第9章无穷级数

1、第9章无穷级数,9.1数项级数的概念与性质9.2正项级数9.3任意项级数9.4幂级数9.5函数的幂级数展开式,2,第9章无穷级数,定义1设有一个无穷序列,用加号把此序列的项依次连接起来的表达式,称为无穷级数(简称级数).,常缩写为,其中第n项,叫做级数的一般项或通项.,表达式,无穷级数已广泛地应用于工程技术、数理统计、数值计算及其它领域.无穷级数是研究函数的工具,本章主要介绍无穷级数的概念、性质、,又可用它求得一些函,作为一个函数或一个数的表达式,它既可,数的近似公式；,收敛与发散的判别法、幂级数以及一些简单函数的幂级数展开式。,3,由级数的第n项的结构给出了两大类级数:,(1)若只是n的函数

2、,(2)若是x的函数,中前n项的和,称为级数,而式中除去后其余各项的和称为级数的余项,记为,即,的部分和,记为即,就称级数为常数项级数;,就称级数为函数项级数.,4,9.1数项级数的概念与性质,它们之间的差值称为级数的余项.,一.数项级数的概念,定义2若级数的部分和数列的极限存在,并把S称为级数的和,记为,则称级数收敛;,否则就发散;,当时,称,级数收敛于S,注1当级数收敛时,前n项的和是级数和S的近似值,用作S的近似值所产生的误差,就是余项的绝对值,5,故级数发散.,例1讨论级数,的敛散性.,例2判定级数,的敛散性.若收敛,则求出其和.,解因,故级数收敛,其和为1.,解因,则,6,例3讨论几

3、何级数(或等比级数),解当q1时,部分和,(1)当q1时,(2)当q1时,(其中a0,q称为级数的公比,为它的一般项),(3)当q=1时,的敛散性.若收敛,则求出其和.,7,()若q=1时,则,()若q=1时,则级数成为aa+aa+aa+,当n为偶数时,当n为奇数时,几何级数,故原级数发散.,从而,不存在.,综上所述有重要结论:,当q1时,发散.,当q1时,收敛于,8,二.级数的基本性质,也收敛,且,定理1若级数,收敛,则级数,证设,分别为,则,9,注3此定理反之不一定成立.例级数,注2两个无穷级数必须收敛才能相加,而不象有限项情形,逐项相加总是可行的.,收敛,但级数,发散.,定理2若级数,也

4、收敛于ca.,收敛于a,c是一个常数,则级数,证设,分别为,则级数,收敛于ca.,10,一个不为零的数,所得的级数与原级数具有相同的敛散性.,定理3在级数中增加或去掉有限项,级数的敛散性不变。,证因在级数中增加或去掉有限项,总可通过在该级数前增加或去掉有限项来实现,故只须证在级数前增加或去掉有限项而其敛散性不变.,设在级数,中去掉前m项,则得级数,c0时,必有,注4,发散,则,不存在,从而当,不存在.这表明:级数的每一项同乘以,例:级数,都是收敛的.,11,令级数(1)的部分和为,级数(2)的部分和为,于是,若(1)收敛于S,则,同理可证在级数(1)前增加有限项,所得级数与级数(1)有相同的敛

5、散性.,例级数,故(2)也收敛.,若(1)发散,则,不存在,故(2)也发散.,和级数,前者是收敛的,后者是发散的.,12,定理4收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原来的和.,证设,收敛于S,则设级数按某一规律加括号所得的新级数为,则,13,加括号仍为收敛级数.,注5此定理表明收敛级数适合结合律.即收敛级数,注6其逆否命题为“若加括号后所成的级数发散,则原级数也发散.”,是收敛的.,注8收敛级数去括号后不一定收敛.,注7发散级数加括号后级数有可能收敛,即,“加括号后所成的级数收敛,原级数不一定收敛.”,例级数,是发散级数.,但将相邻的两项加括号后所得级数,14,定理5(收敛的必要条件)若级数,注9各项均非负的级数,无论加括号还是去括号,都不影响其敛散性.,收敛,则,证设,收敛于S,则级数,发散.,注10其逆否命题为,15,“收敛级数通项必有,例4证明调和级数,注11,仅是收敛的必要条件而非充分条件.即,证反证法若,收敛,设级数的和为S,则有,发散.,而,与前者矛盾.故调和级数发散.但,但通项极限为零的级数却,不一定收敛”.,16,法二:可以用定积分的定义来证明调和级数的发散性.,17,在n,n+1上对应用拉格朗日中值定理得,将前n个不等式两边