第4章 数据的分布特征的测定

1、第四章数据分布特征的测度,第四章数据分布特征的测度,第一节集中趋势的测度第二节离散程度的测度第三节偏态与峰度的测度,数据分布的特征和测度,第一节集中趋势的测度,一、集中趋势的含义二、众数三、中位数四、均值五、众数、中位数和均值的比较,一、集中趋势(Centraltendency),一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度测度集中趋势就是寻找数据一般水平的代表值或中心值不同类型的数据用不同的集中趋势测度值低层次数据的集中趋势测度值适用于高层次的测量数据，反过来，高层次数据的集中趋势测度值并不适用于低层次的测量数据选用哪一个测度值来反映数据的集中趋势，要根据所掌握的数据的类型来确定,二、分类数据：众数,

2、众数(概念要点),集中趋势的测度值之一出现次数最多的变量值不受极端值的影响可能没有众数或有几个众数主要用于定类数据，也可用于定序数据和数值型数据,众数(众数的不唯一性),无众数原始数据:10591268,一个众数原始数据:659855,多于一个众数原始数据:252828364242,分类数据的众数(算例),【例】根据第三章表3-1中的数据，计算众数,解：这里的变量为“广告类型”，这是个定类变量，不同类型的广告就是变量值。我们看到，在所调查的200人当中，关注商品广告的人数最多，为112人，占总被调查人数的56%，因此众数为“商品广告”这一类别，即Mo商品广告,顺序数据的众数(算例),【例】根据

3、第三章表3-2中的数据，计算众数,解：这里的数据为定序数据。变量为“回答类别”。甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一类别，即Mo不满意,数值型分组数据的众数*(要点及计算公式),1.众数的值与相邻两组频数的分布有关,4.该公式假定众数组的频数在众数组内均匀分布,2.相邻两组的频数相等时，众数组的组中值即为众数,3.相邻两组的频数不相等时，众数采用下列近似公式计算,数值型分组数据的众数(算例),【例4.1】根据第三章表3-5中的数据，计算50名工人日加工零件数的众数,三、顺序数据：中位数和分位数,中位数(概念要点),集中趋势的测度值之一排序后处于中间位置上的值

4、,不受极端值的影响主要用于定序数据，也可用数值型数据，但不能用于定类数据各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即,中位数(位置的确定),未分组数据：,顺序数据与分组数据：,顺序数据的中位数(算例),【例4.2】根据第三章表3-2中的数据，计算甲城市家庭对住房满意状况评价的中位数,解：中位数的位置为：300/2150从累计频数看，中位数的在“一般”这一组别中。因此Me一般,计算向上累计频数。在向上累计频数序列中从上往下找第一个大于N/2的数，该数所对应的既为中位数所在组。采用下列近似公式计算：,4.该公式假定中位数组的频数在该组内均匀分布,数值型分组数据的中位数*(要点及计算公式),数值型分组数

5、据的中位数(算例),【例4.3】根据第三章表3-5中的数据，计算50名工人日加工零件数的中位数,数值型未分组数据的中位数,则中位数就可以按下面的方式确定：,数值型未分组数据的中位数(5个数据的算例),原始数据:2422212620排序:2021222426位置:12345,中位数22,数值型未分组数据的中位数(6个数据的算例),原始数据:10591268排序:56891012位置:123456,四分位数(概念要点),1.集中趋势的测度值之一2.排序后处于25%和75%位置上的值,3.不受极端值的影响4.主要用于定序数据，也可用于数值型数据，但不能用于定类数据,四分位数(位置的确定),未分组数据

6、：,顺序数据与组距分组数据：,顺序数据的四分位数(算例),【例4.4】根据第三章表3-2中的数据，计算甲城市家庭对住房满意状况评价的四分位数,解：下四分位数(QL)的位置为：QL位置(300)/475上四分位数(QL)的位置为：QU位置(3300)/4225从累计频数看，QL在“不满意”这一组别中；QU在“一般”这一组别中。因此QL不满意QU一般,数值型分组数据的四分位数(计算公式),上四分位数:,下四分位数:,数值型分组数据的四分位数(计算示例),QL位置50/412.5,QU位置350/437.5,【例4.6】根据第三章表3-5中的数据，计算50名工人日加工零件数的四分位数,数值型未分组数

7、据的四分位数(7个数据的算例),原始数据:23213032282526排序:21232526283032位置:1234567,N+1,QL=23,QU=30,数值型未分组数据的四分位数(6个数据的算例),原始数据:232130282526排序:212325262830位置:123456,QL=21+0.75(23-21)=22.5,QU=28+0.25(30-28)=28.5,数值型数据：均值（平均数）,平均数(概念要点),1.集中趋势的测度值之一2.最常用的测度值3.一组数据的均衡点所在4.易受极端值的影响用于数值型数据，不能用于定类数据和定序数据类型：算术平均数调和平均数几何平均数,算术平

8、均数(计算公式),设一组数据为：X1，X2，XN简单算术平均数的计算公式为,设分组后的数据为：X1，X2，XK相应的频数为：F1，F2，FK加权算术平均数的计算公式为,简单算术平均数(算例),原始数据:10591368,加权算术平均数（算例）,【例4.7】根据第三章表3-5中的数据，计算50名工人日加工零件数的均值,算术平均数(权数对均值的影响),甲乙两组各有10名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下甲组：考试成绩（X）:020100人数分布（F）：118乙组：考试成绩（X）:020100人数分布（F）：811,平均数(数学性质),1.各变量值与均值的离差之和等于零,2.各变量值与均值的离差平

9、方和最小,调和平均数(概念要点),1.集中趋势的测度值之一2.均值的另一种表现形式3.易受极端值的影响4.用于定比数据5.不能用于定类数据和定序数据6.计算公式为,原来只是计算时使用了不同的数据！,调和平均数(算例),【例4.8】某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如表4-2，计算三种蔬菜该日的平均批发价格,几何平均数(概念要点),1.集中趋势的测度值之一2.N个变量值乘积的N次方根3.适用于特殊的数据4.主要用于计算平均发展速度5.计算公式为,6.可看作是均值的一种变形,几何平均数(算例),【例4.10】一位投资者持有一种股票，1996年、1997年、1998年和1999年收益率分别为4.5%

10、、2.0%、3.5%、5.4%。计算该投资者在这四年内的平均收益率。,平均收益率103.84%-1=3.84%,五、众数、中位数和均值的比较,1、众数、中位数和均值的关系,均值-众数=3（均值-中位数）,2、众数、中位数和均值的特点与应用场合,（1）众数是位置代表值，不受极端值的影响，适合于作为分类数据的集中趋势测度值；（2）中位数是位置代表值，不受极端值的影响，适合于作为顺序数据的集中趋势测度值；（3）均值是一组数据相加后除以数据个数而得到的结果，利用了全部数据信息，主要适用于数值型数据。当数据呈对称分布或接近对称分布时，应选择均值作为集中趋势代表值，但易受极端值的影响，对于偏态分布数据，考

11、虑选择众数或中位数等位置代表值。,3、数据类型与集中趋势测度值,第二节离散程度的测度,一、离散程度的含义二、异众比率三、四分位差四、方差和标准差五、标准分数六、离散系数,一、离中趋势的含义,数据分布的另一个重要特征离中趋势的各测度值是对数据离散程度所作的描述反映各变量值远离其中心值的程度，因此也称为离中趋势从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度不同类型的数据有不同的离散程度测度值,二、分类数据：异众比率,异众比率(概念要点),1.离散程度的测度值之一2.非众数组的频数占总频数的比率3.计算公式为,4.用于衡量众数的代表性,异众比率(算例),【例4.11】根据第三章表3-1中的数据，计算异众

12、比率,三、顺序数据：四分位差,四分位差(概念要点),1.离散程度的测度值之一2.也称为内距或四分间距3.上四分位数与下四分位数之差QD=QU-QL4.反映了中间50%数据的离散程度不受极端值的影响用于衡量中位数的代表性,四、数值型数据：方差和标准差,极差(概念要点及计算公式),1.一组数据的最大值与最小值之差2.离散程度的最简单测度值3.易受极端值影响4.未考虑数据的分布,未分组数据R=max(Xi)-min(Xi),5.计算公式为,平均差(概念要点及计算公式),1.离散程度的测度值之一2.各变量值与其均值离差绝对值的平均数3.能全面反映一组数据的离散程度4.数学性质较差，实际中应用较少,5.

13、计算公式为,未分组数据,组距分组数据,平均差（计算过程及结果）,【例4.13】根据第三章表3-5中的数据，计算工人日加工零件数的平均差,方差和标准差(概念要点),1.离散程度的测度值之一2.最常用的测度值3.反映了数据的分布反映了各变量值与均值的平均差异根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差,总体方差和标准差(计算公式),未分组数据：,组距分组数据：,未分组数据：,组距分组数据：,方差的计算公式,标准差的计算公式,总体标准差（计算过程及结果）,【例4.14】根据第三章表3-5中的数据，计算工人日加工零件数的标准差,样本方差和标准差(计算公式),未分组

14、数据：,组距分组数据：,未分组数据：,组距分组数据：,方差的计算公式,标准差的计算公式,样本方差自由度(degreeoffreedom),一组数据中可以自由取值的数据的个数当样本数据的个数为n时，若样本均值x确定后，只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能自由取值例如，样本有3个数值，即x1=2，x2=4，x3=9，则x=5。当x=5确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3则必然取2，而不能取其他值样本方差用自由度去除，其原因可从多方面来解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差去估计总体方差2时，它是2的无偏估

15、计量,样本方差(算例),原始数据:10591368,样本标准差(算例),样本标准差,原始数据:10591368,方差(简化计算公式),样本方差,总体方差,方差(数学性质),各变量值对均值的方差小于对任意值的方差设X0为不等于X的任意数，D2为对X0的方差，则,五、相对位置测度：标准分数,标准分数,1.定义：变量值与其平均数的离差除以标准差后的值，也称标准化值或z分数。2.公式：,标准分数,3.特点：对某一个值在一组数据中相对位置的度量；可用于判断一组数据是否有离群点；用于对变量的标准化处理；,标准分数,4.经验法则经验法则表明：当一组数据对称分布时约有68%的数据在平均数加减1个标准差的范围之

16、内；约有95%的数据在平均数加减2个标准差的范围之内；约有99%的数据在平均数加减3个标准差的范围之内；,六、相对离散程度：离散系数,离散系数(概念要点和计算公式),1.标准差与其相应的均值之比2.消除了数据水平高低和计量单位的影响3.测度了数据的相对离散程度4.用于对不同组别数据离散程度的比较5.计算公式为,离散系数（实例和计算过程）,【例4.16】某管理局抽查了所属的8家企业，其产品销售数据如表4.7。试比较产品销售额与销售利润的离散程度,离散系数(计算结果),结论：计算结果表明，V1V2，说明产品销售额的离散程度小于销售利润的离散程度,数据类型与离散程度测度值,第三节偏态与峰度的测度,一.偏态及其测度二.峰度及其测度,农村居民家庭村收入数据的直方图,偏态与峰度(从直方图上观察),按纯收入分组(元),结论：1.为右偏分布2.峰度适中,偏态与峰度分布的形状,偏态,峰度,一、偏态及其测度,1.定义：数据分布的不对称性，称为偏态；对数据分布不对称性的度量值，称为偏态系数；2.公式：（根据未分组数据）（根据分组数据）,一、偏态及其测度,（1）偏态系数sk=0时，数据呈对称分布；（2）偏态系数sk0时，数据呈右偏分布；（