第3章 第7节正弦定理、余弦定理应用举例

1、第7节正弦定理、余弦定理应用举例,导航考点目标,整合主干知识,1用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等2实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角叫仰角，在水平线的角叫俯角(如图(1),上方,下方,(1)(2),(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图(2)(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45，西偏东60等(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数,1从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，之间的关系是()ABC90D180

2、解析：与为两平行线的内错角，.答案：B,答案：B,4(2011上海高考)在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A、C两点之间的距离为_千米,5地上画了一个角BDA60，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点B，则B与D之间的距离为_米解析：如图，设BDxm，则142102x2210 xcos60，x210 x960，(x16)(x6)0，x16或x6(舍)答案：16,探究考向典例,(2013三明模拟)如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内B、D为两岛上的两座灯塔的塔

3、顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC0.1km.(1)试探究图中B，D间的距离与另外哪两点间距离会相等？(2)求B、D间的距离,解析(1)如图，在ADC中，DAC30，ADC60DAC30，所以CDAC0.1km.又BCD180606060，CED90，CB是CAD底边AD的中垂线，BDBA.B、D两点间的距离与B、A间的距离相等,规律方法解决三角形的实际应用问题应注意以下两点：(1)根据题目所给条件作出相关示意图(2)将实际问题转化到三角形中利用正、余弦定理求解另外，对于仰角、俯角、方向角、方位角要正确地理解和应用,(2013沈

4、阳模拟)测量河对岸的塔高AB时，可选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得BCD75，BDC60，CDs，并在点C处测得塔顶A的仰角为30，求塔高AB.,规律方法(1)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理(2)注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形与水平面(地平面)内的三角形垂直关系,2(2013苏北四市联考)如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量已知AB50m，BC120m，于A处测得水深AD80m，于B处测得水深BE200m，于C处测得水深CF110m，求DEF的余弦值,规律方法测量角度问题的一般步骤(1)在弄清题

5、意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离；(2)用正弦定理或余弦定理解三角形；(3)将解得的结果转化为实际问题的解同时注意把所求量放在有关三角形中，有时直接解此三角形解不出来，需要先在其他三角形中求解相关量,3.(2013烟台模拟)如图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为角，前进4km后在B处测得该岛的方位角为角已知该岛周围3.5km范围内有暗礁，现该船继续东行(1)若260，问该船有无触礁危险？如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自B处向东航行多远会有触礁危险？(2)当与满足什么条件时，该船没有触礁危险？,答案A,规律方法要利用正、余弦定理解决多边形

6、问题，需将多边形分割成若干个三角形，在分割时，要注意应用正、余弦定理,关注思想方法,测量方案的设计在正、余弦定理的应用举例部分，有时考查测量方案的设计，以考查考生创新意识、应用能力.此类问题关键在于根据要解决的实际问题并结合条件构造出必要的三角形.,为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量A、B、M、N在同一个铅垂平面内(如示意图)飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤,解析方案一：需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角1、1；B点到M、N点的俯角2、2；A、

7、B的距离d(如图所示),1(2010福建高考，19)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇,(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由,此时，在OAB中，有OAOBAB20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时，这样小艇能以最短时间与轮船相遇解法二：(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向设小艇与轮船在C处相遇,解法三：(1)同解法一或解法二(2)设小艇与轮船在B处相遇，依据题意得：v2t24