第7章矩阵的特征值和特征向量讲解

1、第七章矩阵的特征值和特征向量，许多工程计算都会遇到特征值和特征向量的计算，如：机械、结构或电磁振动中的固有值；物理学中的各种临界值等。这些特征值的计算通常意义重大。特征值的根：是矩阵A的特征值，而向量V满足，是矩阵A的特征值多项式，它是一个更高次的多项式，很难找到它的根。没有数值方法可以通过求矩阵的根来求矩阵的特征值。通常，对于某一特征值，可以使用一些有针对性的方法来获得其近似值。如果需要所有的特征值，我们可以对A做一系列类似的变换，并“收敛”到对角矩阵或上(下)三角矩阵，从而得到所有特征值的近似值。特征向量，7.1的幂法，矩阵的最大特征值根据模常显示阈值。如矩阵的谱半径。幂法是最经典的方法，

2、是一种根据模求矩阵最大特征值的方法。幂方法要求A有一个完整的特征向量系统，即A有N个线性独立的特征向量。实际上，常见的实对称矩阵和具有不同特征值的矩阵都具有这种性质。设A的特征值和特征向量如下：特征值：特征向量：可用幂法求出。基本想法很简单。let，线性无关，取初始值，迭代，let，然后有：(1)如果：那么k足够大，可见，几乎只有一个常数差，所以：任何分量被除，特征向量乘以任何数，它仍然是特征向量；(2)如果：那么k足够大，如果序列显示奇偶序列的每个分量的比率趋向于常数，那么如果序列显示其他，不要管它，找到具有最大模的矩阵A的特征值，求解x(0)=(1，0)T，并且计算x(k)=Ax(k-1)

3、。结果如下，例如，0.41263，X1 (0.000)，可能希望设置12n，和|2|n|。p=(2 n)/2，思考，让B=ApI，则有| IA |=| I(B11)|=|(p)IB | Ap=B.因此，寻找B的特征根收敛得很快。在幂方法中，我们可以看到，如果序列收敛缓慢，可能会导致计算溢出或返回0，并提高幂方法的标准运算，那么很容易知道：所以有：最大分量是1，即，(1)如果：小时，时间，那里，(2)如果：seek:那么：算法：1，给出初始值，计算序列，2，如果序列收敛，那么如果序列的奇数和偶数序列分别收敛，并且两个数彼此相反，那么采用逆幂法，所以A和A1的特征值是倒数，因此，找到A1的倒数如果

4、我们知道某个特征根的近似位置p，即， 对于任何ji都有|ip|jp|并且如果(ApI)1存在，我们可以通过逆幂方法找到(ApI)1的主特征根1/(ip ),并且收敛将非常快。思路，7.1雅可比方法对称矩阵，p是n阶可逆矩阵，那么a类似于P1AP，并且类似的矩阵具有相同的特征值。如果A是对称的，就有一个正交矩阵Q(QTQ=1)，这就不可能直接找到Q。我们可以构造一系列特殊的正交矩阵Q1，Qn进行正交变换，使对角元素的比例逐渐增加，而非对角元素的比例逐渐减少。当非对角元素很小且不显著时，可以近似地认为对角元素都是A的特征值。，1，Givens旋转变换，对称矩阵，正交矩阵，记住：然后：变换的目的是减少非对角元素的分量，然后，记住，然后，根据模数有较小的根，所以：2，Jacobi迭代，取p，q来做，然后，定理：如果A是对称的，那么求解A (0在一个例子中，Jacobi方法被用来计算对称矩阵的所有特征值，所以有，所以p=2，q=3，apq(1)=a23(1)=2.0201901.循环雅可比方法：的顺序是(1，2)、(1，3)、(1，n)、(2，3)、(2，4)、(2，n)、(n-1，n) 2。pass Jacobi方法：采用单调递减并收敛到零的正数序列k，首先采