2018微专题九 平面几何知识在立体几何中的应用

1、高考微专题九 平面几何知识在立体几何中的应用,在使用综合几何方法解决立体几何问题时,在空间几何体的某个面上往往需要运用平面几何知识得出需要的结论,下面我们择要介绍平面几何知识在立体几何中的应用.,应用一 三角形中位线定理 【例1】如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,点M,N分别为A1C1,A1B的中点.设平面MNB1与平面BCC1B1的交线为l,求证:MNl.,思路点拨:思路1.证明MN平面BCC1B1;思路2.证明MN所在的一个平面平行平面BCC1B1.,证明: 法一 (线面平行的判定和性质方法)连接BC1, 在A1BC1中,点M,N分别为A1C1,A1B的中点, 所以MNC1B, 又MN平

2、面BCC1B1,C1B平面BCC1B1, 所以MN平面BCC1B1, 又因为MN平面MNB1,平面MNB1平面BCC1B1=l, 所以MNl.,法二 (面面平行的判定和性质方法)取A1B1的中点P,连接MP,NP. 在A1B1C1中,点M,P分别为A1C1,A1B1的中点, 所以MPC1B1, 又因为MP平面BCC1B1,C1B1平面BCC1B1, 所以MP平面BCC1B1, 同理可证NP平面BCC1B1. 又因为MPNP=P,MP平面MNP,NP平面MNP, 所以平面MNP平面BCC1B1, 又因为MN平面MNP, 所以MN平面BCC1B1. 又因为MN平面MNB1,平面MNB1平面BCC1

3、B1=l, 所以MNl.,反思归纳 三角形的中位线定理是立体几何中证明线线平行最常用的一个定理,通过找中点,连结中点得出三角形的中位线,达到证明线线平行的目的,进一步实现证明线面平行、面面平行的目的.,应用二 平行四边形的判定与性质 【例2】 如图为一简单组合体,其底面ABCD为正方形,PD平面ABCD, ECPD,且PD=AD=2EC=2,N为线段PB的中点.证明:NEPD.,思路点拨:选取BD中点,证明四边形NFCE为平行四边形.,反思归纳 立体几何中通常是先证明一个四边形的一组对边平行且相等,判定该四边形为平行四边形,则该四边形的另一组对边平行.也经常运用平行四边形的对角线互相平分,判定

4、线段的中点.,应用三 勾股定理及逆定理,(1)求证:FP平面A1EB; (2)求证:EFA1B.,思路点拨:在未折叠的图形中通过计算,证明AF2=AE2+EF2,从而证明EFAE,再结合立体图形寻找线线垂直,证明线面垂直后得出结论.,(2)不妨设正三角形ABC的边长为3, 则AE=1,AF=2, 又因为EAF=60, 所以EF2=AE2+AF2-2AEAFcosEAF=12+22-212cos 60=3, 所以EF= , 因为在AEF中,AF2=AE2+EF2, 所以EFAE,即EFAB. 则在图2中,有EFA1E,EFBE, 因为A1EBE=E,A1E平面A1EB,BE平面A1EB, 所以E

5、F平面A1EB, 又A1B平面A1EB,所以EFA1B.,反思归纳 当一个三角形的一边的平方等于另外两边的平方和时,该三角形为直角三角形,该结论为勾股定理的逆定理,是立体几何中证明共面的直线互相垂直的常用方法.,应用四 等腰三角形、正三角形的性质 【例4】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为菱形,PAD为等边三角形,且DAB=60,求证:ADPB.,思路点拨:三角形ABD,PAD均为正三角形,取AD的中点E,连接PE,EB,则PE,EB均与AD垂直,证明AD平面PBE,从而证得结论.,证明: 取AD的中点E,连接PE,EB, 因为PAD为等边三角形,E为AD的中点, 所以PEAD

6、. 因为四边形ABCD为菱形, 且DAB=60,E为AD的中点, 所以BEAD. PEBE=E, 所以AD平面PBE, 又PB平面PBE, 所以ADPB.,反思归纳 等腰三角形底边上的中线垂直底边,在立体几何中常用该结论得出线线垂直.,应用五 菱形的性质 【例5】 如图(1),在边长为4的菱形ABCD中,DAB=60,点E,F分别是边CD,CB的中点,ACEF=O.沿EF将CEF翻折到PEF,连接PA,PB,PD,得到如图(2)的五棱锥P-ABFED,且PB= . (1)求证:BD平面POA;,思路点拨:(1)利用菱形的对角线互相垂直;,(1)证明:因为点E,F分别是边CD,CB的中点,所以B

7、DEF. 因为菱形ABCD的对角线互相垂直,所以BDAC. 所以EFAC.所以EFAO,EFPO. 因为AO平面POA,PO平面POA,AOPO=O, 所以EF平面POA. 所以BD平面POA.,(2)求四棱锥P-BFED的体积.,思路点拨: (2)通过勾股定理逆定理证明POBO.,反思归纳 菱形是四边长度相等的平行四边形,其对角线互相垂直平分,既可得出线线垂直,也可得出中点.特别是有一个内角为60的菱形,是由两正三角形组成的,具有更特殊的性质.,应用六 矩形、正方形的性质 【例6】导学号 49612205 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAD底面ABCD,

8、且PA=PD= AD,E,F分别为PC,BD的中点. (1)求证:EF平面PAD;,思路点拨: (1)F也是AC的中点; 证明:(1)连结ACBD=F,ABCD为正方形,F为AC中点,E为PC中点. 所以在CPA中,EFPA, 且PA平面PAD,EF平面PAD, 所以EF平面PAD.,(2)求证:平面PAB平面PDC.,思路点拨: (2)证明PA平面PDC.,反思归纳 矩形的四个内角均为直角,两组对边分别平行,对角线互相平分,在正方形中对角线互相垂直平分,利用这些性质可以得出垂直关系、平行关系、中点等需要的结论.,应用七 梯形的性质与有关计算 【例7】如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平

9、面互相垂直,ADCD, ABCD,AB=AD=2,CD=4,M为CE的中点. (1)求证:BM平面ADEF;,思路点拨: (1)取DE中点,寻找平行四边形;,(2)求证:平面BDE平面BEC.,思路点拨: (2)证明BCBD.,证明:(2)在正方形ADEF中,EDAD. 又因为平面ADEF平面ABCD,且平面ADEF平面ABCD=AD, 所以ED平面ABCD, 所以EDBC. 在直角梯形ABCD中,AB=AD=2,CD=4,反思归纳 梯形只有一组对边平行,在立体几何中经常出现两种特殊的梯形.(1)直角梯形,其中梯形的上底等于直角腰长,等于下底长度的二分之一,该梯形的一条对角线垂直非直角腰;(2

10、)等腰梯形,上底等于下底的二分之一,底角等于60,该类梯形的两条对角线垂直对应的腰.,应用八 三角形的相似与全等 【例8】如图,在三棱锥S-ABC中,SA底面ABC,AC=AB=SA=2,ACAB,E是BC的中点,F在SE上,且SF=2FE.求证:AF平面SBC.,思路点拨:利用已知线段的比例关系,证明EFAEAS,从而证得AFSE.,反思归纳 利用相似三角形、全等三角形的判定定理和性质定理,证明角的相等,求出线段长度之间的数量关系等.,应用九 圆的有关知识 【例9】导学号 49612206 如图,E是以AB为直径的半圆上异于A,B的一点,矩形ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面,且AB=2AD=2. (1)求证:EAEC;,思路点拨: (1)利用半圆上的圆周角为直角得出线线垂直;,(1)证明:因为矩形ABCD平面ABE,CB平面ABCD且CBAB, 所以CB平面ABE,从而AEBC, 又因为在半圆ABE中,AB为直径