第3章 随机过程-通信原理 樊昌信

1、1、通信原理，第3章随机过程，第2、3章随机过程，3.1随机过程的基本概念是什么是随机过程？ 随机过程是在随时之间发生不确定的变化的过程，不能用正确的时间函数来描述。 角度1 :可以从两个不同的角度看到：与不同的随机试验结果相对应的时间过程的集合。 角度2 :随机过程是随机变量概念的扩展。 第3，3章随机过程，【例】n台示波器同时这n台接收机的输出噪声波形采样函数i(t ) :随机过程的一次实现，是确定的时间函数。 随机过程： (t)=1(t )、2(t )、n(t )是所有采样函数的集合。 第4，3章随机过程，角度2 :随机过程是随机变量概念的延长。 在给定时刻t1，每个采样函数i(t )具

2、有固定值i(t1)，但是每个i(t1)都不能被预测。 在一个固定时间t1，不同采样的值i(t1 )、I=1、2、n是随机变量，并且表示为(t1 )。 换句话说，随机过程的任意时刻的值是随机变量。 因此，我们还可以把随机过程视为时间过程中处于不同时间点的随机变量的集合。 这个角度适合准确地用数学方法描述随机过程理论。 第5，3章随机过程，3.1.1随机过程的分布函数表示(t )随机过程，它在任意时刻t1的值(t1 )是随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。 概率过程(t )的一维分布函数：概率过程(t )的一维概率密度函数：如果上式的偏差存在的话。 第6，3章随机过程，随机过程

3、(t )的二维分布函数：随机过程(t )的二维概率密度函数：存在上式的偏差时。 随机过程(t )的n维分布函数：随机过程(t )的n维概率密度函数：7， 随机过程统计特性的一部分描述数字特征，数学期待定义意义：随机过程(t )的平均是时间的决定函数，始终记为： a(t )，这表示随机过程的n个采样函数曲线的摆动中心：的本质是随机过程所有采样函数的统计平均函数， 根据随机过程的一维概率特性确定随机信号的直流成分，a(t )、a(t )的性质： 8，第三章随机过程，方差总是记为2(t )。 在此，将任意的时刻t1直接写为t。 因此，方差等于均方差和均方差的差。 这意味着随机过程在时刻t偏离平均a(

4、t )到什么程度是非负的。 在、平均值、平方、9、10、第三章随机过程、相关函数式中，(t1 )和(t2 )分别是在t1和t2时观测到的随机变量。 由此可知，R(t1、t2 )是两个变量t1、t2的决定函数。 协方差函数式中a(t1 )、a(t2)(t )在t1和t2的时刻得到的平均f2(x1、x2； t1，t2)(t )的二维概率密度函数。 在第11、3章的随机过程中，关于相关函数和协方差函数的关系，当a(t1 )或a(t2 )各为0时，如果B(t1，t2)=R(t1，t2 )相关函数和协方差函数的关系协方差函数B(t1，t2)=0，则(t1 )和(t2 )处于相位在互相关函数式中，(t )

5、和(t )分别表示两个随机过程。 因此，R(t1，t2 )也被称为自相关函数。 第12、第3章随机过程，3.2稳态随机过程3.2.1稳态随机过程的定义：随机过程(t )的任意有限维分布函数与时间的起点无关，即对于任意正整数n和所有实数，该随机过程被称为严格意义上的稳态随机过程，也称为严格的、第13章随机过程、性质：该定义显示稳态随机过程的统计特性不随时间变化，即其一维分布函数与时间t无关：二维分布函数只与时间间隔=t2t1相关：数字特征：可见，(1)其平均值为(2)自相关函数只与时间间隔有关。 观察、14、第三章的随机过程，(1)其平均值与t无关，是常数a的(2)自相关函数仅与时间间隔有关。

6、将同时满足(1)和(2)的过程定义为广义光滑的随机过程。 显然，严格平稳的随机过程一定广义平稳，相反不一定成立。在通信系统中遇到的许多信号和噪声可被认为是稳定的随机过程。 因此，研究光滑的随机过程具有很大的现实意义。 提出了第十五、第三章随机过程、3.2.2各状态的经验问题：随机过程的数字特征(平均，相关函数)是随机过程中所有抽样函数的统计平均，但已知实际上很难测定大量抽样。 这样，我们自然地提出了能否根据一次实验得到的样本函数x(t )来确定稳定过程的数字特征的问题。 答案是肯定的。 稳态过程为了满足一定条件具有有趣且非常有用的特性，被称为“各状态的经验性”(也被称为“扫描性”)。 具有各状

7、态的经验过程，其数字特征(全部统计平均)可以取代完全随机过程中任一过程实现的时间平均。 下面讨论各状态的经验条件。 第16、3章设定随机过程、各状态的经验条件： x(t )是稳态过程(t )的任意一次实现(样品)，其时间平均和时间相关函数分别定义为，当稳态过程成立下式时，该稳态过程具有各状态的经验性质。17、第三章随机过程，“各状态经历过”的意思是，随机过程的任何一个实现都经历了随机过程的所有可能状态。 因此，在求出各种统计平均(平均和自相关函数等)时，不需要无限多次考察，只要得到一次考察，并将一次实现的“时间平均”的值置换为过程的“统计平均”的值即可，大幅度简化了测定和计算的问题。 各状态所

8、经历的随机过程一定是平静的过程，相反不一定成立。 在通信系统中遇到的随机信号和噪声通常能够满足各状态经过的条件。第18、第3章随机过程，假设例3-1随机相位的正弦波为一个，则a和c都是常数，是均匀分布在(0，2 )内的随机变量。 研究一下(t )是否有各种各样的经验吧。 (1)首先求出(t )的统计平均值：数学期待，第19章随机过程，自相关函数t2t1=，得到，(t )的数学期待是常数，但是自相关函数与t无关，仅与时间间隔有关，所以(t )是广义的稳态过程。20、3章随机过程，(2)求出的(t )时间平均值比较统计平均值和时间平均值，因此随机相位馀弦波在各状态下经历。21，3章随机过程，3.2

9、.3稳态过程的自相关函数稳态过程自相关函数的定义：稳态过程自相关函数的性质(t )的平均功率的偶函数r ()的上界自相关函数r ()在=0处具有最大值。 (t )的直流电力表示稳定过程(t )的交流电力。 在平均值为0时，R(0)=2。22、第三章随机过程、3.2.4稳态过程的功率谱密度定义：对任意确定功率谱信号f(t )，将其功率谱密度定义为式中，FT(f )是与f(t )的截断函数fT(t )对应的频谱函数，23、第三章随机函数某些书的功率谱密度可以是下一个样本，但不能是过程的功率谱密度。 因为过程的功率谱密度应被视为所有样本功率谱的统计平均，所以(t )的功率谱密度为第24，3章随机过程

10、，功率谱密度的计算维纳辛关系的非周期功率谱型认知信号的自相关函数及其功率谱这种关系对于平稳的随机过程也成立，即以上关系简称为维纳辛钦关系。 它是平稳随机过程理论和应用中非常重要的工具，是连接频域和时域的两种分析方法的基本关系式。 结论：第25、第3章随机过程可以基于维纳辛关系积分功率谱密度，得到稳定过程的总功率：上式从时、频、相关领域给出了过程平均功率的计算方法。 各状态经过的任意基本函数的功率谱密度与经过的功率谱密度相等。 即，所有基本函数的频谱特性可以很好地表现整个过程的频谱特性。【证】各状态经过了的自相关函数与任意书的自相关函数相等，因此，两边傅立叶变换：式中，26，3章随机过程，功率谱

11、密度P(f )具有非负性和实性，即与r ()的实性相对应。27、第三章随机过程，例3-2求出随机相位馀弦波(t)=Acos(ct )的自相关函数和功率谱密度。 在例3-1中，考察随机相位馀弦波是稳态过程，求出其相关函数的是稳态随机过程的相关函数和功率谱密度是一对傅立叶变换，即有时，功率谱密度是平均功率如果3.3高斯随机过程(正态随机过程)3.3.1定义随机过程(t )的任意n维(n=1，2，)分布服从正态分布，则称为正态过程或高斯过程。 n维正规概率密度函数式是式中、29、第3章随机过程，式中|B|正规化协方差矩阵的行列式，即|B|jk行列式|B|中元素bjk的代数馀数bjk是正规化协方差函数

12、，即、30、第3章随机过程，3.3.2重要性质从高斯过程的定义式因此，关于高斯过程，可以研究高斯过程的一个，二维数字特征。 广义平稳的高斯过程也严格平稳。 因为高斯过程广义上平稳，其平均与时间无关，协方差函数仅与时间间隔无关，其n维分布也与时间起点无关，是严格平稳的。 因此，高斯过程只要广义上平静，就严格平静。 第31、3章的随机过程显示，高斯过程不同时刻的随机变量不相关，即如果存在jk、bjk=0，则概率密度可以简单化，这表示在高斯过程不同时刻取得的随机变量不相关的情况下，也是统计上独立的。 高斯过程进行线性变换后生成的过程仍然是高斯过程。 如果线性系统的输入是高斯过程，那么系统输出也可以说

13、是高斯过程。32、第3章随机过程，3.3.3高斯随机变量的定义：高斯过程在任意时刻取得的随机变量是正态分布的随机变量，也称为高斯随机变量，其一维概率密度函数在式中的a平均2方差曲线为右图：33、第3章随机过程，性质f (即a表示分布中心，被称为标准偏差，表示高斯随机变量取值的集中的程度，图形随着减少而变高或变窄。 当a=0和=1时，被称为归一化的正态分布：34，3章随机过程，正态分布函数的积分值不能以闭合的形式计算，但通常利用其他特殊函数，用查找表的方法求出：用误差函数表示正态分布函数：指令有公式中的误差函数，其、35，第三章随机过程，误差函数的性质：单调递增函数，36，第三章随机过程，互补误

14、差函数用erfc(x )表示正态分布函数：公式中x2时，37，第三章随机过程，单调递减函数，38，第三章随机过程，q函数中正态分布函数、39、第3章随机过程，3.4稳态随机过程通过线性系统确认信号通过线性系统(复习):式中vi输入信号，与vo输出信号对应的傅立叶变换关系：随机信号通过线性系统： i(t )通过稳定的输入随机过程，a平均， 求出功率谱密度输出过程o(t )的统计特性，即其平均、自相关函数、功率谱及概率分布。40、第三章随机过程、输出过程o(t )的平均值，如果输入过程稳定，则在式中，H(0)是线性系统的f=0下的频率响应(即直流传递函数)，因此输出过程的平均值等于输入过程的平均值

15、乘以系统的直流传递函数的常数。、41，第三章随机过程，输出过程o(t )的自相关函数：通过自相关函数的定义根据输入过程的稳定性，输出过程的自相关函数只是时间间隔的函数，由上式表示。 从以上的2式可知，如果线性系统的输入平滑，则输出也平滑。42，第三章随机过程，输出过程o(t )的功率谱密度对下式进行傅立叶变换：指令=-，代入上式，输出过程的功率谱密度被结论为输入过程的功率谱密度乘以系统频率响应模式值的平方。 应用：如果从Po(f )的傅立叶逆变换得到Ro ()、43，第三章随机过程，输出过程o(t )的概率分布线性系统的输入过程是高斯型，则系统的输出过程也是高斯型。 从积分原理来看，因为假设i(t