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文档简介
1、专题三 数列,第09课时 数列的基本运算和性质,【例1】 等差数列an中,a4=10,且a3,a6, a10成等比数列,求数列an的前20项和S20.,求数列的和,可求出a1,d.,1.基本运算,设数列an的公差为d, 则a3=a4-d=10-d, a6=a4+2d=10+2d,a10=a4+6d=10+6d. 由a3,a6,a10成等比数列,得a3a10=a62, 即(10-d)(10+6d)=(10+2d)2,得10d2-10d=0, 解得 d=0或d=1. 当d=0时,S20=20a4=200; 当d=1时,a1=a4-3d=7,于是,数列问题转化到基本量a1,d,q是通法,但有时运算量
2、较大,熟练运用性质或公式特征量可大幅度简化运算,【变式训练】等比数列an的前n项和为Sn,任意 的点(n,Sn)(nN*)均在函数y=bx+r(b0且 ,b,r均为常数)的图象上 (1)求r的值; (2)当b=2时,记 ,nN*,求数列bn的前n项和Tn.,(1) Sn=bn+r,当n=1时a1=S1=b+r, 当n2时,an=Sn-Sn-1=bn-bn-1,因为an为等比数列,所以a22=a1a3, 即(b2-b)2=(b+r)(b3-b2),所以r=-1.,【例2】(2010浙江卷)设a1,dR,首项为a1,公差为d的等差数列an的前n项和为Sn,且满足S6 S5+15=0. (1)若S5
3、=5,求S6及a1; (2)求d的取值范围,求d的范围,先要列出a1,d的等量关系,然后应用判别式法或配方法产生不等式,2.性质运用,(1)第(1)问思路明确,只需结合已知条件直接用公式代入即可 (2)对于第(2)问,易得a1与d的关系式,只要抓住a1,dR,就易想到关于a1的二次方程,应用判别式法或配方法,产生不等式,求出d的范围,【变式训练】已知数列log2(an-1)(nN*)是等差数列,且a1=3,a3=9. (1)求数列an的通项公式; (2)证明:,在已知条件下可以推出an-1是等比数列,进而可以求出an的通项公式,再用求和公式放缩完成不等式的证明,(1)设bn=log2(an-1),由bn为等差数列, 所以 2log2(an-1)=log2(an+1-1)+log2(an-1-1),由对数运算性质得(an-1)2=(an+1-1)(an-1-1),(1)由等比中项的性质即可求解;(2)由等比数列的前n项和公式即可求解,1关于等差、等比数列的问题,首先应抓住a1,d,q,通过列方程组来解此方法具有极大的普遍性,需用心掌握,但有时运算繁杂,要注意计算的正
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