三角形的中位线

1、四边形,第2章,四边形,2.4,2.4 三角形的中位线,(一) 连结三角形顶点和它对边中点所得的 线段，是三角形的中线.,如图，D为AB的中点，DC为ABC的中线.,（二）三角形的中线平分三角形的面积,E,那么，连结三角形两边中点的线段还是三角形的中线吗？,定义 连结三角形两边中点的线段叫做 三角形的中位线.,E,如图，DE为ABC的中位线.,三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段,三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段,区分三角形的中位线和中线：,理解三角形的中位线定义的两层含义:, DE为ABC的中位线, D、E分别为AB、AC的中点,DE为ABC的中位线, D、E分别为AB、A

2、C的中点,一个三角形共有三条中位线。,A,B,C,D。,。E,。F,三角形的中位线有什么性质？,如图3-28(1)，EF是 ABC的一条中位线.,图3-28(1),数量关系？位置关系？,数量关系： 量一量，EF，BC的长 各是多少？你能作出什么猜测？,位置关系： 你能从图3-28(1)中猜测EFBC吗？,上述这些猜测正确吗？,图3-28(1),如图，将AEF绕点F旋转180，,设点E的像为点G，易知点A的像是点C，,又因为旋转不改变图形的 形状和大小，,点F的像还是点F，且E， F，G在一条直线上.,所以有 CG=AE=BE， GF=EF，G=AEF.,则 AECG. (内错角相等，两直线平行

3、),即 BECG.,又 BE=CG，,所以四边形BEGC是平行四边形. (一组对边平行且相等的四 边形是平行四边形),所以EG=BC，EGBC. (平行四边形的对边平行且相等),又因为EF=GF，,所以 EF = EG = BC，EFBC.,三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.,图3-28(1),EF是 ABC的中位线,几何表示：,EF= BC，EFBC.,例1 如图，顺次连结四边形ABCD各边中点E，F，H，M，得到的四边形 EFHM是平行四边形吗？为什么？,举 例,解：连结AC.,由于EF是ABC的一条中位线，,由于MH是 DAC的一条中位线，,于是EFMH，且EF=MH.,

4、所以四边形EFHM是平行四边形.,因此EFAC，且,因此MHAC，且,例2 ABCD的对角线相交于点O.点 E、F、 P分别为OB、OC、AD的中点，且AC=2AB. 求证：EP=EF.,举 例,证明：连接AE， 四边形ABCD是平行四边形， AD=BC，AC=2OA=2OC. AC=2AB， OA=AB. E为OB中点， AEBD. AED=90. P为AD中点， AD=2EP. BC=AD， BC=2EP. 点E、F分别是OB、OC的中点， BC=2EF. EP=EF,1. 在例1中，设四边形ABCD的两条对角线AC， BD的长分别为5cm，4.4cm， E，F，H，M分 别是边AB，BC

5、，CD，DA的中点，则EFHM 的周长（ ）,9.4 cm,图3-29,2.已知ABC的各边长度分别为 3cm，3.4cm，4cm，求连结各边中 点所构成的DEF的周长（ ）,5.2 cm,如图3-30，ABC的边BC，CA，AB的中点分别是D，E，F.,（1）四边形AFDE是平行四边形吗？ 为什么？,图3-30,答：四边形AFDE是平行四边形. 因为 所以四边形AFDE是平行四 边形 (两组对边分别相等的四边形是平行四边形),（2）四边形AFDE的周长等于AB+AC吗？ 为什么？,图3-30,本节课学习了三角形的中位线的概念及其性质.,定义 连结三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线.,性

6、质 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.,例1 如图，两块相同的三角形完全重合在一起， A=30，AC=10，把上面一块绕直角顶点B 逆时针旋转到ABC的位置，点C在AC上， AC与AB相交于点D，则CD= .,2.5,BC=2.5.,分析：根据等边三角形的判定得出 BCC是等边三角形，再利用已知 得出DC是ABC的中位线，进而 得出,例2 如图，ABCD的周长为36对角线AC，BD相交于点O点E是CD的中点BO=6则DOE的周长为_.,BC=2.5.,【解题思路】根据平行四边形的性质，对角线互相平分，两组对边分别相等，可以分别求出OD、OE+DE的长，即可求解.,15,解：ABCD的周长为36， BC+CD=18， 四边形ABCD为平行四