模糊控制论-理论基础

1、模糊控制论理论基础,2,目录,2.1 引言,2.2 模糊集合论基础,2.4 模糊控制系统的组成,2.5 模糊控制系统的设计,2.6 模糊PID控制器,2.7 模糊控制器的应用,2.3 模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成,3,模糊控制的发展历史,1965年，L.A.Zadeh 提出模糊集理论； 1972年，L.A.Zadeh 提出模糊控制原理； 1974年，E.H.Mamdani应用于蒸汽机和锅炉控制中； 80年代：污水处理、汽车、交通管理 模糊芯片、模糊控制的硬件系统； 90年代：家电、机器人、地铁； 21世纪：更为广泛的应用。,4,模糊控制的特点,无需知道被控对象的数学模型 与人类思维的特点一致

2、模糊性 经验性 构造容易 鲁棒性好,5,主要内容,模糊控制的理论基础 模糊集合论基础 模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成 模糊控制系统 模糊控制系统的组成 模糊控制系统的设计 模糊PID控制器 模糊控制器的应用,6,目录,2.1 引言,2.2 模糊集合论基础,2.4 模糊控制系统的组成,2.5 模糊控制系统的设计,2.6 模糊PID控制器,2.7 模糊控制器的应用,2.3 模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成,7,2.2 模糊集合论基础,2.2.1 模糊集概念,2.2.2 模糊集合运算,2.2.3 模糊集合运算的基本性质,2.2.4 隶属度函数的建立,2.2.5 模糊关系,8,经典集合,内涵和外延都必须是明

3、确的,经典集合论,表示方法,特点,列举法 定义法 归纳法 特征函数法,9,表示方法,列举法：U=1，2，3，4，5，6，7， 8，9，10,归纳法：U=ui+1=ui+1，i=1,2,9，u1=1,特征函数法,定义法：U=u|u为自然数且u0的所有u组成的，即,14,模糊单点(Singleton),如果模糊集合F的子集在论域U上只包含一个点u0,且F(u0)=1,则F就称为模糊单点。即,15,2.2 模糊集合论基础,2.2.1 模糊集概念,2.2.2 模糊集合运算,2.2.3 模糊集合运算的基本性质,2.2.4 隶属度函数的建立,2.2.5 模糊关系,16,2.2.2 模糊集合的运算,考察具有

4、公共论域U的模糊集合A、B之间的各种运算关系，包括以下内容：,17,相等、包含 空集、全集,18,交、并、补,如果模糊集合C具有以下性质：,19,举例,已知模糊子集 求,20,求解,21,其它运算,22,2.2 模糊集合论基础,2.2.1 模糊集概念,2.2.2 模糊集合运算,2.2.3 模糊集合运算的基本性质,2.2.4 隶属度函数的建立,2.2.5 模糊关系,23,模糊集合运算的基本性质1,24,模糊集合运算的基本性质2,25,与经典集合性质的比较,基本性质完全相同 模糊集运算不满足互补律,26,2.2 模糊集合论基础,2.2.1 模糊集概念,2.2.2 模糊集合运算,2.2.3 模糊集合

5、运算的基本性质,2.2.4 隶属度函数的建立,2.2.5 模糊关系,27,隶属度函数的建立,28,隶属度函数的设计原则1,必须是凸模糊集合（呈单峰形） 通常是对称和平衡的 要遵从语意顺序、避免不恰当的重叠,29,隶属度函数的设计原则2,考虑重叠指数（一般取重叠率为0.20.6、或鲁棒重叠性0.3-0.7）,30,举例,31,设计方法,模糊统计法 例证法 专家经验法 二元对比排序法,32,隶属度函数的常见形状1,Z函数,33,隶属度函数的常见形状2,S函数,34,隶属度函数的常见形状3,函数,35,2.2 模糊集合论基础,2.2.1 模糊集概念,2.2.2 模糊集合运算,2.2.3 模糊集合运算

6、的基本性质,2.2.4 隶属度函数的建立,2.2.5 模糊关系,36,模糊关系,普通关系：表示元素之间是否关联。 模糊关系 ：表示两个论模糊集合之间的关联程度，用其直积空间的隶属度函数表示。 定义：所谓A，B两集合的直积 中的一个模糊关系R，是指以AB为论域的一个模糊子集，序偶(a,b)的隶属度为R(a,b)。,37,多元关系,二元关系 多元关系：考察n个集合的直积 A1A2. An ， 其隶属度函数为： R(a1,a2,.,an),38,模糊集合表示法 举例 考查两个整数间的“大得多”的关系。设论域 U=1，5，7，9，20。,模糊关系的表示方法1,39,模糊关系的表示方法2,模糊矩阵表示法

7、 （适用于二元关系） 其中,40,笛卡尔积算子（算子）,A1，A2，. ，An的笛卡尔积是在积空间U1U2.Un中的一个模糊集，其隶属度函数为： 直积（极小算子）用 min 表示 代数积 ：用 AP 表示,41,例2-9,考虑如下模糊条件语句 如果 C 是慢的，则 A 是快的。 其中 C ，A分别属于两个不同的论域U，V。其隶属度函数分别为： A=快= 0/0 + 0/20 + 0.3/40 + 0.7/60 + 1/80 + 1/100； C=慢= 1/0 + 0.7/20 + 0.3/40 + 0/60 + 0/80 + 0/100。 求 它们的直积和代数积。,42,直积,43,代数积,4

8、4,模糊关系的合成,背景： 已知：IF A THEN B，IF B THEN C 求： IF A THEN C 定义：如果R和S分别为笛卡尔空间UV和VW上的模糊关系，则R和S的合成是定义在笛卡尔空间UVW上的模糊关系，并记为 RoS。其隶属度函数的计算方法有两种。,45,模糊关系的合成的隶属度函数计算,上确界（Sup） 算子 下确界（Inf） 算子：,46,例2-10,已知某家中子女与父母的长像相似关系R： 父母与祖父母的相似关系S： 求：家中孙子、孙女与祖父、祖母的相似程度。,47,解,48,合成算子Sup-min的特性1,分配率,49,合成算子Sup-min的特性2,50,目录,2.1

9、引言,2.2 模糊集合论基础,2.4 模糊控制系统的组成,2.5 模糊控制系统的设计,2.6 模糊PID控制器,2.7 模糊控制器的应用,2.3 模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成,51,模糊逻辑,模糊逻辑是研究含有模糊概念或带有模糊性的陈述句的逻辑。 是不确定性推理的主要方法之一 。 是经典数理逻辑的推广。,52,2.3.1 二值逻辑,2.3.2 模糊逻辑的基本运算,2.3.3 模糊语言逻辑,2.3.4 模糊逻辑推理,2.3.5 模糊关系方程的解,2.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成,53,二值逻辑,命题P中的元素可以赋予一个二元真值T(P)。在二元逻辑中，T(P)或者为1（真）或者为0（假）。设U

10、是所有命题构成的论域，则T就是从这些命题（集合）中的元素u到二元值（0，1）的一个映射： T: uU (0,1),54,命题联结词,55,2.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成,2.3.1 二值逻辑,2.3.2 模糊逻辑的基本运算,2.3.3 模糊语言逻辑,2.3.4 模糊逻辑推理,2.3.5 模糊关系方程的解,56,模糊命题,模糊命题是普通命题的推广。 模糊命题的真值不是绝对的“真”或“假”，而是反映其以多大程度隶属于“真”。 所以真值的运算也就是隶属度函数的运算。,57,基本运算1,58,各元素分别相减部分作为限界差。,基本运算2,59,各元素分别相加，比1小的部分作为限界和。,各元素分别相减

11、部分作为限界差。,基本运算3,60,PP=P， PP=P,PQ=QP， PQ=QP,P(QR)=(PQ)R, P(QR)=(PQ)R,P(PQ)=P， P(PQ)=P,P(QR)=(PQ)(PR), P(QR)=(PQ)(PR),基本定律1,61,互补律在模糊逻辑中不成立,基本定律2,62,2.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成,2.3.1 二值逻辑,2.3.2 模糊逻辑的基本运算,2.3.3 模糊语言逻辑,2.3.4 模糊逻辑推理,2.3.5 模糊关系方程的解,63,模糊语言逻辑,模糊语言逻辑是由模糊语言构成的一种模拟人思维的逻辑。 针对自然语言的模糊性； 涉及概念： 语言值 语言变量 语言算子

12、,64,语言值,语言中与数值有直接联系的词，如长、短、大、小等，可以再加上语言算子（如很、非常、较、偏等）而派生出来的词组 。可以用模糊数来表示。 所谓模糊数，指至少有一个元素u的隶属度值为1 的模糊子集。 举例： 个子高 =0.2/150+0.4/160+0.6/170+0.8/180+1/190 +1/200,65,语言变量,用一个五元素的集合（X，T(X)，U，G，M）来表征 。,66,语言算子,语气算子 模糊化算子 判定化算子,67,语气算子,表示语言中对某一个单词或词组的确定性程度。 包括强化算子和淡化算子 强化算子，如“很”、“非常”等 淡化算子，如“较”、“稍微”等 H(A)=A

13、 （A为语言值）,68,如“大概”、“近似于”、“大约”等。把原来的概念模糊化。 记模糊化算子为F。则模糊化变换可表示为F(A)，并且它们的隶属度函数关系满足： 其中，R(x,c)是表示模糊程度的一个相似变换函数，通常可取正态分布曲线，即：,模糊化算子,69,判定化算子,肯定化处理，例如“倾向于”、“大半是”等。 记判定化算子为P，则判定化变换可表示为P(A)，并且它们的隶属度函数关系满足： 当取=1/2时，P1/2可用来表示“倾向于”。,70,2.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成,2.3.1 二值逻辑,2.3.2 模糊逻辑的基本运算,2.3.3 模糊语言逻辑,2.3.4 模糊逻辑推理,2.3.

14、5 模糊关系方程的解,71,模糊逻辑推理,不确定性推理方法的一种 方法还在发展之中，比较典型的有扎德（Zadeh）方法、玛达尼（Mamdani）方法、鲍德温（Baldwin）方法、耶格（Yager）方法、楚卡莫托（Tsukamoto）方法。 最常用的是玛达尼极大极小推理法。,72,常见种类,近似推理（常识性推理） 广义肯定式推理 广义否定式推理 模糊条件推理 多输入推理 多输入多规则推理,73,1. 近似推理：广义肯定式推理,前提1： 如果 x 是 A，则 y 是 B 前提2： 如果 x 是 A， 结论： y是 隶属度函数的计算,74,模糊关系矩阵R的计算,采用Mamdani推理法 模糊蕴含最

15、小运算法 模糊蕴含积运算法,75,广义否定式推理,前提1： 如果 x 是 A，则 y 是 B 前提2： 如果 y 是 B， 结论： x 是 隶属度函数的计算 其中： （Zadeh推理法）,76,例 2-14,考虑如下逻辑条件语句： 如果 “转角误差远远大于15”，那么 “快速减少方向角” ；其隶属度函数定义为： A=转角误差远远大于15 =0/15+0.2/17.5+0.5/20+0.8/22.5+1/25 B=快速减少方向角 =1/-20+0.8/-15+0.4/-10+0.1/-5+0/0。 求： 当A=转角误差大约在20时，方向角应该怎样变化？,77,步骤1,定义 A=转角误差大约在20

16、的隶属度函数 = 0.1/15+0.6/17.5+1/20+0.6/22.5+0.1/25 则问题化为 已知 A(x)=0,0.2,0.5,0.8,1, B(y)=1,0.8,0.4,0.1,0 当 A(x)=0.1,0.6,1,0.6,0.1时, 求解B。,78,步骤2,由玛达尼（Mamdani）推理法计算出关系矩阵：,79,步骤3,计算 代数积算子 直积算子,80,代数积算子,81,直积算子,问题：如何比较两种算子？,82,2. 模糊条件推理,如果 x 是 A，则 y 是 B，否则 y 是 C。 其逻辑表达式为： 模糊关系R： 隶属度函数： 推理结论,83,3. 多输入模糊推理,前提1：

17、如果 A 且 B ， 那么 C 前提2： 现在是A且B 结论： 基于玛达尼推理，则模糊关系矩阵为：,84,例2-16,已知 、 时， 问 、 时，,85,解,86,87,推理简化（削顶法 ）,推理形式可等价为 可得隶属度关系如下： 是指模糊集合A与A交集的高度。,88,削顶法图示,89,4. 多输入多规则推理,如果 A1 且 B1 ， 那么 C1 否则如果 A2 且 B2 ， 那么 C2 ： 否则如果 An 且 Bn ， 那么 Cn 已知 A 且 B ， 那么 C =？ 在这里， An 和 A、 Bn 和 B 、 Cn 和 C 分别是不同论域X、Y、Z上的模糊集合。,90,推理方法,推理结果可

18、表示为 其中,91,推理过程图示,92,2.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成,2.3.1 二值逻辑,2.3.2 模糊逻辑的基本运算,2.3.3 模糊语言逻辑,2.3.4 模糊逻辑推理,2.3.5 模糊关系方程的解,93,模糊关系方程,已知A和B，有以下关系： 求关系矩阵R； AF(UV)、BF(UW)、 RF(VW)，分别为笛卡尔空间 UV、UW、VW 上的模糊关系矩阵 ，有 A=(aij)mn 、B=(Bij)ms 、R=(rij)ns,94,问题分解,用分块矩阵的形式表示，有 其中， 则原问题可化为s个简单的模糊矩阵方程：,95,问题的分解,考察 设合成算子 取 ，需要考虑以下问题：,96,问题的分解,具体有以下两类问题： 等式问题： (ai1r1)=bi , （ai2r2)=bi , . , （ainrn)=bi , 不等式问题： (ai1r1)bi , （ai2r2) bi , . , （ainrn) bi,97,分解问题的求解,ar=b 的解