离散型随机变量的方差2011

1、1,2.3.2离散性随机变量的方差,2,一般地，若离散型随机变量X的概率分布为,则称 E(X)x1p1x2p2xnpn为X的均值或数学期望，记为E(X)或,其中pi0，i1,2,n；p1p2pn1（分布列的性质）,1、离散型随机变量的均值的定义,一、复习,离散型随机变量 X 的均值（数学期望）,反映了离散型随机变量取值的平均水平.,3,2、均值的性质,3、三种特殊分布的均值,（2）若随机变量X服从两点分布，则,（3）若 ，则,（1）若XH(n,M,N),则E(X),（2）E(XEX)= .,0,4,如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？,已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所

2、得环数x1、x2的分布列如下：,试比较两名射手的射击水平.,如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？,显然两名选手的水平是不同的,这里要进一步去分析他们的成绩的稳定性.,探究,5,方差定义,一组数据的方差：,在一组数：x1,x2 ,xn 中，各数据的平均数为 ，则这组数据的方差为：,类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差.,新课,6,离散型随机变量取值的方差和标准差:,定义,7,它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值.,练习一下,8,练习一下,结论1： 则 ;,结论2：若B(n，p)，则E= np

3、.,可以证明, 对于方差有下面两个重要性质：,则,结论,结论3：若XH(n,M,N),则E(X),推论：常数的方差为_.,0,9,甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示， X1，X2的概率分布下：,如何比较甲、乙两个工人的技术？,E(X1)00.610.220.130.10.7,E(X2)00.510.320.2300.7,10,（2）若 ，则,再回顾：两个特殊分布的方差,（1）若 X 服从两点分布，则,（2）若 ，则,两种特殊分布的均值,（1）若X服从两点分布，则,11,方差的性质,平移变化不改变方差，但是伸缩变化改变方差.,均值

4、的性质,推论：常数的方差为_.,0,12,考察01分布,E(X)0(1p)1pp,方差D(X)(0p)2(1p)(1p)2pp(1p),标准差,若XH(n,M,N),则D(X),若XB(n,p),则D(X)np(1p),13,对随机变量X的均值(期望)的理解： (1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义上的平均； (2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，也就是说随 机变量X可以取不同的值，而E(X)是不变的，它描述的是 X取值的平均状态； (3)E(X)的公式直接给出了E(X)的求法,14,(2010衡阳模拟)一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有n件次品，用户先对产品进行抽检以

5、决定是否接收抽检规则是这样的：一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子)，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品 (1)若这箱产品被用户接收的概率是 ，求n的值； (2)在(1)的条件下，记抽检的产品件数为X，求X的分布列和数学期望,15,（1）利用古典概型易求. （2）X的取值为1、2、3，求出分布列代入期望 公式.,16,【解】 (1)设“这箱产品被用户接收”为事件A， n2. (2)X的可能取值为1,2,3.,P(A)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,17,X的概率分布列为：,18,1(2010河南六市

6、联考)甲、乙、丙、丁四人参加一家公司的招聘面试公司规定面试合格者可签约甲、乙面试合格 就签约；丙、丁面试都合格则一同签约，否则两人都不签 约设每人面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响求： (1)至少有三人面试合格的概率； (2)恰有两人签约的概率； (3)签约人数的数学期望,19,解：(1)设“至少有3人面试合格”为事件A， 则P(A) (2)设“恰有2人签约”为事件B， “甲、乙两人签约，丙、丁两人都不签约”为事件B1； “甲、乙两人都不签约，丙、丁两人签约”为事件B2； 则：BB1B2 P(B)P(B1)P(B2),20,(3)设X为签约人数 X的分布列如下：,P(X=0)=,P(

7、X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,21,22,举一反三 1. 某有奖竞猜活动设有A、B两组相互独立的问题，答对问题A可赢得奖金3万元，答对问题B可赢得奖金6万元.规定答题顺序可任选，但只有一个问题答对后才能解答下一个问题，否则中止答题.假设你答对问题A、B的概率依次为 、 .若你按先A后B的次序答题，写出你获得奖金的数额的分布列及期望值E.,解析： 若按先A后B的次序答题，获得奖金数额的可取值为0,3(万元)，9（万元）. P（=0）= , P（=3）= , P（=9）= . 的分布列为,23,题型二 求随机变量的方差 【例2】编号1，2，3的三位学生随意入座编号1，

8、2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是X. （1）求随机变量X的概率分布列； （2）求随机变量X的期望与方差.,的数学期望为E（）=,24,分析 （1）随机变量X的意义是对号入座的学生个数，所有取值为0,1,3.若有两人对号入座，则第三人必对号入座.由排列与等可能事件概率易求分布列; （2）直接利用数学期望与方差公式求解.,解 （1）P（X=0）= ,P（X=1）= , P（X=3）= , 故X的概率分布列为 (2)E(X)= D(X)=,25,举一反三 2. 设在15个同类型的零件中有2个次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出后不再放回.若用X表示取出次品的个

9、数. （1）求X的分布列； （2）求X的均值E(X)和方差D(X).,学后反思 求离散型随机变量X的方差的步骤： （1）写出X的所有取值； （2）计算P（X=xi）; (3)写出分布列，并求出期望E(X)； （4）由方差的定义求出D(X).,26,解析： (1)P(X=0)= , P(X=1)= , P(X=2)= . 故X的分布列为 (2)X的均值E(X)和方差D(X)分别为 E(X)= ; D(X)=,27,题型四 期望与方差的综合应用 【例4】(14分)（2008广东）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知生产1件一、二、

10、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润（单位：万元）为. (1)求的分布列； （2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）； （3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%,一等品率提高为70%,如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？,28,分析 求的分布列时，要先求取各值时的概率.,解 （1）的所有可能取值有6,2,1,-21 P(=6)= =0.63,.2 P(=2)= =0.25,.3 P(=1)= =0.1,4 P(=-2)= .5 故的分布列为 7,29,(2)E()=60.63+20.25+10.1+（-2）0.02=4.34 .9 (3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为 E()=60.7+2(1-0.7-0.01-x)+1x+(-2