求二阶常系数齐次线性微分方程

1、1,第三节 二阶微分方程,5.3.1 特殊二阶微分方程,5.3.2 二阶线性微分方程,5.3.3 二阶常系数线性微分方程,2,积分2次就可以得到通解.通解中包含两个任意常数， 可由初始条件确定这两个任意常数.,5.3.1 特殊二阶微分方程,这种类型方程右端不显含未知函数 ，可先把 看作未知函数.,3,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分, 得原方程的通解,例 1. 求方程 的通解.,4,补例. 求解,解,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,5,3.,型,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分, 得原方程的通解,6,例 2 求

2、解,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,解,7,如果一个二阶微分方程中出现的未知函数及未知函数的一阶、二阶导数都是一次的，这个方程称为二阶线性微分方程. 它的一般形式为,时, 称为非齐次方程 ;,时, 称为齐次方程.,5.3.2 二阶线性微分方程,现在我们讨论二阶线性微分方程具有的一些性 质. 事实上，这些性质对 n 阶微分方程也成立.,8,证毕,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,证:,代入方程左边, 得,(叠加原理),定理1.,9,说明:,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问

3、题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,10,定义:,是定义在区间 I 上的,n 个函数,使得,则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关.,例如，,在( , )上都有,故它们在任何区间 I 上都线性相关;,又如，,若在某区间 I 上,则根据二次多项式至多只有两个零点 ,必需全为 0 ,可见,在任何区间 I 上都 线性无关.,若存在不全为 0 的常数,11,两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:,线性相关,存在不全为 0 的,使,线性无关,常数,思考:,中有一个恒为 0, 则,必线性,相关,(证明略),线性无关,12,定理 2.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关

4、特解, 则,数) 是该方程的通解.,例如, 方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,13,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y (x) 是相应齐次方程的通解,定理 3.,则,是非齐次方程的通解 .,证: 将,代入方程左端, 得,14,是非齐次方程的解,又Y 中含有,两个独立任意常数,例如, 方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,证毕,因而 也是通解 .,15,定理 4.,是方程,的解,分别是方程,的解.,如果,则,与,16,定理 5.,分别是方程,的特解,是方程,的特解. (非齐次方程解的叠加原理),例 1 求方程,满足初值条件 的特解.,17, 5.3.3 二阶常系数线性微分方

5、程 在生产实践可科学实验中，有时需要研究力学系统或电路系统的问题. 在一定条件下，这类问题的解决归结于二阶微分方程的研究. 在这类微分方程中，经常遇到的是线性微分方程. 如力学系统的机械振动和电路系统中的电磁振荡等问题，都是最常见的问题. 1. 两个例子 (1)弹簧的振动问题 (2)电磁振荡,18,(1) 弹簧的振动问题,当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态,质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:,阻力的大小与运动速度,下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向,物体在弹性力与阻,取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.,设时刻 t 物位移为 x(t).,

6、(1) 自由振动情况.,弹性恢复力,物体所受的力有:,(虎克定律),成正比, 方向相反.,建立位移满足的微分方程.,19,据牛顿第二定律得,则得有阻尼自由振动方程:,阻力,(2) 强迫振动情况.,若物体在运动过程中还受铅直外力,则得强迫振动方程:,20,求电容器两两极板间电压,联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 ,所满足的微分方程 .,提示: 设电路中电流为 i(t),上的电量为 q(t) ,自感电动势为,由电学知,根据回路电压定律:,设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串,极板,在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0,(2) 电磁振荡,21,串联电路的振荡方程

7、:,如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得,化为关于,的方程:,故有,22,二阶常系数齐次线性方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程的一般形式是,2. 二阶常系数线性微分方程的解法,其中 p, q 为 常数.,从上面两例可看出，不论是机械振动还是电磁振荡，在数学上都归结为二阶常系数线性方程. 因此研究这种微分方程是很有实用价值的.,23,(1) 二阶常系数齐次线性方程解法,-特征方程法,将其代入上方程, 得,故有,特征方程,特点,未知函数与其各阶导数的线性组合等于0,即函数和其各阶导数只相差常数因子,猜想,有特解,由此可见 只要 满足代数方程 函数 就是微分方程的解,24,特

8、征方程有两个不相等的实根,特征根为,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,1).,下面分三种情况讨论常系数齐次线性方程的通解.,25,2）,特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,( u (x) 待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取 u = x , 则得,因此原方程的通解为,26,3),特征方程有一对共轭复根的情形,这时原方程有两个复数解:,利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:,因此原方程的通解为,27,例1.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,例2. 求解初值问题,解: 特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初

9、值问题的解为,28,特征方程:,特征根:,利用初始条件得:,故所求特解:,方程通解:,例3.,求无阻尼自由振荡的微分方程 的通解.,29,小结:求二阶常系数齐次线性微分方程,特征方程:,实根,30,二阶常系数线性非齐次微分方程 :,根据解的结构定理 , 其通解为,求特解的方法,根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 ., 待定系数法,(2) 二阶常系数非齐次线性方程解法,31,一、, 为实数 ,设特解为,其中 为待定多项式 ,代入原方程 , 得,(1) 若 不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,为 m 次多项式 .,Q (x) 为 m 次待定

10、系数多项式,32,(2) 若 是特征方程的单根 ,为m 次多项式,故特解形式为,(3) 若 是特征方程的重根 ,是 m 次多项式,故特解形式为,小结,对方程,即,即,当 是特征方程的 k 重根 时,可设,特解,33,例5.,的一特解.,求,求,的通解.,例6.,的一特解.,例7.,求,求解方程,例9.,例8.,求解方程,求解方程,例10.,34,补例1.,的一个特解.,解: 本题,而特征方程为,不是特征方程的根 .,设所求特解为,代入方程 :,比较系数, 得,于是所求特解为,35,补例2.,的通解.,解: 本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数, 得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,36,补例3. 求解定解问题,解: 本题,特征方程为,其根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,故,故对应齐次方程通解为,原方程通解为,由初始条件得,37,于是所求解为,解得,38,若特征方程含 k 重复根,若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项,则其通解中必含,对应项,特征方程:,(3) n阶常系数线性微分方程