二次函数y=ax2+k的图像与性质

1、二次函数y=ax2+k的图像与性质,温故知新,向上,向下,(0 ,0),(0 ,0),y轴,y轴,当x0时， y随着x的增大而增大。,当x0时， y随着x的增大而减小。,x=0时,y最小=0,x=0时,y最大=0,抛物线y=ax2 (a0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.,1.画出y=x2 与 y=x2 +1、 y=x2 -1的图像，并观察彼此的位置关系.,自学检测：,2.画出y=-x2 与 y=-x2 +3、 y=x2 -2的图像，并观察彼此的位置关系.,y=x2,y=x2+1,5 2 1 2 5,函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?

2、,函数y=x2+1的图象可由y=x2的图象沿y轴向上平移1个单位长度得到.,操作 与 思考,函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的形状相同吗?,相同,y=x2,y=x2-2,2 -1 -2 -1 2,函数y=x2-2的图象可由y=x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到.,函数y=x2-2的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?,操作 与 思考,函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的形状相同吗?,相同,函数y=ax2 (a0)和函数y=ax2+c (a0)的图象形状 ，只是位置不同；当c0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象向 平移 个单位得到，当c0时，函数y=ax2+c的图

3、象可由y=ax2的图象 向 平移 个单位得到。,y=-x2-2,y=-x2+3,y=-x2,图象向上移还是向下移,移多少个单位长度,有什么规律吗?,上加下减,相同,上,c,下,|c|,1. 函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象 向 平移 个单位得到；y=4x2-11的图象 可由 y=4x2的图象向 平移 个单位得到。,3.将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是 。 将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的 抛物线的函数式是 。,2. 将函数y=-3x2+4的图象向 平移 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 平移 个 单位得到可由 y=

4、2x2的图象。将y=x2-7的图象 向 平移 个单位可得到 y=x2+2的图象。,上,5,下,11,下,4,上,7,上,9,y=4x2+3,y=-5x2-4,自学检测：,当a0时，抛物线y=ax2+c的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧,y随x的增大而 ， 当x= 时，取得最 值，这个值等于 ； 当a 0 时 向上平移k个单位得到. 当k 0时,向上,a0时,向上,a0时,向下,上正下负,二次函数没有一次项,则抛物线对称轴是y轴,抛物线对称轴是y轴,则二次函数没有一次项,向上,y轴,( 0 , 5 ),y轴,y轴,向下,向下,( 0 , -2 )

5、,( 0 , 3 ),2. y = -2x 2 +5 的图象可由抛物线 y = -2x 2 经过 得到的. 它的对称轴是 , 顶点坐标是 ,在xy2y3y4,B.y2y1y3y4,C.y3y2y4y1,D.y4y2y3y1,B,基础练习：,6. 已知二次函数y=ax2+c ，当x取x1,x2(x1x2, x1,x2分别是A,B两点的横坐标)时，函数值相等， 则当x取x1+x2时，函数值为 （ ）,D,基础练习：,7. 函数y=ax2-a与y=,在同一直角坐标系中的图象可能是 （ ）,A,基础练习：,8. 一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线,运行，然后准确落入蓝筐内，已知蓝筐的中心离地面的 距离

6、为3.05m。 1、球在空中运行的最大高度是多少米？ 2、如果运动员跳投时，球出手离地面的高度 为2.25m ， 则他离篮筐中心的水平距离AB是多少？,基础练习：,1. 一次函数y=ax+b与y=ax2-b在同一坐标系中的大致图象是（ ）,思维与拓展,y,x,0,x,0,x,0,x,x,y,y,y,B.,A.,C.,D.,B,2. 函数y=ax2+a与y= （a0)在同一坐标系中 的大致图象是（ ）,思维与拓展,y,A.,C.,D.,D.,2、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和 二次函数y=ax2+c的图象大致是如图中的（ ）,B,3、按下列要求求出二次函数的解析式： （1）已知抛物线

7、y=ax2+c经过点（-3，2）（0，-1）求该抛物线线的解析式。,（2）形状与y=-2x2+3的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，1）的抛物线解析式。,（3）对称轴是y轴，顶点纵坐标是-3，且经过（1，2）的点的解析式，,练习：,二次函数y=ax+k与=ax的关系,(1)图像都是抛物线, 形状相同, 开口方向相同. (2)都是轴对称图形, 对称轴都是y轴. (3)都有最(大或小)值. (4)增减性相同.,3.联系: y=ax+k(a0) 的图象可以看成y=ax的图象沿y轴整体平移|k|个单位得到的.(当k0时向上平移;当k0时,向下平移).,驶向胜利的彼岸,回味无穷,1.相同点:

8、,2.不同点:,(1)顶点不同:分别是(0,k),(0,0). (2)最值不同:分别是k和0.,某涵洞是抛物线形,它的截面如图所示.现测得水面宽AB=1.6m,涵洞顶点C到水面的距离为2.4m.在图中直角坐标系内.求涵洞所在抛物线的函数解析式.,试一试,x,y,A,B,O,C,解:设涵洞所在抛物线的函数解析式为y=ax2+2.4,根据题意有A(-0.8,0),B(0.8,0),将x=0.8, y=0 代入y=ax2+2.4得 0=0.64a+2.4,a=_,涵洞所在抛物线的函数解析式为y=_ x2+2.4,3.如图,是一座抛物线形拱桥,水位在AB位置时,水面宽4 米,水位上升3米达到警戒线MN位置时 ,水面宽4 米,某年发洪水,水位以每小时0.25米的速度上升,求 水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?,解:以AB为x轴,