二次函数与面积最值问题

1、二次函数最值问题,1、小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三角形的面积S(单位：cm2)随x(单位：cm)的变化而变化 (1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)； (2)当x是多少时，这个三角形面积S最大?最大面积是多少?,解：（1）,（2）a=,0 S有最大值, S的最大值为,当x为20cm时，三角形面积最大，最大面积是200cm2。,2.如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿B

2、C方向以每秒1cm的速度匀速运动设运动时间为x秒，PBQ的面积为y（cm2）. （1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）求PBQ的面积的最大值.,解：（1）SPBQ=,PBBQ,PB=ABAP=182x，BQ=x,y=,（182x）x，即y=x2+9x（0x4）,（2）由（1）知：y=x2+9x，,y=(x ）2+,）2 +,当0x,y随x的增大而增大，,而0x4，,当x=4时，y最大值=20，即PBQ的最大面积是20cm2,3如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/

3、s的速度移动，如果P，Q两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动 （1）设运动开始后第t秒钟后，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关 系式，并指出自变量t的取值范围 （2）t为何值时，S最小？最小值是多少？,解：（1）第t秒钟时，AP=tcm，故PB=（6t）cm， BQ=2tcm，,故SPBQ=,（6t）2t=t2+6t,S矩形ABCD=612=72,S=72SPBQ=t26t+72（0t6）；,（2）S=t26t+72=（t3）2+63，,当t=3秒时，S有最小值63cm,4在某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三

4、边用总长为40m的栅栏围成如图，若设花园的BC边长为x（m）花园的面积为y（m2） （1）求y与x之间的函数关系式，并求自变量的x的范围 （2）当x取何值时花园的面积最大，最大面积为多少？,解：（1）四边形ABCD是矩形，,AB=CD，AD=BC，,BC=xm，AB+BC+CD=40m，,AB=,花园的面积为：,y=x,=,x2+20 x（0x15）；,y与x之间的函数关系式为：,y=,x2+20 x（0x15）；,（2）y=,x2+20 x=,（x20）2+200，,a=,0，,当x20时，y随x的增大而增大,当x=15时，y最大，最大值y=187.5,当x取15时花园的面积最大，最大面积为

5、187.5,二次函数中常见图形的的面积问题,P,1、说出如何表示各图中阴影部分的面积？,4、如图1，抛物线yx2bxc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点 (1)求该抛物线的解析式； (2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及PBC的面积最大值；若没有，请说明理由,解：,（1）将A（1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c中得,抛物线解析式为：y=x22x+3；,(2)设(1)中的抛

6、物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；,解：（2）存在 理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=1对称,直线BC与x=1的交点即为Q点，此时AQC周长最小,y=x22x+3,C的坐标为：（0，3）直线BC解析式为：y=x+3，Q点坐标即为,解得,Q（1，2）；,(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及PBC的面积最大值；若没有，请说明理由,解：（3）存在理由如下： 设P点（x，x22x+3）（3x0）,SBPC=S四边形BPCOSBOC=S

7、四边形BPCO,若S四边形BPCO有最大值，则SBPC就最大，,S四边形BPCO=SBPE+S直角梯形PEOC=,BE,PE+,OE（PE+OC）,（x+3）（x22x+3）+,（x）（x22x+3+3）,=,=,当x=,时，S四边形BPCO最大值=,SBPC最大=,当x=,时，x22x+3=,点P坐标为（ ， ）,，,）,方法二 如图4，连接P0， 设P点(x，x22x3)(3x0),3、已知抛物线,与,轴交与A、C两点，与,轴交与点B， （1）求抛物线的顶点M的坐标和对称轴； （2）求四边形ABMC的面积.,C,4、已知一抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8

8、） （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点D的坐标； （3）求四边形ADBC的面积.,5、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过A(-2,0)，B(0,4)，C(2,4)三点，且与x轴的另一个交点为E。 （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点D的坐标和对称轴； （3）求四边形ABDE的面积,6、已知二次函数,与,B的左边），与y轴交于点C，顶点为P. （1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法； （2）求A、B、C、P的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积；,（3）在抛物线上（除点C外），是否存在点N，使得, 若存在，请写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。,

9、解（1）略 （2）当y=0时,x 2 2x3=0, 解得：x 1 =3,x 2 =1, 点A的坐标是（1,0）,点B的坐标是（3,0）, 当x=0时,y=3, 点C的坐标是（0,3）, y=x 2 2x3=（x1） 2 4, P（1,4）, 即A（1,0）,B（3,0）,C（0,3）， P（1,4）;,轴交于A、B两点（A在,变式一：在抛物线的对称轴上是否存点N，使得,，若存在直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由.,7、抛物线,与,轴交与A、B（点A在B右侧），与,轴交与点C，若点E为第二象限抛物线上一动点， 点E运动到什么位置时，EBC的面积最大,并求出此时点E的坐标和EBC的最大面积,提

10、示：点E的坐标可以设为( ),x的取值范围是-3x0,根据题2求三角形面积的思路建立EBC的面积,关于x的函数关系式，体会点E位置的不确定性对方法的选择是否有影响,如果抛物线,过定点M（1，1），则称此抛物线为,定点抛物线。 （1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛,物线的一个解析式。小敏写出了一个答案：，,请你写出一个不同于小敏的答案； （2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线,，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析,式，请你解答。,解：（1）依题意，选择点（1，1）作为抛物线的顶点，二次项系数是1,根据顶点式得：y=x2-2x+2；,（2）定点抛物线的顶

11、点坐标为（b，c+b2+1），且-1+2b+c+1=1，,c=1-2b，,顶点纵坐标c+b2+1=2-2b+b2=（b-1）2+1，,当b=1时，c+b2+1最小，抛物线顶点纵坐标的值最小，此时c=-1，,抛物线的解析式为y=-x2+2x,如图，抛物线yax2c（a0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（2,0），B（1, 3） （1）求抛物线的解析式； （2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标； （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使SPAD4SABM成立，求点P的坐标,解：（1）因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标

12、适合抛物线方程,解得：,所以,为所求抛物线的解析式,（2）如图2，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点,设BD的解析式为,，则有,，,，,解得：,所以BD的解析式为,；令,则,所以,解：(3)、如图3，连接AM，BC交y轴于点N，,如图，抛物线yax2c（a0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（2,0），B（1, 3） （1）求抛物线的解析式； （2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标； （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使SPAD4SABM成立，求点P的坐标,由（2）知，OM=OA=OD=2，,易知BN=MN=

13、1， 易求,设,依题意有：,，即：,解得：,，,，故 符合条件的P点有三个,解：（1）解方程x2-4x+3=0得：,x=1或x=3，而OAOB，,则点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0）；,A、B关于抛物线对称轴对称，,DAB是等腰三角形，而DAB=45，,DAB是等腰直角三角形，得D（1，-2）；,令抛物线对应的二次函数解析式为y=a（x-1）2-2，,抛物线过点A（-1，0），,0=4a-2，得a=,故抛物线对应的二次函数解析式为y=,（x-1）2-2（或写成y=,x2-x- ）,解：（2）CAAD，DAC=90，（5分）,如图,在平面直角坐标系中,开口向上的抛物线与x轴交于A、

14、B两点,D为抛物线的顶点,O为坐标原点若OA、OB（OAOB）的长分别是方程x2-4x+3=0的两根,且DAB=45 （1）求抛物线对应的二次函数解析式； （2）过点A作ACAD交抛物线于点C,求点C的坐标； （3）在（2）的条件下,过点A任作直线l交线段CD于点P,若点C、D到直线l的距离分别记为d1、d2,试求的d1+d2的最大值,又DAB=45，,CAB=45；,令点C的坐标为（m，n），则有m+1=n，（6分）,点C在抛物线上，,n=,（m-1）2-2；（7分）,化简得m2-4m-5=0,解得m=5，m=-1（舍去）,故点C的坐标为（5，6）；（8分）,如图,在平面直角坐标系中,开口向上的抛物线与x轴交于A、B两点,D为抛物线的顶点,O为坐标原点若OA、OB（OAOB