《单位圆与三角函数线》（人教）.pptx

1、,本课时编写：井冈山中学钟宝玲,人民教育出版社 高中必修4,（1）角 的正弦、余弦、正切是怎样定义的？,r,复习引入,(3)数轴上向量的数量（坐标）是如何规定的？,数轴上的向量 的坐标是一个实数，这个实数的绝对值为线段的长度，如果向量的方向与数轴的方向相同取正，反之取负。,（2）角 的正弦、余弦、正切值与终边上P点的位置是否有关？,与P点位置无关，与角的终边有关。,x,从定义看出：角的三角函数是两个变量的比值。为了简单地计算其正余弦、正切，我们可以使分母为1。,问题1：当r=1时，即P点到原点的距离为1。所有满足条件的点P构成什么图形？,以原点为圆心，半径为的圆。,探究点1：单位圆的定义,x,

2、y,O,P(x , y),终边,sin=,= y,cos=,= x,我们把半径为1的圆叫做单位圆，设单位圆的圆心与坐标原点重合，如图所示，设任意角与单位圆交于点 P(x , y)，则r = |OP| = 1。,问题2 ：当角是第一象限角时，能否在坐标轴上找到两个以原点为起点的向量,使P 点的坐标分别是这两个向量的数量？,过作垂直x轴于点，作垂直y轴于点，则点，分别是点P在x轴、y轴上的正射影（简称射影)。,o,P（x,y）,N,x,M,探究点2：正弦线、余弦线,y,问题3：当终边在第一象限时，角的正、余弦与点的纵、横坐标y，x之间有何关系？,【思考1】随着在第一象限内转动，MP是否也跟着变化？

3、而它的数量值是否永远等于sin？OM是否也跟着变化？而它的数量值是否永远等于cos？,y,o,x,P,N,M,一般结论：角的余弦和正弦分别等于角的终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标，即,【思考2】由问题1，2你得到角的正、余弦值与向量的数量有什么关系？,x,y,o,P(x , y),终边,x,y,o,M,M,P(x,y),一二象限正、余弦线,终边,x,y,o,x,y,o,M,M,三四象限正、余弦线,终边,终边,P(x , y),P(x , y),问题4：是第一象限角，能否在坐标系中找到一个垂直于x 轴的向量，使它的数量为的正切？,点是过单位圆与x轴正半轴的交点作圆的切线与终边的交点。,y,x,o

4、,P,T,M,A,探究点3：正切线的定义,y,x,问题5：角是第二象限的角时能否找到一个垂直于x轴的向量，使其数量为tan？,能否找到一个以点为起点在过A 的切线上的向量，使这一向量的数量为tan ？,y,o,的终边,T,A1,T1（-1，y1 ）,A,T1的坐标为（-1，y1），则 tan=,x,以A为原点建立y轴与y轴同向，y轴与角的终边（或其反向延长线）相交于点T，则tan=AT。 我们把轴上向量 叫做 的正切线。,四个象限角的正切线,答：角 的终边在x轴上时，点P与点M 重合，点 T与点A重合，此时，正弦线和正切线都变成了一点，它们的数量为0，而余弦线OM=1或-1。,终边在x轴、y轴

5、上时，三角函数线有何特点？数量值是多少？,问题6:,当角的终边落在y轴上时，正弦线MP=1或-1，余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在。,(1)三角函数线的位置： 正弦线在的终边与单位圆的交点到x轴的垂直的直线上； 余弦线在x轴上； 正切线在单位圆与x轴正方向的交点的切线上； 三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。,总结提升：,(2)三角函数线的方向： 正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点， 余弦线由原点指向垂足； 正切线由切点A指向与终边或者终边延长线的交点。,例题精讲,类型一 作任意角的三角函数线,类型二 比较三角函数值的大小 例2 利用三角函数线比较sin1和cos1

6、的大小。,【解析】如图，借助三角函数线可知sin1cos1。 答案：sin1cos1。,变式训练 比较大小： (1) sin 1和sin 1.5。 (2) cos 1和cos 1.5。 (3) tan2和tan3。,解：由三角函数线得 sin 1cos 1.5；,tan 2tan 3。,x,y,类型三 利用三角函数线解等式 例3 利用单位圆，求满足 sin= ，且(0,)的的集合为 。,【解析】1. 例3中 sin= 时，角的值为多少? 提示：sin= 时,= 或= 。,类型三 利用三角函数线解不等式 变式： 利用单位圆，可得满足sin ，且(0,)的的集合为 。,【解析】1. 如图所示， 终边落在阴影内的角满足sin 答案: 。,【方法技巧】 1. 用三角函数线来解基本的三角等式或不等式的步骤。 (1) 作出取等号的角的终边；（临界情况） (2) 利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围； (3) 将图中的范围用不等式表示出来