应用数学第6讲---复合函数求导与高阶导数

1、,复合函数求导与高阶导数,第六讲,(TheChainofRule&HigherDerivative),知识目标,理解复合函数求导的链式法则,了解高阶导数的运算法则,掌握混合式求导法则,能力目标,会对复合函数进行求导数,能根据多重指标的经济总量进行边际分析,会求高阶导数,问题一：自驾游的成本问题,当你选择自己驾车出去旅游的时候，需要考虑汽车行驶过程中所产,生的成本问题！这里不仅仅需要考虑油耗，而且还需要考虑高速费,用等因素.,当我们单纯地只考虑油耗的时候会发现，油耗会与所行驶的公里数,有关，而公里数又取决于我们行驶过程中的速度以及行驶的时间有,关，即：油耗G是公里数s的函数，而公里数又是速度和时

2、间t的函数.,为了方便起见，我们先假设行驶过程中保持速度大小不变，比如：,汽车每行驶一公里耗油0.189L汽油，且轿车以80km/h的速度行驶，,那么汽车汽油的消耗率是多少?,我们期望的汽油消耗率的单位为：L/h，,问题一：自驾游的成本问题,已知：,汽油关于路程的消耗率,路程关于时间的增长率,我们需要计算汽油关于时间的消耗率，或,显然：,复合函数求导法则,从自驾游的成本问题中，我们容易发现：,汽油的消耗量G是路程s的函数：,路程s是时间t的函数：,从而，汽油消耗量G也是时间t的函数：,而汽油消耗量关于路程的变化率：,路程关于时间的变化率：,这样，汽油关于时间的消耗率：,复合函数求导法则链式法则

3、,如果函数和可导，则函数的导数,为：,注意：复合函数求导的关键在于找准复合函数的复合过程，,每一层的函数都是基本初等函数，它们的导数都按照基本,求导公式进行求解，在将每一层的函数代入即可！,例如：,例1求下列函数的导数,(1),(2),(3),(4),解,(1),另：,例1求下列函数的导数,(1),(2),(3),(4),解,(2),另：,例1求下列函数的导数,(1),(2),(3),(4),解,(3),例1求下列函数的导数,(1),(2),(3),(4),解,(4),例2求下列函数的导数,(1),(2),(3),(4),解,(1),(2),例2求下列函数的导数,(1),(2),(3),(4)

4、,解,(3),例2求下列函数的导数,(1),(2),(3),(4),解,(4),超过两层的复合函数的求导法则,如果函数,可以看成：,，而,这样，三个函数进行复合的复合函数求导数时，也可以将它分解成,两个函数之间的逐层复合！,例如：,显然，它可以看成：,两层复合函数,因此：,同理，对于多层函数进行复合的函数求导数时，依然满足链式法则,例3求下列函数的导数,(1),(2),(3),(4),解,(1),例3求下列函数的导数,(1),(2),(3),(4),解,(2),例3求下列函数的导数,(1),(2),(3),(4),解,(3),例3求下列函数的导数,(1),(2),(3),(4),解,(4),练

5、习,1.,2.,3.,4.,5.,6.,问题二：成本增加速度问题,某企业生产两种不同的产品，根据产品特性，这两种产品的成本函,数不同，分别为：,(万元),(万元),根据导数的经济学含义可知，这两种产品成本的增加速度(即边际,成本)分别为：,问题二：成本增加速度问题,从图像上可以看到，成本函数增长的势头比要大.,在经济学中，我们知道导数表示的是边际，而边际表示的是变化率，,从两个成本函数的导数可以看出，第一种产品的边际成本不变，即,对于第一种产品来说，其成本变化率跟产量无关.,而第二种产品的边际成本与产量有关，那么两种产品成本增加速度,的变化率呢?,变化率即为导数,高阶导数,像这样，对于一个函数求出导数之后再求一次导数称为,二阶导数.,一般地，若函数f(x)的导数在点x处依然可导，则称,的导数为函数f(x)的二阶导数，记作：或或,即,类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，三阶导数的导数称为,四阶导数，以此类推等等.,二阶以及二阶以上导数称为高阶导数,具体见78页,例4求下列函数的n阶导数,(1),(2),(3),(4),解,(1),根据数学归纳法,例4求下列函数的n阶导数,(1),(2),(3),(4),解,(2),根据数学归纳法,例4求下列函数的n阶导数,(1),(2),(3),(4),解,(3),