平行四边形的判定的综合练习

1、平面几何多解的方法与技巧,初中几何专题复习课,授课教师：恩平市东成中学 吴根锋,通过学习，让学生在证明几何题时能用添加辅助线的方法进行一题多解。,学 习 目 标,重点与难点,让学生掌握添加辅助线的方法与技巧。,2,课前回顾,练习1、已知AE是ABC中BAC的角平分线，且AE/DF,如图（1） 求证：AF=AG,证明：DF/AE EACF(两直线平行，同位角相等）， EAGAGF（两直线平行，内错角相等） AE是BAC的角平分线 EACEAG FAGF (等量代换） AF=AG,图（1）,练习2、如图（2）所示，AF=AG，D是BC的中点。 证明:BG=CF,H,D是BC的中点， FGAF DG

2、是BCH的中位线 HCA=H BG=GH, AH=AC CH/DF, GH=CF HCAF, BG=CF FGAH 又AF=AG,证明:,过点C作直线CH使CH/DF交BA的延长线于 H，连接CH.如图（2）.,图（2）,多解初探,例题：在ABC中，AE为BAC的角平分线,D为BC的中点， 过D作平行于AE的直线交CA于F，交AB于G。如图（3）所示。 求证：CF=BG。,分析：（要证线段,会联想到证明两个 三角形全等，但由已知图形 图（3） 显然不行，所以我们会联想到 添加辅助线，如何添加呢? ）,方法一：过B直线BH,使BH/CF,交 FD的延长线于H，如图（3）,H,可证DBH和DCF全

3、等得BH=CF,由已知可证 GBH为等腰三角形，得BH=BG,所以CF=BG.,图（3）,方法二：如果过点C作直线CH,使CH/AB,交FD的延长线于H,如图（4）， 能否用同样的道理证明CF=BG?,方法三：过点B、C分别向FD作垂线， 垂足分别为H、K,如图（5），让学生 自己找出先证哪两个三角形全等， 再证哪哪两个全等即可？,H,K,H,图（4）,图（5）,探索多解方法与技巧,第一组：要求添加辅助线后出现三角形的中位线。并利用中位线性质定理进行证明。,第二组：要求添加辅助线后使三角形（四边形）成为等腰三角形（等腰梯形）,并利用它的性质或定理进行证明。,第三组：要求添加辅助线后出现平行四边

4、形。并利用平行四边形的性质或定理进行证明。,第四组：要求添加辅助线后出现直角三角形。并利用三角函数中解直角三角形进行证明。,过D点作直线DH使DH/CF,交AB于H,则DH是BAC底边AC的中位线。如图（6）。同理图（7）中DH也是中位线。并利用练习1结论证明。,师生共同探讨,H,H,H,图（6）,图（7）,图（8）,（第一组:作出三角形的中位线）,延长BA到H,使BG=GH,连接CH，则DG为BCH底边CH的中位线。 如图（8）.证明方法参考练习2. 当然还有其他添加方法得到中位线。,（第二组：作出等腰三角形或等腰梯形）,过C作直线CH，使CH/FD并与BA的延长线交于H, 如图（9）.则A

5、CH是等腰三角形,则AC=AH,由已知可证AF=AG,BG=GH,所以BG=CF.,H,H,过B作直线BH，使BH/FD并与CF的延长线交于H, 如图（10）.则四边形FHBG是等腰梯形,则FH=BG,由已知可证FH=CF,所以BG=CF.,图（9）,图（10）,（第三组：作出平行四边形）,过点D作直线DH交BG于K，使DH/CF，过点F作直线FH，使FH/CB，连接HB，如图（11）所示。可证四边形DHFC为平行四边形，得CF=HD，由已知条件得KG=KD，KH=KB，所以HD=BG，从而得出BG=FC。,K,H,H,P,图（11）,图（12）,过点C作直线CH,使CH/DF交BA的延长线于

6、P，过点F作直线FH， 使FH /BA交CP的延长线于H，如图（12），四边形GPHF为平行四边形，得FH=GP，由已知条件可证得，BG=GP=FH=FC，从而得出BG=FC。,（第四组：作出直角三角形）,过点C、B分别向FD作垂线，垂足分别交FD于N、M两点。如图（13）所示，在RtGMB中， sin(BGM)= BM/BG. 在RtFNC中，sin(CFN)= CN/CF. 由已知可证， BGM= CFN，BM=CN，从而得CF=BG。,N,M,图（13）,自我检测,1、在上题中要求添加辅助线后出现圆。并利用圆形的性质或定理进行证明。, 以C为园心，CF长为半径作园，延长FD与园相交于H点

7、，连接CH。如图（14）所示。则有CF=CH， 由已知条件可证BDGCDH，得CH=BG，所以BG=FC.,以F为园心，CF长为半径作园，延长CF与园相交于H点，连接HB。 如图（15）所示。则有CF=FH，由已知条件可证AHB和 AFG为等腰三角形，得FH=GB，所以BG=FC。,H,H,图（14）,图（15）,小结,1、平面几何综合性证明题大多都可用添加辅助线方法进行证明。,2、用添加辅助线方法证明平面几何题目时，大多都会有多解出现。,3、结合题目，掌握适当的添加辅助线的方法与技巧。,反思,让学生总结交流本节课的学习心得，从两个方面进行反思:(1)本节课我达到了教学目标的要求了吗？如果没达到，今后要如何？（2）遇到类似的题目，我能用适当的添加辅助线进行多解吗？我是否