电磁场与微波技术PPT第2章

1、,第2章 电磁场的基本理论,电磁场基本理论分静电场、恒定电场、恒定磁场和时变电磁场四部分。其中静电场、恒定电场和恒定磁场是静态场，它们只是空间位置的函数，不随时间变化，这时电场和磁场虽然可以共处一个空间，但它们却是相互无关、各自独立存在的；时变电磁场既是空间的函数，也是时间的函数，这时变化的电场可以产生磁场，变化的磁场可以产生电场，电场与磁场不再独立，它们同时存在，形成统一的电磁场。,2.1 电磁场中的基本物理量和基本实验定律,2.1.1 电荷及电荷密度 电量的单位是C（库仑），基本电荷 带的电量为 C,1. 体电荷分布,连续分布于一个体积 之内的电荷，称为体电荷。体电荷密度 定义为 (2.1

2、),2. 面电荷分布,连续分布于一个几何曲面上的电荷，称为面电荷。设面积元 内有 的带电量，则面电荷密度 定义为 (2.3),3. 线电荷分布,连续分布于一条线上的电荷，称为线电荷。设线元 内有 的带电量，则线电荷密度 定义为 (2.4),4. 点电荷分布 当某一电荷量被想象地集中在一个几何点上时，这样的电荷称为点电荷。,2.1.2 电流及电流密度 电荷的宏观定向运动称为电流。,1.体电流分布,电荷在某一体积内定向运动所形成的电流为体电流。表示为 (2.6),2.面电流分布,电流在厚度可以忽略的薄层内流动所形成的电流称为面电流。表示为 (2.8),图2.1 面电流密度,3.线电流分布,电荷在一

3、个横截面可以忽略的细线中流动所形成的电流称为线电流。若长度元 中流过的线电流为 ，则称 为电流元。,2.1.3 库仑定律和电场强度 一个基本的实验现象是两个带电体之间有相互作用力。带电体之间没有相互接触，却有相互作用力，是因为带电体在周围的空间产生了电场，带电体之间的相互作用力是通过电场传递的。也就是说，一个带电体在周围产生的电场对另一个带电体有作用力。,不仅是电磁场理论的基本定律，也是物理学的基本定律之一；,阐述了静止点电荷相互作用的规律；,决定了静电场的性质；,奠定了电磁场理论的基础；,关于库仑定律的表述：,是一个从点电荷出发，通过测量不同点电荷之间的相互作用力而总结出来的实验定律 ；,假

4、设在电场中引入一个足够小的试验电荷 ，则试验电荷必然受到作用力F 。我们将电场强度定义为 (2.9),E的单位是V/m（伏特/米）。库仑于1785年从实验中总结出， 受到的 作用力为 (2.10),式中， F/m F/m（法拉/米），称为真空中的介电常数；如图2.2所示。 式（2.10）称为库仑定律。 （2.11）,定义点电荷 在周围空间P点产生的电场强度,图2.2 两个点电荷之间的相互作用力,对于连续的电荷分布,体分布,线分布,面分布,N个点电荷产生的电场强度,(2.13) (2.14) (2.15),库仑定律总结,真空中两静止点电荷之间的相互作用力与两点电荷之间距离的平方成反比 ；,与两点

5、电荷电量的乘积成正比，,作用力的方向沿连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸；,例2.1 无界真空中，有限长直线 上均匀分布着线密度为 的电荷，如图2.4所示，求线外任意点的电场强度。 解,图2.3 q点电荷的电场,例2.2 一个均匀带电的环形薄圆盘，内半径为a，外半径为b，电荷面密度 为常数，如图2.5所示，求环形薄圆盘轴线上任一点的电场强度。 解,图2.5 例2.2用图,实验结果表明，在真空中两个通有恒定电流的回路之间有相互作用力。1820年1825年间，安培从实验中总结出这个作用力的规律，称为安培力定律，该实验定律用图2.6和说明。设有两个电流回路C1和C2，分别通有电流I1和I2，则回路C1

6、对回路的作用力为,2.1.4 安培力定律和磁感应 强度,(2.17a) 式中， H/m （亨利/米），称为真空中的磁导率。,图2.6 两电流回路间的相互作用力,同理；回路 2 对回路 1 的作用力为：,显然有；,两电流回路间的作用力是相互的；,方向相反；,大小相等；,毕奥 - 萨伐尔定律,单位：T（特斯拉）,从式中可以看到：,回路 1 在 r 处所产生的磁场与在该处的电流 无关；,线电流元 在回路 1产生的磁场中所受到的作用力为：,得到引入 的概念后，安培定律的一般形式为：,对于其它形式的电流分布,电流元 见书P31公式2.18,体电流分布,电流元,面电流分布,2.2 静电场,2.2.1 真空

7、中静电场的基本方程 静电场基本方程的积分形式为 (2.20) (2.21),高斯定律；电场中穿过某一面积的电力线总数，称之为穿过该面积的电通量 ;,图2.8 立体角,图2.9 电场的线积分,在电场对称分布情况下；高斯定律的积分形式提供了计算静电场问题的简便方法；,高斯定律的积分式应用总结, 设法将积分简化；,最好能将电场强度 E 从积分号内提出；,条件：,且其方向应垂直或平行与积分曲面；,积分曲面上 E 的振幅为常数（包括 0）;,结论：,高斯定律的积分形式表示了通过任意曲面的电场通量和被此曲面所包围的电荷量之间的关系；,由任意闭合曲面穿出的电通量等于闭合曲面所包围的电荷量真空中的介电常数 ；

8、,高斯定律的积分式结论,要求：在应用积分形式的高斯定律解题前首先要判断电场的分布是否具有对称性；,应用积分形式的高斯定律求解静电场问题受到了相当的限制 ！,高斯定律的微分形式,解决的方法：,由散度定理：,对场中的任意一点均有：,微分形式：,表明空间某一点 E 的散度 只与该点的体电荷密度有关，而与其它位置的电荷分布无关。,意义：,例2.4 利用高斯定理求无限长线电荷 在任意点P产生的电场强度。 解 由静电场的高斯定理有,上式等号左边为,高斯面S内的总电荷为 于是有 (2.28),例2.5 利用高斯定理求电场强度。已知电荷分布于一个半径为a的球形区域内， 电荷体密度为 。 解 用高斯定理求解电场

9、，高斯面S为半径为r的同心球面。 当 时,所以 (2.29),当 时 所以 (2.30),电位函数 ，定义为 (2.31) (2.33),2.2.2 电位函数,当电荷分布已知时，可以求出任一点的电位函数。对于点电荷 ，其周围的电位为 (2.36),例2.7 求电偶极子的电位分布。 解 一对等值异号的电荷相距一个小的距离 ，称为电偶极子，如图2.11所示。,图2.11 电偶极子,(2.40a) 电偶极子的电场为 (2.41),现在我们来推导电位 的微分方程。 (2.42) 式(2.43)称为电位函数 的泊松方程。对于 的区域，式(2.43)为 (2.44) 式(2.44)称为电位函数的拉普拉斯方

10、程。,在直角坐标中，拉普拉斯算子表示为 (2.45),例2.8 平行板电容器由两块面积为S、距离为d的平行导体组成，极板间为空气，板间加电压为U，如图2.12所示。求极板间的电位和电场分布。,图2.12 电容器的截面图,解 忽略电场的边缘效应，极板间电位 的拉普拉斯方程为 其通解为 。又因为 ,所以 、 。即 (2.48) (2.49) 平行板电容器极板间电位是线性的，电场是匀强的。,电偶极矩：,用 来表示电偶极子的大小和方向；,其方向由负电荷指向正电荷；,电偶极子的概念,2.2.3 电介质中的高斯定理及边界条件,1.电介质中的高斯定理,依据物质的电特性可将其分为：,导电物质（导体）,在外电场

11、作用下，导体内的自由电荷可作宏观运动；,内部存在大量、能够自由运动的电荷（自由电子或正、负离子）,物质的分类,绝缘物质（电介质）,导体的特点：,介质的极化,电介质特点：,内部的带电粒子被约束在分子（原子）中而不能作宏观运动；,介质的极化,而大量分子极化的宏观结果将对外加电场产生影响！,在外电场作用下，被约束的带电粒子产生微观位移而使分子发生极化；,极化过程,依据构成电介质分子的结构特点可分为：,非极性分子,分子所带正、负电荷电量相等,正、负电荷的作用中心重合,分子所带正、负电荷电量相等,正、负电荷的作用中心不重合,由于分子的热运动，它们的排列是随机的；,分子的偶极矩 0,分子的偶极矩 0,极性

12、分子,在没有外加电场时，对外呈现的宏观偶极矩仍然 0 ；,在外加电场作用下产生位移极化：,非极性分子：,正、负电荷的作用中心重合；,产生位移极化形成感生的电偶极矩；正、负电荷作用中心发生位移；对外部呈现 电性 ；,极性分子：,正、负电荷的作用中心不重合；,在外加电场 E 作用下：,迫使偶极矩沿外加电场的方向排列；,极化过程,极化强度,定义：介质在给定点上单位体积内的电偶极矩的矢量和为介质的极化强度； 见公式2.50,在电场的作用下，介质中有许多电偶极子。见图2.13所示,图2.13 电介质的极化,(2.53) 为束缚面电荷密度；令 (2.54),为束缚体电荷密度。,对均匀介质：,极化强度 P

13、= 常数,电介质内的总极化电荷：,结论：只有极化面电荷存在于介质表面；,表明： 在没有外电场的作用下，均匀介质整体呈电中性！,均匀介质的极化,电位移矢量 D,由外加电场和极化后的附加电场共同决定,解决的方法：引入电位移矢量(电通密度）的概念；,对电介质，极化介质中的电场强度应由自由电荷和束缚电荷共同产生,电位移矢量D,介质中的高斯定律,微分形式,式中 均为自由电荷,积分形式,在有极化电荷的情况下，可避开求极化电荷，直接求解电场强度 E！,引入电位移矢量 D 的意义：,2. 边界条件,什么是电磁场的边界条件?,为什么要研究边界条件?,如何讨论边界条件?,实际电磁场问题都是在一定的物理空间内发生的

14、，该空间中可能是由多种不同媒质组成的。边界条件就是不同媒质的分界面上的电磁场矢量满足的关系，是在不同媒质分界面上电磁场的基本属性。,物理：由于在分界面两侧介质的特性参 数发生突变，场在界面两侧也发 生突变。麦克斯韦方程组的微分 形式在分界面两侧失去意义，必 须采用边界条件。,数学：麦克斯韦方程组是微分方程组，其 解是不确定的，边界条件起定解的 作用。,麦克斯韦方程组的积分形式在不同媒质的分界面上仍然适用，由此可导出电磁场矢量在不同媒质分界面上的边界条件。,以分界面上点P作为观察点，作一小扁圆柱高斯面（ ）。,1、 电位移矢量D的衔接条件,分界面两侧的 D 的法向分量不连续。当 时，D 的法向分

15、量连续。,则有,根据,图 在电介质分界面上应用高斯定律,边界条件一般表达式,2、电场强度E的衔接条件,以点P 作为观察点，作一小矩形回路（ ）。,分界面两侧 E 的切向分量连续。,图 在电介质分界面上应用环路定律,根据 则有,表明：（1）导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直，电场仅有法向分量；（2）导体表面上任一点的D 就等于该点的自由电荷密度 。,当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的衔接条件为：,图 导体与电介质分界面,在交界面上不存在 时，E、D满足折射定律。,电场分界面上的折射定律,图 分界面上E线的折射,因此,表明: 在介质分界面上，电位是连续的。,3、用电位函数 表示分界

16、面上的衔接条件,设点1与点2分别位于分界面的两侧，其间距为d， ,则,图 电位的衔接条件,例2.9 平行板电容器的长和宽为a和b，距离为，极板间一半填充介电常数为 的介质，一半为空气，板间加电压为U，如图2.16所示。求极板间的电场分布和电容器的电容。,图2.16 例2.9用图,(2.70),例 如图(a)与图(b)所示平行板电容器,已知 和 ,图(a)已知极板间电压U0 , 图(b)已知极板上总电荷 ,试分别求其中的电场强度。,（a）,（b）,图 平行板电容器,例题,解：忽略边缘效应,如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所作的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能

17、量就等于外加电源在此电场建立过程中所作的总功。,静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量,静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量。,任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立(或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而作功。,2.2.4 静电场的能量,静电场的能量,设系统从零开始充电，最终带电量为 q 、电位为 。 充电过程中某一时刻的电荷量为q、电位为 。 (01) 当增加为(+ d)时，外电源做功为: (q d)。 对从0 到 1 积分，即得到外电源所做的总功为,根据能量守恒定律，此功也就是电量为 q 的带电体具有

18、的电场能量We ，即,对于电荷体密度的体分布电荷，体积元dV中的电荷dV具有的电场能量为,故体分布电荷的电场能量为,对于面分布电荷，电场能量为,对于多导体组成的带电系统，则有, 第i个导体所带的电荷, 第i个导体的电位,式中：,电场能量密度,从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。,电场能量密度：,电场的总能量：,对于线性、各向同性介质，则有,例2.10 同轴线内导体半径为a，外导体内半径为，内外导体间填充介电常数为 的介质，外加电压为U，如图2.17所示。求同轴线单位长度内储存的电能。,例 半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的电荷，试求静电场能量。,解： 方法一，利用

19、 计算,根据高斯定理求得电场强度,故,见例2.5,方法二：利用 计算,先求出电位分布,故,图2.17 同轴线,2.2.5 直角坐标中的分离变量法,分离变量法是求解边值问题的一种经典方法,分离变量法解题的基本思路：,将偏微分方程中含有n个自变量的待求函数表示成n个各自只含一个变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成n个常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。,分离变量法的理论依据是惟一性定理,采用分离变量法的前提是：问题所给出的边界面与一个坐标系的坐标面平行或相合，或分段地与坐标面平行或相合。,(2.79) 将 用三个未知函数的乘积

20、表示为 (2.80),的解为 (2.86) 或 (2.87) 或 (2.88) 或 (2.89),例2.11 求如图2.18所示一个长方体内的电位分布。已知 面的电位为 ，其它各面的电位为0。,图2.18 长方体内的电位,(2.90),(2.92),例2.12 如图2.19所示，无限长金属槽，两平行侧壁相距为a，高度向上方无限延伸，两侧壁的电位为零0，槽底的电位为U。求槽内电位分布。,图2.19 例2.12图,(2.93),在场域V 的边界面S上给定 或 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 具有惟一值。,一、惟一性定理,惟一性定理的重要意义,给出了静态场边值问题具有惟一解的条件,为静态场边

21、值问题的各种求解方法提供了理论依据,为求解结果的正确性提供了判据,惟一性定理的表述,2.2.6 唯一性定理及镜像法,当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。,非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代,1. 问题的提出,实例 接地导体板附近有一个点电荷，如图所示。,二、镜像法,q,q,非均匀感应电荷,等效电荷,接地导体球附近有一个点电荷，如图。,非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代,接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。,q,非均匀感应电荷,q,等效电荷,结

22、论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷 或线电荷的作用。,2. 镜像法的原理,用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。,在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法,3. 镜像法的理论基础解的惟一性定理,

23、像电荷的个数、位置及其电量大小“三要素” ；,4. 镜像法应用的关键点,5. 确定镜像电荷的两条原则,等效求解的“有效场域”。,镜像电荷的确定,像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；,像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域 的边界条件来确定。,1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像,满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。,三、 接地导体平面的镜像,镜像电荷,电位函数,因z = 0时，,q,有效区域,q,上半空间( z0 ）的电位函数,q,导体平面上的感应电荷密度为,导体平面上的总感应电荷为,这表明导体面上总感应电荷 确实等于镜像电荷,2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜

24、像,镜像线电荷：,满足原问题的边界条件，所得的解是正确的。,电位函数,当z=0时，,利用公式2.39,例 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移至无穷远处，需要做多少功？。,解：移动电荷q时，外力需要克服电场力做功，而电荷q受的电场力来源于导体板上的感应电荷。可以先求电荷q 移至无穷远时电场力所做的功。由镜像法，感应电荷的电场可以 用像电荷qq 替代。当电荷q 移 至x时，像电荷q应位于x，则有,如果用点电荷-q来代替导体表面上的感应电荷，并把它放在原电荷的镜像位置上，同时移去导体，则上半空间的电力线没有改变，此时两点电荷在观察点产生的电位就是原问题的解。,图2.20 点电荷对无限大

25、导体平面的镜像法,(2.94) (2.95),导电媒质中的恒定电场分析,由 可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场。,恒定电场与静电场重要区别： （1）恒定电场可以存在导体内部。 （2）恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。,恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。,2.3 恒定电场,2.3.1 恒定电场的基本方程 （2.96） 式（2.96）称为电流连续性方程的积分形式。,(2.97） 式（2

26、.97）称为电流连续性方程的微分形式。,恒定电场的基本方程为,微分形式：,积分形式：,恒定电场的基本场矢量是电流密度 和电场强度,线性各向同性导电媒质的本构关系,恒定电场的电位函数,由,若媒质是均匀的，则,恒定电流得出 （2.98） （2.99） （2.100） （2.101）,2.3.2 导电媒质中的传导 电流,金属导体、电解液或漏电的介质中都可以存在传导电流。实验表明，传导电流密度与电场强度之间满足如下关系 （2.102）,单位体积的功率（单位为W/m3）为 （2.104） 对于传导电流，单位体积的功率是变为热的功率，即焦耳损耗。此时，式（2.104）为 （2.105）,还应指出，导电媒质

27、内净电荷密度 ，是指电荷分布达到稳态的情形。在给导电媒质充电时，开始时是有电荷进入导电媒质内的，设电荷密度的初始值为 。但由于电荷的相互排斥作用，它们都向导电媒质表面扩散，我们称其为暂态过程。 的解为 （2.107）,上式表明，体积内的随时间按指数规律减小，减小的速度取决于=/。当由0减小到0/e时，所需时间为s，称为弛豫时间。 （2.108）,恒定电场的边界条件,场矢量的边界条件,即,即,导电媒质分界面上的电荷面密度,场矢量的折射关系,电位的边界条件,恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场 既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因 而导体表面不是等位面；,说明：,如

28、21、且290，则10， 即电场线近似垂直于与良导体表面。 此时，良导体表面可近似地看作为 等位面；,若媒质1为理想介质，即10，则 J1=0，故J2n=0 且 E2n=0，即导体中 的电流和电场与分界面平行。,不同导电媒质分界面上的边界条件为 或 （2.110） 或 （2.111）,1 alpha a:lf 阿尔法 2 beta bet 贝塔 3 gamma ga:m 伽马 4 delta delt 德尔塔 5 epsilon epsilon 伊普西龙 6 zeta zat 截塔 7 eta eit 艾塔 8 thet it 西塔 9 iot aiot 约塔 10 kappa kap 卡帕

29、11 lambda lambd 兰布达 12 mu mju 缪,13 nu nju 纽 14 xi ksi 克西 15 omicron omikron 奥密克戎 16 pi pai 派 17 rho rou 肉 18 sigma sigma 西格马 19 tau tau 套 20 upsilon jupsilon 宇普西龙 21 phi fai 佛爱 22 chi phai 西 23 psi psai 普西 24 omega omiga 欧米伽,所有希腊字母及读音,例2.13 如图2.21所示，一个有两层介质 、 的平行板电容器，两层介质的电导率分别为 、 ，极板的面积为S，求该电容器的漏电导

30、G。在外加电压U时，求两极板及介质分界面上的自由电荷密度。,图2.21 具有两层介质的平行板电容器,解 ， （2.112）,， （2.113）,2.3.3 恒定电场与静电场的比拟,如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。,恒定电场与静电场的比拟,解：直接用恒定电场的计算方法,电导,绝缘电阻,设由内导体流向外导体的电流为I。,例 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a、b，长度为l ，其间媒质的电导率为、

31、介电常数为。,本题中 表示为半径,2.4.1 真空中恒定磁场的基本方程,实验证明：磁感应强度线是闭合的；,例如：,通电直导线周围的磁感应强度线是以导线为圆心的同心圆；,通电螺旋管的磁感应强度线无头无尾（也为闭合）；,2.4 恒定磁场,由散度定理：,磁场高斯定律的微分形式；,磁场高斯定律的积分形式；,物理本质：自然界不存在着独立的磁荷；,磁场是无源场 ！,假定 B 由沿回路 流动的线电流 I 产生,由公式：,回路上任意一点 P 处的 B 为：,安培环路定律,经分析计算该积分结果为,磁感应强度B沿任意闭合路径 L 的线积分；,穿过 L 所包围的面积 S 的总电流 I ；,之间的关系 ！,安培环路定

32、律建立起了：,1. 与穿越的位置及环路外的电流无关；,2. 如果沿L的积分方向调头，则：,3. 如果有i个电流穿越面积 S 则：,当密度为 J 的体电流穿越 L 所包围的面积 S 时；,由斯托克斯公式；,恒定磁场的旋度,得到,利用安培环路定理计算B 时：, 积分路径 L 上每一点的 B 只有切线分量或法线分量；, 各点的切线分量大小相等；,原因：这样积分变得简单！,其“ 源 ”是（且仅仅是）电流；,积分路径的选择应满足下面的条件：,例题 半径为 a 的无限长直圆柱形导体通过电流 I；,导体内外的磁感应强度 B ；,如图选择坐标；,磁感应强度 B 只有沿圆的切线方向；,取半径为 r 的圆周 作为

33、积分路径,则 上的所有点 B 都满足：,体电流密度为：,在导体内，取半径为 的圆周 L2 为积分路径；,矢量磁位的定义,磁矢位的任意性 与电位一样，磁矢位也不是惟一确定的，它加上任意一个标量 的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即,由,即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。,磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度造成的。为了得到确定的A，可以对A的散度加以限制，在恒定磁场中通常规定 ，并称为库仑规范。,2.4.2 矢量磁位,磁矢位的微分方程,在无源区：,磁矢位的表达式(直角坐标系下）,由此可得出,（可以证明满足 ）,对于面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为,面电流：,细线电流：,

34、利用磁矢位计算磁通量：,（2.123） 式中A称为矢量磁位。 （2.124） 其称为库仑规范。,（2.125） 称为矢量磁位的泊松方程。 （2.126） 称为矢量磁位的拉普拉斯方程。,矢量泊松方程的解为（直角坐标系下） （2.129） （2.130） （2.131）,例2.15 求半径为a、通过电流为I的小圆环在远离圆环处的B。,图2.22 小圆环电流矢量磁位的计算,解 （2.133） （2.134）,1、 磁偶极子的概念,将一个线度很小、形状任意的电流环称为磁偶极子；,限度很小：指相对于电流环到观测点的距离而言;,形状任意：指其形状可以是规则的几何形状、也可以是不规则的几何形状；,由于电流环

35、在远处产生的磁场，,2.4.3 磁介质中的安培定律及边界条件,2、物质磁性的来源,来源于两个方面：,一个分子中所有电子磁矩的总和, 分子的固有磁矩；,磁化的概念：,外磁场使介质分子内电子的运动状态发生变化；,3、 磁介质的分类和磁化,由于分子的热运动导致各分子的固有磁矩混乱排列宏观上不产生磁场；,磁化的过程：,当施加外磁场时，,分子的固有磁矩受到一个力矩的作用，,力矩分子热运动的共同作用；, 无外磁场作用时， 媒质对外不显磁性，,分子电流，电流方向与 方向成右手螺旋关系, 在外磁场作用下， 磁偶极子发生旋转， 旋转方向使磁偶极矩方向与外磁场方向一致，对外呈现磁性，称为磁化现象。, 分子磁偶极矩

36、, 用磁化强度M 表示磁化的程度，用来描述物质的磁化程度；,A/m,式中：N为单位体积内被磁化的分子数，pm是平均分子磁偶极矩, 磁化体电流, 由于磁偶极子的定向排列，媒质内部出现磁化体电流，媒质表面出现磁化面电流。, 磁化面电流,（ 为媒质表面外法线方向）,处在磁化状态中的物质每单位体积内原子的平均磁偶极矩的矢量和；, 极化体电荷, 极化面电荷, 磁化体电流, 磁化面电流,（ 为媒质表面外法线方向）,与前面讲的电介质的极化类似,4.磁介质中磁场的基本方程,引入磁化电流后，媒质的磁化效应由磁化电流表征，即空间的磁场由传导电流和磁化电流产生。而磁化电流和传导电流的实质相同，则,得,令,（为磁介质

37、中的磁场强度矢量）,微分形式,于是磁介质中的基本方程,由实验证明，除铁磁性物质外，M和H之间有一定的线性关系，即,式中 均为传导电流,得,（为磁介质中的本构关系）,得,（为磁介质中的本构关系）,媒质的磁导率,（除铁磁性物质外 ）,媒质的相对磁导率,B 的衔接条件,在媒质分界面上，包围P点作一小扁圆柱，,令 ，则根据 , 可得,B 的法向分量连续,图 分界面上 B 的衔接条件,5.边界条件,H 的衔接条件,H 的切向分量不连续,H 的切向分量连续,当 J = 0,图 分界面上 H 的衔接条件,在媒质分界面上，包围P点作一矩形回路 。,令 , 根据,可得,磁场分界面上的折射定律,当两种媒质均匀、各

38、向同性，且分界面无自由电流线密度J，则,折射定律,两种理想介质分界面上的边界条件,在两种理想介质分界面上，通常没有电荷和电流分布，即JS0、S0，故,两种常见的情况,2. 理想导体表面上的边界条件,理想导体表面上的边界条件 设媒质2为理想导体，则E2、D2、H2、B2均为零，故,理想导体：电导率为无限大的导电媒质,特征：电磁场不可能进入理想导体内,理想导体表面上的电荷密度等于 的法向分量,理想导体表面上 的法向分量为0,理想导体表面上 的切向分量为0,理想导体表面上的电流密度等于 的切向分量,两种特殊情况, 两种无耗媒质的分界面（ ）,或, 理想介质和理想导体的分界面 （ ）,或,微分形式:,

39、1. 基本方程,2. 边界条件,本构关系：,或,若分界面上不存在面电流，即JS0，则,积分形式:,或,恒定磁场的基本方程和边界条件,例1 z 0 区域的媒质参数为 。若媒质1中的电场强度为,媒质2中的电场强度为,（1）试确定常数A的值;（2）求磁场强度 和 ； （3）验证 和 满足边界条件。,解:（1）这是两种电介质的分界面，在分界面z = 0处，有,利用两种电介质分界面上电场强度的切向分量连续的边界条件,得到,将上式对时间 t 积分，得,（2）由 ，有,可见，在z = 0处，磁场强度的切向分量是连续的，因为在分界面上（z = 0）不存在面电流。,（3）z = 0时,同样，由 ，得,例 2 如

40、图所示，1区的媒质参数为 , 2区的媒质参数为 。若已知自由空间的电场强度为,试问关于1区中的 和 能求得出吗？,解 根据边界条件，只能求得边界面z0 处的 和 。,由 ，有,则得,x,又由 ，有,则得,最后得到,解 （1）由 , 有,试求:（1）磁场强度 ；（2）导体表面的电流密度 。,例3 在两导体平板（z = 0 和 z = d）之间的空气中，已知电场强度,将上式对时间 t 积分，得,（2） z = 0 处导体表面的电流密度为,z = d 处导体表面的电流密度为,磁介质中的安培定律及边界条件 （2.136） （2.137）,（2.138） （2.139） （2.140） （2.141）,

41、B的法向边界条件由磁通连续性方程得出。 或 （2.142）,H的切向边界条件由安培定律 得出。 （2.143） （2.144） （2.145）,例2.16 如图2.16所示，环行铁芯螺线管的半径a远小于环半径R，环上均匀密绕N匝线圈，通过电流为I，铁芯磁导率为 ，计算环中的B、磁通 、磁链 和自感L。如果在环上开一个小的切口，长度为l，匝数、电流如前，假设铁芯的 也不变，再计算环中和空气隙的B和H。,图2.24 环形螺线管,解,当在环上开一个小的切口时 因为 ，所以 ，与没有切口相比，B值将下降许多。,2.4.4 恒定磁场的能量,从场的观点来看，磁场能量分布于磁场所在的整个空间。,磁场能量密度：,磁场的总能量：,对于线性、各向同性介质，则有,磁场能量,在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势作功所供给的能量，就全部转化成磁场能量。,电流回路在恒定磁场中受到磁场力的作用而运动，表明恒定 磁场具有能量。,磁场能量是在建立电流的过程中，由电源供给的。当电流从 零开