第9章 通过带限信道的数字通信

1、Chapter 9 通过带限信道的数字通信,主要内容,线性调制信号 中 信号脉冲g(t)的设计 有ISI和AWGN信道的接收机设计 信道均衡,2,9.1 带限信道的特征,3,带限信道的特征,信道的带宽被限制在指定的带宽 wHz 内 信道可以建模为一个线性滤波器，其等效低通频率响应为C( f ) （等效低通冲激响应c(t)）,带限信道的信号设计,发送信号：,等效低通接收信号：,在信道带宽内，频率响应 C( f ) 可表示为：,包络延迟定义为：,4,幅度响应 为常数,如果： 对于所有 ：,是频率的线性函数,信道是无失真或理想的,如果： |C( f )| 不为常数 ( f ) 不为常数,引起符号间串

2、扰 ISI,延时失真,幅度失真,带限信道的信号设计,（ ( f ) 为常数）,发送的带限脉冲 周期零点：在T，2T等出现,通过非理想信道后，接收信号的零交点不再是周期间隔的，连续脉冲的序列将相互混叠，ISI,例：,5,除线性失真以外，信号通过信道传输时，还会遭受到其他损伤：,非线性失真 频率偏移 相位抖动 脉冲噪声 热噪声 时变多径效应 ,本章只讨论带限信道的线性时不变滤波器的模型，为了数学处理方便，只考虑它引入幅度和延迟失真，并加上高斯噪声。,带限信道的信号设计,6,带限信道的信号设计,等效低通发送信号：,：离散信息符号序列,g(t) ：脉冲，具有带限的频率响应 G(f),到达接收端的信号：

3、,其中：,接收端，信号先通过一个滤波器，然后以速率1/T 符号/s抽样,接收滤波器的输出：,滤波器对输入脉冲h(t)的响应,对噪声z(t)的响应,带限信道的信号设计,7,在 时刻抽样：,简记为：,将第k项单独写出：,设,第k个抽样时刻的期望信息符号,符号间干扰 ISI,第k个抽样时刻的高斯噪声变量,带限信道的信号设计,（0：信道的传输延时）,8,带限信道的信号设计,ISI和噪声引起接收信号样值偏离期望的8PSK信号点,ISI的影响可以通过用示波器的眼图来观测到。ISI引起眼图闭合.,二进制和四进制PAM信号的眼图,二维信号（8PSK）的眼图,9,使 x(t)满足 的充要条件是其傅里叶变换 X(

4、 f ) 应满足：,无符号间干扰的带限信号设计奈奎斯特准则,假设：,带限信道具有理想频率响应特性。当 | f |w时，C(f)=1,脉冲x(t)具有谱特性,由于：,无符号间干扰的条件是：,定理（奈奎斯特脉冲成形准则）,带限信道的信号设计,10,证明：,t=nT 时刻：,积分区间分解成若干长度为1/T的小区间：,式中：,是周期为1/T的周期函数,带限信道的信号设计,11,将B( f )展开为傅里叶级数：,其中，系数：,因此，定理要满足的充要条件是：,带限信道的信号设计,12,1. 当 或 时,讨论：,假设| f |w 时，C( f )=0， 因此有：| f |w 时，X( f )=0,由相互间隔

5、为 1/T 的 X( f ) 非重叠的谱瓣组成,无法选择 X( f ) 确保B( f )=T，即无法设计一个无 ISI 的系统,下面分三种情况来讨论：,带限信道的信号设计,13,2. 当 或 （奈奎斯特速率）时,只有一个 X( f ) 能导致B( f )=T，即：,相应于脉冲：,这意味着： 无 ISI 传输的T的最小值是 T=1/2w X( t ) 必须具有理想低通特性，实际中难以实现。,理想低通,带限信道的信号设计,即：最大符号速率1/T=2w符号/秒 奈奎斯特速率,间隔为 1/T 的 X( f )的重复谱瓣：,14,由间隔为 1/T 的 X( f ) 重叠的谱瓣组成,有无穷多种 X( f

6、) 的选择，可以使 B( f )=T,：滚降因子,例：常用的升余弦脉冲频谱,带限信道的信号设计,3. 当 或 时,15,信号超出奈奎斯特频率以外的带宽称为过剩带宽。,具有升余弦谱的脉冲,注意：,1. =0时，脉冲简化成：,符号速率：,2. =1时：,符号速率：,3. 一般地，对于 0，x(t)的拖尾按1/t3衰减。因此，抽样定时偏差产生的一串ISI 分量将收敛于一个有限的值。,带限信道的信号设计,=0.5时，过剩带宽为50% =1时，过剩带宽为100%,16,9-2-2 具有受控 ISI的带限信号设计 部分响应信号,17,问题背景,零ISI 信号设计的结论为了实现实用的发送和接收滤波器，必须将

7、符号速率1/T 降到奈奎斯特速率 （2w符号/s） 以下。 如果放宽ISI 的条件，可以达到传输符号 2w符号/s,特点：设计一个在某时刻具有受控ISI 的带限信号，意味着允许样值 x(nT) 除 n=0以外，还有附加的非零值。,例：双二进制信号脉冲,带限信道的信号设计,18,当 T=1/2w 时：,注意： 1. 该谱平滑地衰减至0，意味着可物理实现； 2. 可以达到符号速率2w,带限信道的信号设计,19,例2 变型双二进制脉冲,样值：,相应的脉冲：,频谱：,带限信道的信号设计,（1/T=2w）,在f=0处，X(f)=0，适合于在不能通过直流分量的信道上传输,20,一般情况下：,可以通过选择不

8、同的样值 和两个以上非零样值，来得到物理可实现的滤波器特性。,这类带限信号脉冲的形式为：,相应的谱为：,选择两个或更多个非零样值来有目的地引入受控ISI 时，该带限信号称为部分响应信号,带限信道的信号设计,所产生的信号脉冲允许以奈奎斯特速率2W符号/秒传输信息符号。,21,两种方法:,逐个符号检测 （比较容易实现） 最大似然准则 （可使错误概率最小，但实现复杂）,1.部份响应信号的逐符号检测,以双二进制脉冲为例,双二进制脉冲：当 n=0，1时，x( nT )=1，其它为0 。,接收滤波器输出端的样值：,接收信号,噪声,带限信道的信号设计,受控ISI的数据检测,22,下面讨论中，暂不考虑噪声，研

9、究二进制情况，Im= 1 且等概。,Bm 有三个可能取值: -2， 0， 2; 相应的概率： 1/4 1/2 1/4,从上面的式子来看，如果要检测的是第m个信号Im ，似乎可以在Bm中用减法来消除Im-1 。,存在的问题： 差错传播,解决措施： 在发送机中采用数据预编码,方法：,发送端 要发送的数据 Dn 0，1序列,编码成一个新序列 Pn （称为预编码序列）,（模 2）,带限信道的信号设计,模2加和模2减运算结果相同,23,当,接收端 接收滤波器输出：,无噪声样值,因此,若Bm=2，则Dm=0 Bm=0, Dm=1,（模 2）,预编码后的输出Pm用NRZ信号Im传输：,带限信道的信号设计,2

10、4,带限信道的信号设计,检测规则：,若Bm=2，则 Dm=0 Bm=0, Dm=1,在加性噪声存在的情况下,25,预编码序列映射成发送电平序列：,推广到多电平PAM的双二进制脉冲信号,M电平数据序列Dm 预编码：,接收滤波器输出端的样值：,（模M）,带限信道的信号设计,译码序列：,（有2M-1种等间隔电平）,（模M）,在存在噪声的情况下，先对接收的信号加噪声量化，根据量化值再按上述规则恢复数据序列。,26,当n=1时：,变型双二进制脉冲情况,当n=-1时：,其余为 0,M电平序列 Im：,发送端： 预编码序列 Pm：,由 Bm 恢复数据序列 Dm 的检测规则：,（模M）,带限信道的信号设计,接

11、收端：,接收滤波器的无噪声抽样输出：,（模M）,27,结论：,通过将发送的数据预编码，可以使得根据逐个符号来检测接收数据，而不必顾及先前检测的符号，避免了差错传播。,优缺点：,逐符号检测对部分响应信号不是最佳检测方案 （因为接收信号存在记忆）。 实现简单，实际中常采用。,带限信道的信号设计,28,最大似然序列检测,部份响应波形是有记忆信号波形 记忆可以用网格图表示。,约定： 两个状态，相应于Im 的两个可能输入值 Im= 1 每个分支用两个数标记: 左边的数是新的数据比特 Im+1=1，该数据确定新的状态转移； 右边的数是接收信号电平 Bm=2,0,-2,工作原理：,ML检测器根据在抽样时刻

12、t=mT （m=1,2,.）对接收数据序列ym 的观测，来选择通过网格的最可能的路径。,带限信道的信号设计,（以双二进制部分响应信号为例）,29,一般地：,每个节点具有M条进入的路径和M个相应的度量； 根据度量值从M条进入的路径中选出一条，舍弃其它 M-1条； 每个节点的幸存路径延伸到M条新的路径，每条路径对应M个可能的输入符号之一； 搜索过程继续下去。,网格搜索的维特比算法。,注意：幸存序列在5L 个符号以后截断，引起的性能损失可以忽略不计。,带限信道的信号设计,30,9-2-4 有失真信道的信号设计,31,有失真信道的信号设计,研究： 在信道使发送信号失真的条件下进行信号设计。,任务：已知

13、信道频率响应 C( f ) (| f |w) )。选择滤波器响应 GT( f )、GR( f ) 使检测器的错误概率最小。,功率谱：,解调器输出端的信号分量必须满足条件：,途径：选用期望频率响应Xd( f ) 在抽样时刻产生零ISI 或者受控ISI。,在零ISI 情况时， Xd( f )可选用为Xrc( f )，（具有滚降因子的升余弦谱）,带限信道的信号设计,Xd( f )：合成信道的期望频率响应,功率谱：,解调滤波器的输出噪声：,C(f),32,其中：信号项 Im ： 噪声项 vm： 零均值，高斯噪声，方差：,下面研究二进制PAM 传输的情况：,（x0 归一为 1）,错误概率：,带限信道的信

14、号设计,要使错误概率最小 使 最大,匹配滤波器的抽样输出：,（零ISI情况下）,33,两种可能的解决方案：,在发送机中对总的信道失真进行预补偿.接收滤波器匹配于接收信号.,发送机滤波器幅频特性:,接收机滤波器幅频特性:,方案1：,带限信道的信号设计,平均发送功率:,接收滤波器输出噪声:,检测器 SNR：,将Xrc( f )均等地分解在发送机和接收机中,Im=d,34,信道的 补偿由发送和接收滤波器两者平均分摊.,平均发送功率:,输出噪声方差:,方案2,检测器 SNR：,带限信道的信号设计,35,两种方案的比较,方案1损失为,方案2损失为,可以证明：方案2 给出的滤波器导致较小的SNR 损失。,

15、对于理想信道：C| f |=1，且 时，没有SNR 损失。,带限信道的信号设计,方案1：,方案2：,当用平均功率Pav来表示SNR 时,存在由于信道失真引起的损失。,36,vm： 加性高斯噪声,零均值,方差为 Im：在M个可能的等间距,等概率幅度值中取其中一个,PAM检测的错误概率,带限信道的信号设计,研究内容：,M元 PAM 信号的接收，存在加性高斯白噪声。 两种情况:,零ISI； x(t)=gT(t)gR(t)为双二进制或变型双二进制信号,1. 具有零ISI的PAM检测的错误概率,接收信号样值:,其中:,37,第5章研究的PAM信号无带宽限制； 当信号脉冲设计成零ISI时，带宽限制不会导致

16、差错率性能的损失！,带限信道的信号设计,带限加性高斯白噪声且无ISI的信道,第五章中求M元PAM的错误概率,求PAM错误概率,等同于,结果：,其中：,用每比特平均能量表示：,分析：,与第5章M元PAM完全相同,每符号的平均能量,38,预编码的输出被映射到M个幅度电平之一,带限信道的信号设计,2. 部分响应信号检测的错误概率,系统模型：,研究两种类型检测器： 逐符号检测器 ML序列检测器,（1）逐符号检测器,发送滤波器的输出：,部分响应函数X(f) 被均等的在发送和接收滤波器之间划分：,在 t=nT =n/2w 对匹配滤波器输出抽样,其样值送至检测器。,M电平数据序列Dm 被预编码,39,带限信

17、道的信号设计,抽样瞬时输出：,双二进制信号：,变型双二进制信号：,对于二进制传输，令 (2d是信号电平之间距离),Bm值为 （2d，0，-2d）,对于M元PAM信号传输，令,Bm值为,接收电平数：2M-1,标度因子d等价于：,假定发送符号Im 等概，经推导可得平均符号错误概率的上边界为： （推导从略）,40,带限信道的信号设计,将前面推导的PM中d 用平均发送功率取代。等概时发送滤波器平均功率为：,是M个信号电平的均方值,式中,平均发送符号能量：,与零ISI的M元PAM的错误概率相比较，结论：,部分响应信号（双二进制、变型双二进制）性能损失了(/4)2，或2.1dB,原因：部分响应检测器采用逐

18、符号判决，且忽视了接收信号中内在的记忆。,考虑到：,41,带限信道的信号设计,最大似然序列检测器,可以证明，在逐符号检测器中2.1dB 的固有损失完全可由ML序列检测器挽回。,（略）,42,9-3 有ISI和AWGN信道的 最佳接收机,43,有ISI和AWGN信道的最佳接收机,背景,信道的特性是随环境与时间变化的，无法预先精确知道；,最大似然序列检测 系数可调的线性滤波器 判决反馈均衡器,在非理想、带限、且具有加性高斯噪声信道下，如何解决ISI问题？,三种均衡方法：,这种ISI 补偿器称为均衡器,任务：设计一个接收机方案，使它能够补偿或减小接收信号中的ISI,消除或抵消ISI的实用方法：,在尽

19、量按照Nyquist准则设计的基础上，再在传输系统中插入专门的滤波器，补偿设计的不完善,44,均衡原理,带有均衡器的数字基带系统,未加补偿前：,它不完全符合Nyquist准则,加了均衡器后：,补偿后，使总的HE(f)符合Nyquist准则,GE( f ),有ISI和AWGN信道的最佳接收机,45,均衡器的分类,频域均衡从频域上用滤波器补偿基带系统 时域均衡从时域波形上处理，调整系统的 hE(t),线性均衡 非线性均衡（判决反馈均衡）,预置式均衡 自适应均衡,广义地讲，均衡指所有消除或减低ISI 影响的信号处理或滤波技术！,按照滤波器的结构来分类：,按照调节模式来分类：,有ISI和AWGN信道的

20、最佳接收机,46,46,等效低通发送信号：,h(t) ：信道对输入脉冲g(t)的响应；z(t)：加性高斯白噪声,接收信号：,最佳解调器：与h(t)相匹配的滤波器，滤波器的输出抽样。 最佳检测器：采用某种处理算法，从抽样值估计出信息序列In,最佳接收机：,最佳解调器,最佳检测器,（等效低通）,有ISI和AWGN信道的最佳接收机,9.3.1 最佳最大似然接收机,47,有ISI和AWGN信道的最佳接收机,接收信号展开：,k(t) ：完备的标准正交函数集；,是一个高斯随机变量,随机变量 rN =(r1, r2,rN)在发送序列Ip=(I1, I2, IN)条件下的联合PDF：,rk：rl(t)在k(t

21、)上的投影,N时，对数P(rN |Ip)与下面的度量PM (Ip)成比例：,使PM(Ip)最大所对应的符号序列送序列 I1, I2, Ip,最大似然估计：,48,有ISI和AWGN信道的最佳接收机,匹配滤波器对输入脉冲h(t)的响应xn-m 也是h(t)的自相关,等价的相关度量：,所有度量计算共有项，舍去,匹配滤波器输出 yn,可见，解调器（匹配滤波器）的输出受ISI的恶化影响,代入,49,有ISI和AWGN信道的最佳接收机,假设：ISI影响有限个数目的符号： |n|L时，xn=0 因此可以将输出的ISI看作有限状态机的输出,含有ISI的 信道输出,用状态网格图表示,最大似然估计：接收序列yn

22、的情况下，通过网格的最有可能的路径,采用维特比算法搜索,处理方法：,维特比搜索算法的度量：,递推公式,50,具有ISI信道的离散时间模型,通过带限线性滤波器信道的通信,考虑到：,C( t ),级联结构,具有抽头增益系数为xk的等效离散时间横向滤波器,表示成,h*( -t ),g( t ),发送机以1/T速率发送离散时间符号,接收端匹配滤波器的抽样输出也是离散时间信号，样值速率1/T,横跨时间间隔2LT的横向滤波器,输出的噪声序列是相关的。,模型的特点：,输入、输出都是离散序列；,噪声vk 的均值为零，自相关函数：,（连续时间系统的等效离散时间模型）,51,通过带限线性滤波器信道的通信,L次多项

23、式 根：1, 2, L,因为：,且X(z)的2L个根对称,希望：对噪声序列vk进行白化处理。白化滤波器的设计：,抽样自相关函数 xk 的z变换：,若是一个根，那么1/*也是一个根,L次多项式 根：1/*1, *2, *L,因式分解：,结果：,一个适当的噪声白化滤波器具有z变换：,有2L种,选择唯一的 ，它与X(z)零点相对应的极点在单位圆外。,52,通过带限线性滤波器信道的通信,k：高斯白噪声序列,序列yk通过滤波器 的输出序列vk：,匹配滤波器 + 抽样器 + 噪声白化滤波器的级连,白化匹配滤波器,最终，经过对噪声白化处理后，等效离散时间白噪声滤波器模型：,白化处理,当信道冲激响应随时间缓慢

24、变化时，反映在抽头系数fk随时间缓慢变化,采用这个模型来研究ISI的补偿 均衡技术，均衡算法,53,53,离散时间白噪声滤波器模型的Viterbi算法,输入是M元信息符号；,在状态网格中采用Viterbi算法，计算通过网格的最可能的路径。,可以实现最优化检测； 计算复杂性随时间长度呈指数增长； 实现过于昂贵,要点：,信道滤波器有ML个状态，建立状态网格；,MLSE的优缺点：,通过带限线性滤波器信道的通信,状态由L个最近的输入确定,在ISI覆盖L+1个符号的情况下（即：有L个ISI 干扰分量）：,MLSE准则,离散时间有限状态机的状态估计问题,等价为,幸存序列在5L以后截断,针对白化滤波器的输出

25、vk，采用MLSE检测，得到信息序列Ik,54,输入：经白化滤波器后的输出序列vk： 输出：信息序列Ik的估计值,采用线性横向滤波器结构：,线性均衡,通过带限线性滤波器信道的通信,补偿ISI的另一种信道均衡方法。 与MLSE相比不是最佳的，但克服了MLSE计算复杂的缺点。,Ik的估计值被均衡到最接近的信息符号，形成判决,Cj 的选择：,使判决的错误概率最小,但错误概率是cj的高度非线性函数，计算复杂！,55,峰值失真准则 均方误差准则,两个准则：, cj 的最佳化,峰值失真 指在均衡器输出端最坏情况下的符号间干扰,通过带限线性滤波器信道的通信,使这个性能指标最小化称为峰值失真准则。,峰值失真准

26、则,均衡前的系统：冲激响应fn的离散时间线性滤波器,冲激响应cj的均衡器,级联结构：,考查：,均衡后总的冲激响应：,第k个抽样时刻输出：,K时刻的信息符号,ISI,噪声,56,ISI的峰值 峰值失真：,通过带限线性滤波器信道的通信,完全消除ISI,选择： 则：,Z变换,结论：,D(c)是均衡器抽头权值的函数,即：,具有传递函数C(z)的均衡器就是线性滤波器模型F(z)的逆滤波器；,要完全消除ISI，要求使用一个F(z)的逆滤波器称为迫零滤波器,57,通过带限线性滤波器信道的通信,输入：匹配滤波器得到的样值序列yn,传递函数为 1/F*(1/z*) 的噪声白化滤波器,等效迫零均衡器,传递函数为 1/F(z) 的迫零均衡器,级联结构：,输出：消除ISI的期望信息符号 + 零均值加性高斯噪声,等效迫零均衡器：,冲激响应,58,输入：匹配滤波器的样值序列（白化滤波后） vk： 输出：信息序列Ik的估计值,通过带限线性滤波器信道的通信,假设：均衡前的部分等效为一个数字系统，冲激响应,数字滤波器有2N+1个抽头，冲激响应为,迫零均衡器,迫零均衡器的设计,均衡前等效数字系统hi,均衡器gEi,59,通过带限线性滤波器信道的通信,迫零均衡器的设计,均衡器gEi,均衡以后总的冲激响应：,均衡前等效数字系统hi,60,通过带限线性滤波