离散系统的数学模型

1、1,本节主要内容： 1、离散系统的数学定义 2、线性常系数差分方程及其解法 3、脉冲传递函数 4、开环系统脉冲传递函数 5、闭环系统脉冲传递函数 6、Z变换法的局限性及修正Z变换,四、离散系统的数学模型,2,1、离散系统的数学定义 将输入序列 ， 变换为输出序列 的一种变换关系，称为离散系统。记作 如果上式所示的变换关系是线性的，则称为线性离散 系统；如果这种变换关系是非线性的，则称为非线性离散 系统。,四、离散系统的数学模型 （1）,3,线性离散系统 如果离散系统满足叠加原理，则称为线性离散系统， 即有如下关系式 线性定常离散系统 输入与输出关系不随时间而改变的线性离散系统，称 为线性定常离

2、散系统。,四、离散系统的数学模型 （2）,4,2、线性常系数差分方程及其解法 线性定常离散系统可通过n阶后向差分方程描述 即,四、离散系统的数学模型 （3）,K时刻输出与k时刻输入、K时刻前输出、k 时刻前输入均有关,5,线性定常离散系统也可以用如下n阶前向差分方程来描述： 或表示为 差分方程的求解方法：经典法、迭代法、Z变换法 经典法：解微分方程通解、特解 困难！,四、离散系统的数学模型 （4）,6, 迭代法 若已知差分方程，并且给定输出序列的初值，则可以利 用递推关系，在计算机上一步一步地算出输出序列。 例716 已知差分方程 输入序列 ，初始条件为 ，试用迭 代法求输出序列 。 解 根据

3、初始条件及递推关系，得,四、离散系统的数学模型 （5）,7,四、离散系统的数学模型 （6）,8, Z变换法 利用Z变换的实数位移定理，得到以Z为变量的代数方程， 然后对代数方程的解 取Z反变换，求得输出序列 。 例717 试用变换法解下列二阶差分方程 或 设初始条件 。 解 对差分方程的每一项进行Z变换，根据实数位移定理：,四、离散系统的数学模型 （7）,9,得Z代数方程,四、离散系统的数学模型 （8）,拉式反变换,10,脉冲传递函数,11,3、脉冲传递函数 脉冲传递函数定义 开环离散系统如下图所示，线性定常离散系统的脉冲传递函数定义为系统的初始条件为零时，输出c*(t)的Z变换C(z)与输入

4、r*(t)的Z变换R(z)之比。脉冲传递函数用G(z)表示，记作,四、离散系统的数学模型 （9）,离散系统的传递函数,12,在零初始条件下，线性定常散系统的输出采样信号为 然而，对大多数实际系统来说，其输出往往是连续信 号 ，而不是采样信号 ，则在系统输出端虚设一 个理想采样开关，它与输入采样开关同步工作，虚设的采 样开关是不存在的，它只表明了脉冲传递函数所能描述的， 只是输出函数 在采样时刻上的离散值 。,四、离散系统的数学模型 （10）,13, 脉冲传递函数意义 输入单位序列： 单位脉冲响应序列: 即 脉冲传递函数的含义是：系统脉冲传递函数 ，就 等于系统加权序列 的Z变换。,四、离散系统

5、的数学模型 （11）,14, 脉冲传递函数求法 连续系统或元件的脉冲传递函数 ，可以通过其 传递函数 来求取。 脉冲过渡函数的采样拉氏变换 记作 习惯表示为,四、离散系统的数学模型 （12）,15, 脉冲传递函数求法 系统加权序列 的Z变换 查表直接换算,四、离散系统的数学模型 （12）,16,例718 设某环节的差分方程为 试求其脉冲传递函数 。 解 对差分方程取Z变换，并由实数位移定理得 当 时， ，在离散系统中其物理意义是代 表一个延迟环节。它把其输入序列右移一个采样周期后 再输出。,四、离散系统的数学模型 （13）,17,例719 设图723所示开环系统中的 试求相应的脉冲传递函数 。

6、 解 将 展成部分分式 查Z变换表得,四、离散系统的数学模型 （14）,G (z) = ZG ( s ),例 已知开环离散控制系统如图,r*( t ),r ( t ),y*( t ),y ( t ),求脉冲传递函数。,解 由式（5-61）可知,19,4、开环系统脉冲传递函数 采样拉氏变换的两个重要性质 1）采样函数的拉氏变换具有周期性，即 其中， 为采样角频率。 2）若采样函数的拉氏变换 与连续函数的拉氏变换 相乘后再离散化，则 可以从离散符号中提 出来，即,四、离散系统的数学模型 （15）,20,有串联环节时的开环系统脉冲传递函数 1）串联环节之间有采样开关 设开环离散系统如图(a)所示，由

7、图可得 于是有,四、离散系统的数学模型 （16）,2）串联环节之间无采样开关 设开环离散系统,四、离散系统的数学模型 （17）,r*(t),r ( t ),Y*(t),Y(t),等价开环离散系统,22,将 记为G1G2(z),23,注意！ 显然， 在串联环节之间有无同路不采样开关隔离时，其总的脉冲 传递函数和输出Z变换是不相同的。但是，不同之处仅表现 在其零点不同，极点仍然一样。这也是离散系统特有的现 象。,四、离散系统的数学模型 （19）,24, 有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数 设有零阶保持器的开环离散系统如下图 所示。,四、离散系统的数学模型 （20）,r*(t),r ( t ),Y

8、*(t),Y(t),由脉冲传递函数的定义有,25, 有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数 设有零阶保持器的开环离散系统如下图 (a)所示。,四、离散系统的数学模型 （20）,26,由图(b)可得 根据实数位移定理及采样拉氏变换性质，可得,四、离散系统的数学模型 （21）,27,例721 设离散系统如前图所示，已知 试求系统的脉冲传递函数 。 解 因为 因此，有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数,四、离散系统的数学模型 （22）,5. 闭环离散控制系统的脉冲传递函数,r(t),e(t),e*(t),d(t),- b(t),Y*(t),Y(t),图5-23 带干扰的闭环线性离散控制系统,假定d(t)

9、=0,得到如图5-24所示的结构图,r(t),e*(t),Y*(t),Y(t),图7-24 线性闭环离散控制系统,根据脉冲传递函数的定义可知,(5-70),(5-71),(5-72),将（5-72）代入（5-71），有,(5-73),于是得到：,(5-74),定义误差脉冲传递函数Ge(z)为,(5-75),将式（5-75）代入式（5-70），有,(5-76),于是得到闭环系统的脉冲传递函数GB(z)为,(5-77),32,写出下图的闭环系统脉冲传递函数 下图是一种比较常见的误差采样闭环离散系统结构图。,四、离散系统的数学模型 （23）,33,由上图可见，连续输出信号和误差信号的拉氏变换为 因此

10、有 所以,四、离散系统的数学模型 （24）,34,定义 为闭环离系统对于输入量的误差脉冲传递函数。 定义 为闭环离散系统对于输入量的脉冲传递函数。 闭环离散系统的特征方程：,四、离散系统的数学模型 （25）,35,需要指出，闭环离散系统脉冲传递函数不能从 和 求变换得来，即 这是由于采样器在闭环系统中有多种配置之故。,四、离散系统的数学模型 （26）,36,r(t),e(t),e*(t),d(t),- b(t),Y*(t),Y(t),求闭环离散控制系统的扰动脉冲传递函数,37,e*(t),Y*(t),-,Y(t),d(t),扰动输入的离散控制系统,38,例 已知采样系统结构, 如图所示，写出脉

11、冲传递函数：,r(t),- b*(t),Y*(t),Y(t),离散控制系统,由脉冲传递函数定义及串连环节的连接方式，可列写出如下式子,所以，,因为,40,6、变换法的局限性及修正变换 变换法的局限性 理想脉冲 采样丢失信息 极点必须多于零点2个以上 修正变换法 自学,四、离散系统的数学模型 （28）,41,42,本节主要内容： 1、s域到z域的映射 2、离散系统稳定的充分必要条件 3、离散系统的稳定性判据 4、采样周期与开环增益对稳定性的影响 5、离散系统的稳态误差 6、离散系统的型别与静态误差系数,五、离散系统的稳定性与稳态误差,43,s域到z域的映射,44,1、s域到z域的映射 s域到z域

12、的基本映射关系式为,五、离散系统的稳定性与稳态误差 （1）,45,等 线映射,五、离散系统的稳定性与稳态误差 （2）,46,等 线映射,五、离散系统的稳定性与稳态误差 （3）,47, 等 线映射,五、离散系统的稳定性与稳态误差 （4）,收敛的对数螺旋曲线,48,离散系统稳定的充分必要条件,49,2、离散系统稳定的充分必要条件 定义 若离散系统在有界输入序列作用下，其输出序 列也是有界的，则称该离散系统是稳定的。 时域中离散系统稳定的充分必要条件 设线性定常差分方程 差分方程的特征方程如下,五、离散系统的稳定性与稳态误差 （5）,50,设特征方程有各不相同的特征根 当特征方程的根 时，必有 ，故

13、系统 稳定的充分必要条件是： 当且仅当差分方程所有特征根的模 ， 则相应的线性定常离散系统是稳定的。,五、离散系统的稳定性与稳态误差 （6）,51, z域中离散系统稳定的充分必要条件 设典型离散系统结构图如图所示，其特征方程为,五、离散系统的稳定性与稳态误差 （7）,假定在s平面上任有一点,s=+j,(5-86),则通过Z变换，映射到Z平面为,(5-87),当=0，即s平面的虚轴，对应Z平面的单位圆。,当0，即左半s平面对应Z平面的单位圆内。 Z平面单位圆内为稳定区域。,Re,Re,Im,Im,54,在z域中，线性定常离散系统稳定的充分必要条件是： 当且仅当离散特征方程的全部特征根均分布在z平

14、面上的单 位圆内，或者所有特征的模均小于1，即 ， 相应的线性定常离散系统是稳定的。,五、离散系统的稳定性与稳态误差 （8）,r (t),y* (t),y (t),图 5-32 离散控制系统,解：,闭环特征方程,例 已知离散控制系统结构如图所示，采样周期T=1秒，分析系统的稳定性。,1+G(z)=0 z2+4.952z+0.368=0 z1=-0.076 z2=-4.876,系统特征方程的根有一个在单位圆外，因此，该离散系统不稳定。,57,例727 设离散系统如图所示，其中 试分析该系统的稳定性。 解 所以该离散系统不稳定。,五、离散系统的稳定性与稳态误差 （9）,58,离散系统的稳定性判据,

15、59,3、离散系统的稳定性判据 w变换与劳思稳定判据 双线性变换 显然,五、离散系统的稳定性与稳态误差（10）,Re,Re,Im,Im,Z平面到W平面的映射,61,例728 设闭环离散系统如图所示，其中采样周期 ，试求系统稳定时K的临界值。 解：,五、离散系统的稳定性与稳态误差（11）,62,闭环特征方程 令 ，得 得W域特征方程,五、离散系统的稳定性与稳态误差（12）,63,列出劳思表 为了保证系统稳定，必须使 和 ， 即 。故系统稳定的临界增益 。,五、离散系统的稳定性与稳态误差（13）,64, 朱利稳定判据 朱利判据是根据离散系统的闭环特征方程 的系数，判别其根是否位于Z平面上的单位圆内

16、，从而判 断该离散系统是否稳定。 设离散系统n阶闭环特征方程可以写为 利用特征方程的系数，按照下述方法构造 行、 列朱利阵列，见下表。,五、离散系统的稳定性与稳态误差（14）,65,朱 利 判 据 表,五、离散系统的稳定性与稳态误差（15）,66,这里 .,五、离散系统的稳定性与稳态误差（16）,67,朱利稳定判据 特征方程 的根，全部位于Z平面 上单位圆内的充分必要条件是 以及下列 个约束条件成立,五、离散系统的稳定性与稳态误差（17）,68,T、K对稳定性的影响,69,由例可见，K与T对离散系统稳定性有如下影响： 1)采样周期一定时，加大开环增益会使离散系统的稳定性变 差，甚至使系统变得不

17、稳定； 2)当开环增益一定是，采样周期越长，丢失的信息越多，对 离散系统的稳定性及动态性能均不利，甚至可使系统失去 稳定性。,五、离散系统的稳定性与稳态误差（22）,4、采样周期与开环增益对稳定性的影响 举例说明 例730 设有零阶保持器的离散系统如下图所示，试求： 1)当采样周期 分别为1s和0.5s时，系统的临界开环增益 2)当 ， ， 分别为 时，系 统的输出响应 。,五、离散系统的稳定性与稳态误差（18）,解: 开环脉冲传递函数 闭环特征方程为 当 时，有,五、离散系统的稳定性与稳态误差（19）,W域特征方程 根据劳思判据易得 。 当 时，W域特征方程为 根据劳思判据得 。 令 ， 分

18、别为 可由 的反变换求 出 ，分别画于下张图之中。,五、离散系统的稳定性与稳态误差（20）,图： 阶 跃 响 应,五、离散系统的稳定性与稳态误差（21）,74,离散系统稳态误差,1、终值定理 2、稳态误差系数,75,5、离散系统的稳态误差 介绍利用Z变换的终值定理方法，求取误差采样的离散 系统在采样瞬时的稳态误差。 设单位单馈误差采样系统如下图所示，,五、离散系统的稳定性与稳态误差（23）,76,其中 为系统误差脉冲传递函数。 若离散系统是稳定的，则可用Z变换的终值定理求出采 样瞬时的稳态误差,五、离散系统的稳定性与稳态误差（24）,77,例7-31 设离散系统如下图所示，其中 ，输入连续信号

19、 分别为 和 ，试求离散 系统相应的稳态误差。,五、离散系统的稳定性与稳态误差（25）,78,解: 系统的误差脉冲传递函数 因为 所以系统稳定，应用终值定理方法求稳态误差。 当 ， 求得,五、离散系统的稳定性与稳态误差（26）,79,当 ，相应时 ， ，求得,五、离散系统的稳定性与稳态误差（27）,81,五、离散系统的稳定性与稳态误差（31）,82,6、离散系统的型别与静态误差系数 单位阶跃输入时的稳态误差 当系统输入为单位阶跃函数 时，其Z变换函数 稳态误差为 定义静态位置误差系数：,五、离散系统的稳定性与稳态误差（28）,83, 单位斜坡输入时的稳态误差 当系统输入为单位斜坡函数 时，其Z

20、变换函数 稳态误差为 定义静态速度误差系数,五、离散系统的稳定性与稳态误差（29）,84, 单位加速度输入时的稳态误差 当系统输入为单位加速度函数 时，其Z变换函数 稳态误差为 定义静态加速度误差系数,五、离散系统的稳定性与稳态误差（30）,r (t),y (t),-,图5-43离散系统的稳态误差,解 :,例 已知离散系统的结构如图所示，采样周期T=0.1秒，求系统单位阶跃和单位斜坡输入时的稳态误差。,当系统输入为单位斜坡时，可求出Kv,所以，系统的稳态误差 为,由于该系统开环脉冲传递函数在z=1处有一个极点，因此为1型系统，当系统输入为单位阶跃时，其稳态误差为零。,87,六、离散系统的动态性

21、能分析,88,如何求响应,89,例732 设有零阶保持器的离散系统如下图所示，其中 。试分析该系统的动态性能。 解：,六、离散系统的动态性能分析 （2）,90,闭环脉冲传递函数 单位阶跃序列响应的Z变换：,六、离散系统的动态性能分析 （3）,91,输出序列 为 根据上述数值，可以绘出离散系统的单位阶跃响应，如下 张图所示。,六、离散系统的动态性能分析 （4）,92,图：离散系统输出脉冲序列,六、离散系统的动态性能分析 （5）,93,采样器对动态性能的影响 保持器对动态性能的影响,94,采样器和保持器对离散系统的动态性能有如下影响： 1）采样器：tp和ts略有减小，但使超调量增大 故稳定程度下降

22、。 然而，在某些情况下，例如在具有大延迟的系统中，误差采 样反而会提高系统的稳定程度。 2）零阶保持器： tp和ts增大，超调量和振荡次数也增加。 相角滞后降低了系统的稳定程度,六、离散系统的动态性能分析 （10）,95,瞬态响应,5.6.2 离散控制系统的瞬态响应,1. 闭环零极点与瞬态响应的关系 通常离散控制系统的闭环脉冲传递函数可表示为如下形式,(5-93),当系统输入为单位阶跃时，其系统输出Y(z)为,(5-94),展开成部分分式，有,(5-95),(5-96),式中,闭环极点对系统瞬态响应的影响,1) Pk为正实根，对应的瞬态分量,令,(5-97),若Pk=1，即闭环极点位于右半Z平

23、面上圆周上，闭环系统瞬态响应Yk(nT)为等幅脉冲，对应图5-39中a点对应波形。 若Pk0, 则输出响应yk(nT)呈指数z增加状，如图5-39中c点对应波形。,图 5-39 闭环实极点分布与相应瞬态响应,Im,Re,Z,f,f,d,d,a,a,c,c,b,b,e,e,101,3、闭环极点与动态响应的关系 正实轴上的闭环单极点 负实轴上的闭环单极点,六、离散系统的动态性能分析 （11）,102,Z平面上的闭环共轭复数极点,六、离散系统的动态性能分析 （12）,越靠近原点，震荡收敛越快,103,本节主要内容： 1、数字控制器的脉冲传递函数 2、最少拍系统设计 3、无波纹最少拍系统设计,七、离散

24、系统的数字校正,104,1、数字控制器的脉冲传递函数 设离散系统如下图所示。设 ，由图可以求 出系统的闭环脉冲传递函数以及误差脉冲传递函数,七、离散系统的数字校正 （1）,105,则可以分别求出数字控制器的脉冲传递函数为 或 显然 离散系统的数字校正问题：根据对离散系统性能指标的要求， 确定闭环脉冲传递函数 或误差脉冲传递函数 ，然后 利用上面公式确定数字控制器的脉冲传递函数 ，并加以 实现。,七、离散系统的数字校正 （2）,106,2、最少拍系统设计 在采样系统中通常将一个采样周期称之为一拍，若在典型输入信号作用下，经过最少采样周期，系统的采样误差信号减小为零实现完全跟踪，则称之为最少拍系统

25、。,七、离散系统的数字校正 （3）,最小拍系统的设计是针对典型输入作用进行的. 典型输入信号的z变换可以表示为如下一般形式,最少拍无差系统是指在典型的控制输入信号作用下能在最少几个采样周期内达到稳定无静差的系统。,典型控制输入 时间序列 脉冲传递函数,单位阶跃输入：,单位速度输入：,单位加速度输入：,通式：,什么是典型控制信号？,闭环z传递函数形式： (z) = m1z-1+ m2z-2+ + mnz-n （4-3） 闭环系统的脉冲响应在n个采样周期后变为零，即系统在n拍后 到达稳态。,什么是最小拍？,对最少拍控制系统设计的要求： 1. 准确性 稳态后，系统在采样时刻精确实现对输入的跟踪 对典

26、型的参考输入信号，在到达稳态后，系统在采样点的输出值能准确跟踪输入信号，不存在静差。 2. 快速性 系统以最快速度达到稳态 在各种使系统在有限拍内到达稳态的设计中，系统准确跟踪输入信号所需的采样周期数应为最少。 3. 稳定性 数字控制器D(z)必须在物理上可以实现且闭环系统必须是稳定,设计系统时要考虑的具体问题,最小拍系统的设计是针对典型输入作用进行的. 典型输入信号的z变换可以表示为如下一般形式,所以有,根据终值定理，采样系统的稳态误差为,111,误差信号的Z变换为 要求稳态误差为零：使上式 为零的条件是 中包含有 的因子，即 为了最小拍，就要求出的 简单，阶数最低，可取 。,七、离散系统的

27、数字校正 （5）,于是得到无稳态误差最少拍系统的希望闭环误差Z传递函数就应为 希望闭环Z传递函数应为,验证三种典型输入信号情况下，是否满足准确性和快速性,(1)单位阶跃输入时,也就是说，系统经过1拍(一个采样周期），输出就可以无差地跟踪上输入的变化，即此时系统的调节时间ts=T，T为系统采样周期。误差及输出系列如图所示,e(0)=1，e(1)=e(2)=0,0 T 2T,1,e(kT),kT,0 T 2T 3T 4T 5T,1,c(kT),kT,单位阶跃输入时的误差及输出序列,输入,输出,(2)单位速度输入时,也就是说，系统经过2拍，输出就可以无差地跟踪上输入的变化，即此时系统的调节时间ts=2T，T为系统采样周期。 误差及输出系列如图所示。,输入,输出,长除法得： = 2 Tz-2+3Tz-3+ 4Tz-4+