正余弦定理应用举例

1、1.2 正、余弦定理应用举例,中国人民大学附属中学,实际问题应用模型,问题1. 怎样测量一个底部不能到达的建筑物的高度？,如图，在北京故宫的四个角上各矗立着一座角楼，如何通过测量，求得角楼的高度？,分析：如图，设线段AB表示角楼的高度，在宫墙外护城河畔的马路边，选位置C对角楼进行测量。,设CC为测量仪器的高，过点C的水平面与AB相交于点B，这时由测点C，可测得点A的仰角的大小。在ABC中，三条边的长度都无法测出，因而AB无法求得。,如果移动测量仪CC到DD（测量仪高度不变），想想看，我们能测得哪些数据，使问题得以解决？,事实上，如图所示，在点B，C，D构成的三角形中，可以测得和的大小，又可测得

2、BC的长。这样，我们就可以根据正弦定理求出边BC的长，从而求出AB的长。使得问题得到解决。,某校用自制的仪器，测得=20，=99，=45，CD=60m，测量仪器的高是1.5m，试求出故宫角楼的高度。（精确到0.1米）,解：在BCD中，由正弦定理得，因此,在ABC中， AB=BCtan =72.17tan20 26.3m， 因此，AB=AB+BB =26.3+1.5=27.8(m). 答：故宫角楼的高约为27.8m.,问题2 怎样测量地面上两个不能到达的地方间的距离？,设A、B是两个海岛，如何测量它们之间的距离？ 分析：如图，A、B分别是两个海岛上接近海面的两处标志性设施，与问题1类似，如果只选

3、择一个测点C，那么在ABC中只能测得ACB的大小，问题不能得到解决。,因此需要再选择一个测点D。构造一个能测出其一条边长的BCD。,要求出AB，还应先求出AC和BC，为此应先解决ACD和BCD。,解：如图在海边适当选取两个测点C，D，使A，B，C，D在一个平面内，测得CD=a，ACB=，ADC=，BCD=，BDC=，,在BCD中，由正弦定理，得,即,在ACD中，A=180(+)，由正弦定理，得,在ABC中，由余弦定理，得 AB2=BC2+AC22BCACcos， 把BC、AC代入上式即可求出AB。,问题3. 如图，墙上有一个三角形灯架OAB，灯所受的重力为10N，且OA、OB都是细杆，只受沿杆

4、方向的力。试求杆OA、OB所受的力。,分析：点O处受到三个力的作用：灯线向下的拉力（记为F），O到A方向的拉力（记为F1），从B到O方向的支持力（记为F2），这三个力是平衡的。 即F+F1+F2=0，,解：如图作 ，将F沿A到O，O到B两个方向进行分解，作OCED，则 ， ，,由题设条件可知，,在OCE中，由正弦定理得,因此，,答：灯杆AO所受的拉力为11.3N，灯杆OB所受的压力为12.3N。,问题4. 如图，在海滨某城市附近海面有一台风，据检测，台风中心位于城市A的南偏东30方向，据城市300km的海面P处，并以20km/h的速度向北偏西45方向移动。如果台风侵袭的范围为圆形区域，半径为1

5、20km，几小时后该城市开始受到台风的侵袭(精确到0.1h)？,解：如图所示，设台风的中心x小时到达位置Q时，开始侵袭该城市，在AQP中，依题意， 得AQ=120km，AP=300km，PQ=20 x， P=6045=15， A=18015Q=165Q，,由正弦定理，得方程组,由得,所以Q40.3(不合题意舍去)，Q=139.7,因此A18015139.7=25.3，,代入得,所以,答：大约9.9小时后，该城市开始受到台风的侵袭。,例5. 甲船在A点发现乙船在北偏东60的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时 a海里，问甲船应沿什么方向前进，才能最快与乙船相遇？,解：如

6、图所示，设经过t小时两船在C点相遇，则在ABC中，有BC=at，AC= at，,B=90+30=120，,由,得,因为0CAB90，所以CAB=30.,故DAC=6030=30，,答：甲船应沿北偏东30的方向前进，才能最快与乙船相遇。,例6. 如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km处和54km处，某时刻，检测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号， 在当时的气象条件下， 声波在水中的传播速度 是1.5km/s，,（1）设A到P的距离为xkm，用x表示B，C到P的距离并求x的值； （2）求静止目标P到海防警戒线a的距离(结果精确到0.01km)。,解：（1）依题意知 PAPB=1.58=12(km)， PCPB=1.520=30(km)， 因此 PB=(x12) (km)，PC=(18+x