6年级奥数-不定方程

1、不定方程式课讲义号码ltjysxsrl005学生编号： ltjy001年级： 6年级的课程数：听讲者名：指导科目：数学学科教师：学科长的签名和日期教务长的签名和日期课题一次不定方程(组)的整数解问题上课时间：准备时间：教育目标1 .理解不定方程式(组)的意思2 .掌握一次不定方程式(组)定理和相关解题方法重点难点要点：不定方程式定理的理解难点：解不定方程式的方法和技术的运用考试点和考试要求不定方程式(组)是数学理论中的重要课题教育内容【写在前面】不定方程式(组)是数论的重要课题。 对于不定方程式(组)，我们只求整数解，再求正整数解，加上条件限制，就能确定解。 根据情况，也可以解决计数、求最大值

2、等问题。 二元一次不定方程式是最简单的不定方程式，复杂的不定方程式(组)常常需要转化为二元一次不定方程式问题来解决。【本课的要点】求一次不定方程(组)的整数解【整理知识】不定方程式(组)是指未知数的个数比方程式的个数多的方程式(组)，其特征是有无数个解，不能唯一确定重要定理：设a、b、c、d为整数，不定方程式如下定理1且d不能整除c时，不定方程式没有整数解如果定理2是不定方程式且一组整数解(称为特解)，则(t为整数)是方程式的全整数解(称为通解) (其中，d能整除c )。定理3如果是不定方程式、的特解，则是方程式的特解.求整数系数不定方程式的正整数解通常有以下步骤(1)判断有无整数解(2)求特

3、解(3)写通解(4)有同时满足整数t的条件(不等式组)，代入命题(2)中的式子，写不定方程式的正整数解.为了解不定方程式(组)，基于方程式(组)的特征，有必要活用以下的知识和方法(1)分离调整系数法(2)贫困法(3)因子分解法(4)分配方法(5)整数的整除性(6)奇偶校验分析(7)不等式分析(8)乘法式【法学指导】【例1】求以下不定方程式的整数解(1) (2)根据定理1、定理2确定方程式的整数解.(1)原方程式变形如下：观察到的是整数解(特解)的集合根据定理2，是元方程式的所有整数解(2) m (5，10 )=5，但是5除不尽13根据定理1，没有原方程式的整数解首先，判断方程式是否有整数解，与

4、系数不大问题相比，优先观察法寻找特解，求出的特解不同，相同的不定方程式的解的形式可以不同，但包含在它们中的所有的解都相同.【实践】求出以下不定方程式的整数解(1) (2)【例2】求方程的所有正整数解这个方程式的系数很大，很难用观察法得到特解。 根据方程，把x用y表示，包含y的代数方程分离成整数系数部分，向分数系数部分提供y的不同整数，寻找使分数系数部分成为正整数的y0，求出x0，写通解，求不等式组，确定方程的正整数解。根据(7，19 )=1，定理2，原方程式中有整数解从原来的方程式中得到。由此观察到特解的组为x0=25、y0=2方程式的解是其中2222222222222222226代入通解，元

5、方程式的正整数解从定理2求解该方程，当未知数的系数大，一组整数解难以观察时，用一个未知数表示另一个未知数，利用整数的知识是求解二维一次不定方程的基本方法，称为分离整数系数法。 这样就容易找到一组整数解。【实践】求方程的正整数解“例3”公共汽车有54人，轿车有36人，现在有378人乘坐，要让每个人都可以乘坐，需要大型、轿车各数辆，询问各车正好满员。本问题是不定方程式的应用，根据问题意列举方程式，求出非负整数解即可需要x台大型公共汽车、y台小型公共汽车，根据问题的意思来建立方程式，即另外，根据(3，3，2 )=1、定理2，原方程式有整数解，容易理解的是特解，通解是从问题的意思可以看出a :需要1辆

6、客人、9辆轿车。3辆公共汽车、6辆公共汽车。5辆公共汽车、3辆公共汽车。如果有7辆公共汽车的话，不用公共汽车。一般来说，实际问题多采用正整数解或非负整数解.【实践】一个考试一共要做20道小题。 一道题要扣八分，错五分，做。 有的学生得了13分，他没做的题目有几分？【例4】将某人的生日月数乘以31，生日日数乘以12，共得到347，求出该人的生日本问题的隐含条件是月值 1，12 ，日值 1，31 设这个人的生日月数为x，日期数为y .根据题意，数出式31x 12y=347 .方法1方法2特解：a :这个人的生日是5月16日求通解后，利用隐含条件求符合问题意的解。“实践”中知道3位，但是如果其本身增

7、加3位，新的3位数字之和就会减少到原来的值，求出所有这样的3位之和。(新加坡数学竞争问题)如果满足正整数m，n，m的最大值是用包含n的代数式表示m，结合用分离整系数法除的知识，求m的最大值.22222222222卡卡卡6从题意中得到的，n8，m，n是正整数，2222222222222222222226这个问题是求值最大的问题，利用分离整系数法是典型的常用方法“实践”(北京市数学竞争问题)中，连续的正整数有8个，其和可以表示为连续的正整数7个和，但如果连续的正整数不是3个，则该8个连续的正整数中的最大数值为.【例6】我国古代数学家张建丘所着算经中的“买百钱百鸡”问题：鸡翁一、价值五鸡母一、有价值

8、三鸡雏三、金目一、百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？【分析】用x、y、z表示鸡翁、鸡母、鸡雏的数量，可以建立方程式怎么解这个不定方程式？ 消元转化为不定方程式把鸡翁、鸡母、鸡雏的数量分别设为x、y、z(2)3-(1)获得： 14x 8y=200，即7x 4y=100方法1方法2方法3【评价】充分挖掘主题的隐含条件，再求整数解【实践】1只兔子，2只鸡，2只兔子，3只鸭，5只兔子，7只鹅。 有人用20只兔子换鸡、鸭、鹅共计30只。 问：其中的鸡、鸭、鹅有多少？回答： (2，21，7 )、(4，12，14 )、(6，3，21 )【例7】求方程式的整数解对于三元一次不定方程式，另外导入未知数并变换

9、为方程式，分别求解方程式中的各方程式，从而能够得到原方程式的解.如果是【解答】，则原方程式对于方程式(1)x=-t、y=t可以看作特解因此，(1)的整数解是另外，t=2、z=3是式(2)的特解，(2)的整数解是将(6)代入(3)、(4)消除t得到的原方程式的所有整数解一次不定方程式在没有制约条件的情况下，通常有无数组的整数解，但根据求出的特解，相同的不定方程式的解的形式也可以不同，但它们中包含的所有的解都相同，只要适当地置换解中的参数，就能够成为相同的形式.【实践】求方程式的整数解(海峡两岸友谊比赛问题)甲组学生每人28个核桃，乙组学生每人30个核桃，丙组学生没有31个核桃，三组核桃总数为36

10、5人作为甲组同学a人、乙组同学b人、丙组同学c人，从问题中得到.要求可以从使用变焦法确定的值范围开始.假设甲组的同学a人、乙组的同学b人、丙组的同学c人喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓692222222222222222222222222226a :三个小组有十二个同学【评价】整体考虑和的问题，巧妙地运用收缩法【实践】爱丽丝wantstobuysomedros、pens and bags. if she buys 3 radios、6 pens、2 bags、she will pay 302. if she buys 5 radios、11 pens、3 bags shewill一个布袋里有红、黄、蓝三色大小

11、相同的木球。 红色球带数字1，黄色球带数字2，蓝色球带数字3。 小明从布袋中取出十个球，上面的数字之和等于21(1)小明探出的球中，红球的数量最多不超过几个？(2)触摸的球中有三种颜色的话，有几种触摸法？第(2)问计数问题的本质是求正整数解的组数.(1)小明触摸的红色球为x个，黄色球为y个，蓝色球为个整理后可知，由于x、y都是正整数，所以x的最大值为4 .红球最大为4个以下.从(2)(1)中可以看出蓝色球的数量是又来了因此，有(1，7，2 )、(2，5，3 )、(3，3，4 )、(4，1，5 )这4种不同的触摸法因为这个问题求了未知数的范围和能取的值的个数，所以不是求方程式的解，而是根据问题意

12、对未知数的限制利用不等式分析未知数的范围和整数解的个数。【实践】已知有两座水泥山，从第一山中取出100袋放入第二山，第二山是第一山的两倍以上，相反，从第二山中取出第一山，第一山比第二山多5倍。 第一山中可能的最低水泥袋数是多少？在这种情况下，求出第二水泥的袋数.设为非负整数n，设满足方程式的非负整数(x，y，z )的组数.(1)求出的值(2)求出的值审查问题中的n和方程式是相同的非负整数，表示方程式的非负整数解的(x，y，z )的组数.(1)n=3时，原方程式为在z=1时，方程式是x y=1，其解(x，y )=(0，1 )、(1，0 )有两组在z=0时，方程式是x y=3，其解(x，y )=(

13、0，3 )、(1，2 )、(2，1 )、(3，0 )有四组.根据以上内容，=6.(n=2001时，原方程式为z=1000时，方程式是x y=1，其解是两组z=999时，方程式是x y=3，其解是四组在z=998时，方程式是x y=5，其解(x，y )=(0，5 )、(1，4 )、(2，3 )、(3，2 )、(4，1 )、(5，0 )有六组在z=0时，方程式是x y=2001，其解(x，y )=(0，2001 )、(1，2000 )、(2001，0 )有2002组.根据以上内容，=2 4 6 2002=1003002该问题综合性强，有不定方程式、分类讨论、计数等方面的知识，有必要运用所学来解决问

14、题【实践】一次不定方程式x y z=1999的非负整数解有()个ca.20001999 b.1992000 c.200700000 d.200999【总结反省】以上介绍了一次不定方程式在中学数学竞赛中的基本解法，各种解题技巧和应用。 解不定方程式的基本方法是分离整系数法，必须熟练掌握。 在具体的应用问题中，实际的问题可以变成不定方程式的问题，可以挖掘出问题的暗示条件，即未知数的取法范围。【题海拾贝】1.(2000年的希望杯竞争问题)如果a、b都是正整数，且2ab、2a b=10，则b的值为()a .全部是偶数b.2、4、6、8 c.2、4、6 d.2、42 .如果正整数x，y满足2004a=15y，则x-y的最