容量的大小,19,一总体服从正态分布XN ，2 ，总体方差已知或总体不管服从何种分布大样本 设x1, x2, xn是一个简单随机样本，则样本均值服从或近似服从正态分布,20,对于给定的置信概率即区间估计的可靠程度1-，查标准正态分布表，可得相应的临界值Z/2(标准正态分布上侧面积为/2时的Z值) 可以得出总体均值在置信概率为1-的置信区间为：,是总体标准差，若是未知的，在大样本情况下，常用样本标准

7、差S代替。,简记为：,21,【例】某企业从长期实践中得知，其产品直径X是一随机变量，服从标准差为0.05的正态分布。从某日产品中随机抽取6个，测得其直径分别为14.8，15.3，15.1，15，14.7，15.1（单位：厘米）。在0.95的置信度下，试求该产品直径的均值的置信区间。 【解】 1-=0.95，查标准正态分布表得 Z/2=Z0.025=1.96,样本均值,样本均值的标准误差,22,估计误差：,所求的95%置信水平下的置信区间为：,23,【例】某企业生产某种产品的工人有1000人，某日采用重复抽样从中随机抽取100人调查他们的当日产量，样本人均产量为35件，产量的样本标准差为4.5件

8、，试以95.45%的置信度估计平均产量的置信区间。,24,【解】 S=4.5，n=100，属大样本。故,已知1-=0.9545，查标准正态分布表得Z/2=2,总体人均产量的置信区间为： 35-0.935+0.9即在34.1至35.9件之间,25,（二）总体方差未知时，正态总体均值的区间估计小样本,设总体XN，2， x1, x2, xn是一个简单随机样本，样本均值为 ，样本标准差 为S，则统计量 tn-1,26,对于给定的置信概率即区间估计的可靠程度1-，查t分布表，可得相应的临界值t/2n-1 (t分布上侧面积为/2时的t值) 可以得出总体均值在置信概率为1-的置信区间为：,简记为：,27,【

9、例】某商场从一批袋装食品中随机抽取10袋，测得每袋重量（单位：克）分别为789、780、794、762、802、813、770、785、810、806，要求以95%的把握程度，估计这批食品的平均每袋重量的区间范围。,【解】样本平均数,样本标准差,28,已知1-=0.95，查t分布表得， t/2n-1=t0.0259=2.2622，,故估计误差为：,总体平均重量的置信区间为： 791.112.26克，即778.84803.36克。,29,二、总体比例的区间估计,在大样本下，样本比例的概率分布趋近于均值为总体比例P，方差为P1-P/n的正态分布。,给定置信度1-，由标准正态分布表查得临界值Z/2，

10、估计误差为Z/2 p，所以总体比例P的置信度为1-的置信区间为 p-Z/2pPp+Z/2p 。,30,【例】某企业在一项关于职工流动原因的研究中，从该企业前职工的总体中随机抽选了200人组成一个样本。在对其进行访问时，有140人说他们离开该企业是由于同管理人员不能融洽相处。试对由于这种原因而离开该企业的人员的真正比例构造95%的置信区间。,31,【解】已知n=200,p=0.7,1-=0.95,Z/2=1.96,故该企业职工由于同管理人员不能融洽相处而离开的比例为 0.7-0.06350.7+0.0635，即63.7%76.4%。,32,三、总体方差的区间估计,1. 估计一个总体的方差或标准差

11、 2. 假设总体服从正态分布 总体方差 2 的点估计量为s2,且,4. 总体方差在1- 置信水平下的置信区间为,33,总体方差的区间估计(图示), 2 (n-1), 21- 2 , 2 , 2值的 1- 置信区间, , ,由 2值的1- 置信区间求2的置信区间,34,【例6.13】已知大学新入学的男生身高服从正态分布，随机抽取某大学新入学的男生30 名，测试其身高数据见下表68所示：,表68 30名男生的身高（cm）,要求以95%的置信水平估计该校新入学男生身高方差的置信区间。,35, 2置信度为95%的置信区间为,因此可知该校新入学男生身高方差的置信区间为11.35cm32.34cm。,解:

12、已知n30，1-95% ,根据样本数据计算得s2 =(4.23)2,36,以简单随机抽样来说明 （一）重复抽样条件下样本容量的确定 总体均值的置信区间是由下式确定的：,一、估计总体均值时样本容量的确定,其中,为允许误差用表示。,即,可得样本容量,第三节 样本容量的确定,37,【例6.14】某工厂要估计本月生产的5000袋产品的平均重量，已知这种产品每袋重量的标准差为10克。要求在90%的概率保证程度下，平均每袋重量的允许误差不超过5克。那么在重复抽样条件下应抽取多大的样本容量来估计？,38,解：已知1=90%，Z/2 =1.645， =10， =5。,所以,因此在重复抽样条件下应当抽取11袋产品来做检验，可以保证在90%的概率程度下，平均每袋重量的允许误差不超过5克。,39,（二）不重复抽样条件下样本容量的确定 在不重复抽样条件下，因为,所以可求得,40,二、估计总体比例时样本容量的确定 （一）重复抽样条件下样本容量的确定,（二）不重复抽样条件下样本容量的确定,41,习题：某快餐店想要估计每位顾客午餐的