函数 数列的极限

1、第一章,分析基础,函数,极限,连续, 研究对象, 研究方法, 研究桥梁,函数与极限,第一节,映射与函数,一、集合,二、映射,三、函数,区间(有限和无限）,一、 集合,其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .,点的 邻域,去心 邻域,左 邻域 :,右 邻域 :,二、 映射,定义域,自变量,因变量,三、函数,1. 函数的概念,定义.,设数集,则称映射,为定义在D 上的函数 ,记为,函数图形:,(对应规则),(值域),(定义域),例如, 反正弦主值,定义域,对应规律的表示方法:,解析法,、图象法,、列表法,使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合.,定义域,值域,又如, 绝对值函数,定义域,值

2、 域,例4. 已知函数,求,及,解:,函数无定义,并写出定义域及值域 .,定义域,值 域,2. 函数的几种特性,设函数,且有区间,(1) 有界性,使,称,使,称,说明: 还可定义有上界、有下界、无界,为有界函数.,在 I 上有界.,使,若对任意正数 M , 均存在,则称 f ( x ) 无界.,称 为有上界,称 为有下界,当,(2) 单调性,当,时,称,为 I 上的,称,为 I 上的,单调增函数 ;,单调减函数 .,(3) 奇偶性,且有,若,则称 f (x) 为偶函数;,若,则称 f (x) 为奇函数.,说明: 若,在 x = 0 有定义 ,为奇函数时,则当,必有,例如,偶函数,双曲余弦,又如

3、,奇函数,双曲正弦,记,再如,奇函数,双曲正切,记,(4) 周期性,且,则称,为周期函数 ,若,称 l 为周期,( 一般指最小正周期 ).,周期为 ,周期为,注: 周期函数不一定存在最小正周期 .,例如, 常量函数,狄里克雷函数,x 为有理数,x 为无理数,3. 反函数与复合函数,(1) 反函数的概念及性质,若函数,为单射,则存在逆映射,习惯上,的反函数记成,称此映射,为 f 的反函数 .,1) yf (x) 单调递增(减)，其反函数,且也单调递增 (减) .,性质:,2) 函数,与其反函数,的图形关于直线,对称 .,例如 ,对数函数,互为反函数 ,它们都单调递增,其图形关于直线,对称 .,指

4、数函数,(2) 复合函数,则,设有函数链,称为由,确定的复合函数 ,u 称为中间变量.,注意:构成复合函数的条件,不可少.,例如, 函数链 :,但函数链,不能构成复合函数 .,可定义复合函数,两个以上函数也可构成复合函数.,例如,可定义复合函数:,1.,2.,与,能否复合？,是由,与,复合而得的。,3.,？,4. 初等函数,(1) 基本初等函数,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,4. 初等函数,(2) 初等函数,由常数及基本初等函数经过有限次,否则称为非初等函数 .,并可用一个式子表示的函数 ,四则运算和复合步骤所构成 ,称为初等函数 .,4. 初等函数,例如 ,可表为

5、,故为初等函数.,又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .,非初等函数举例:,符号函数,当 x 0,当 x = 0,当 x N 时,总有,一 、数列极限的定义,定义1:自变量取正整数的函数称为数列,称为通项(一般项) .,观察数列,收 敛,观察数列,趋势不定,发 散,问题:,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,通过上面演示实验的观察:,当 n N 时,总有,定义2：,或,此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .,当 n N 时,总有,当 n N 时,总有,即,定义:,几何解释 :,注：,数列极限存在与否与

6、前有限项无关,例1,证,所以,例2. 已知,证明,证:,欲使,只要,即,取,则当,时, 就有,故,故也可取,也可由,N 与 有关, 但不唯一.,不一定取最小的 N .,说明:,取,例3. 设,证明等比数列,证:,欲使,只要,即,亦即,因此 , 取, 则当 n N 时,就有,故,的极限为 0 .,唯一性 有界性 保号性 数列与子数列 四则运算和复合运算法则（第五节） 极限存在准则(第六节）,二、收敛数列的性质,二、收敛数列的性质,1、 收敛数列的极限唯一.,如何证明极限的唯一性呢？,常用反证法,证: 用反证法.,及,且,取,因,故存在 N1 ,从而,同理, 因,故存在 N2 ,使当 n N2 时

7、, 有,收敛数列的极限唯一.,使当 n N1 时,假设,从而,矛盾.,因此收敛数列的极限必唯一.,则当 n N 时,故假设不真 !,满足的不等式,使当n N时 , 有,例4. 证明：数列,发散.,证: 用反证法.,假设数列,收敛 ,则有唯一极限 a 存在 .,取,则存在 N ,例4. 证明数列,是发散的.,不可能同时落在长度为 1 的开区间,内,因此该数列发散 .,2、 极限的有界性定理,说明: 此性质反过来不一定成立 .,例如,数列,虽有界但不收敛 .,收敛数列一定有界.,证: 设,取,则,当,时,从而有,取,则有,由此证明收敛数列必有界.,有,a.,b.,c.,3、 极限的保号性定理,若,

8、且,时, 有,证:,对 a 0 ,取,推论:,若数列从某项起,(用反证法证明),收敛数列的保号性.,a.,b.,c.,4、数列与子数列之间的极限,*,收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .,证: 设数列,是数列,的任一子数列 .,若,则,当,时, 有,现取正整数 K , 使,于是当,时, 有,从而有,由此证明,*,发散 !,则原数列一定发散 .,由此性质可知 ,若数列有两个子数列收敛于不同的极限 ,例如，,三、极限存在准则（第六节）,夹逼准则; 单调有界准则.,1. 夹逼准则 (准则I) (P50),证:,由条件 (2) ,当,时,当,时,令,则当,时, 有,由条件 (1),即,故,证: 利用

9、夹逼准则 .由,例5. 证明,且,命题得证。,2. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 ) ( P52 ),例6. 设,证明数列,极限存在 . (P52P54),证: 利用二项式公式 , 有,比较可知,又,根据准则 2 可知数列,有极限 .,记此极限为 e ,即,e 为无理数 , 其值为,1. 如何判断极限不存在?,方法1. 找一个趋于的子数列;,方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.,问题,问题,2. 已知：,求,时,说明理由.,设,由递推式两边取极限得,不对!,此处,下述作法是否正确?,1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用,2. 收敛数列的性质:,唯一性 ; 有界性 ; 保号性;,任一

10、子数列收敛于同一极限,小结,3. 极限存在准则:,夹逼准则 ; 单调有界准则,作业与练习,P30 *3 (2) , (3) , *4 , *6 P56 4 (1) , (3),4 (3) 提示:,可用数学归纳法证,备选题,设,且,求,故极限存在，,设, 且,求,解：,设,则由递推公式有,数列单调递减有下界，,故,利用极限存在准则,备选题,刘徽(约225 295年),我国古代魏末晋初的杰出数学家.,他撰写的重,差对九章算术中的方法和公式作了全面的评,注,指出并纠正了其中的错误 ,在数学方法和数学,理论上作出了杰出的贡献 .,他的 “ 割圆术 ” 求圆周率,“ 割之弥细 , 所失弥小,割之又割 , 以至于不可割 ,则与圆合体而无所失矣 ”,它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要,极限思想 ., 的方法 :,柯西(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主