中考第一轮复习-锐角三角函数

1、第二十三讲锐角三角函数,一、特殊角的三角函数值:,1,二、直角三角形中的边角关系(1)三边之间的关系:_.(2)两锐角之间的关系:_.(3)边角之间的关系:sina=cosb=_,sinb=cosa=_,tana=_,tanb=_.,a2+b2=c2,a+b=90,三、解直角三角形的应用1.仰角和俯角:如图1,在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角,视线在水平线_的叫做仰角,在水平线_的叫做俯角.,图1,上方,下方,2.坡度(坡比)和坡角:如图2,通常把坡面的铅直高度h和_之比叫做坡度(或叫做坡比),用字母_表示,即i=_;坡面与_的夹角叫做坡角,记作.所以i=_=tan.3.方位角:指北或指南的

2、方向线与目标方向所成的小于90的角叫做方位角.,图2,水平,宽度l,i,水平面,【思维诊断】(打“”或“”)1锐角三角函数是一个比值.()2锐角三角函数中，角度是自变量.()3直角三角形各边长扩大3倍，其正弦值也扩大3倍.()4由cos得锐角60.(),5锐角的正弦值随角度的增大而增大.()6锐角的余弦值随角度的增大而增大.()7坡比是坡面的水平宽度与铅直高度之比.()8解直角三角形时，必须有一个条件是边.(),热点考向一锐角三角函数概念【例1】(2014巴中中考)在rtabc中，c=90,sina=则tanb的值为(),【思路点拨】先由sina表示出rtabc中a的对边与斜边长，再由勾股定理

3、求出另一条直角边长，利用锐角三角函数的定义求解.,【自主解答】选d.sina=设bc=5x，ab=13x，,【规律方法】根据定义求三角函数值的方法1.分清直角三角形中的斜边与直角边.2.正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为k(有时也可以设为1)，在求三角函数值的过程中约去k.3.正确应用勾股定理求第三条边长4.应用锐角三角函数定义，求出三角函数值,【真题专练】1.(2014湖州中考)如图，已知rtabc中，c=90，ac=4，tana=则bc的长是()a2b8c2d.4,【解析】选a.因为所以解得bc=2.,2.(2014威海中考)如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点a，

4、b，o都在格点上，则aob的正弦值是(),【解析】选d.作acob于点c，,【变式训练】如图,aob是放置在正方形网格中的一个角,则cosaob的值是.,【解析】连接ac由网格图知aoc是等腰直角三角形，设小正方形的边长为1，则cosaob答案：,3.(2014汕尾中考)在rtabc中，c=90，若则cosb的值是(),【解析】选b.在rtabc中，c=90,所以,热点考向二特殊角三角函数值的计算【例2】(2013重庆中考)计算6tan45-2cos60的结果是()a.4b.4c.5d.5【思路点拨】将cos60，tan45的值分别代入计算，即可得出答案,【自主解答】选d.6tan45-2co

5、s60=61-2=6-1=5.,【规律方法】熟记特殊角的三角函数值的两种方法1.按值的变化：30，45,60角的正余弦的分母都是2,正弦的分子分别是余弦的分子分别是正切分别是2.特殊值法：(1)在直角三角形中，设30角所对的直角边为1,那么三边长分别为1,2.(2)在直角三角形中，设45角所对的直角边为1,那么三边长分别为再根据锐角三角函数的定义推导即可.,【真题专练】1.(2014天津中考)cos60的值等于()【解析】选a.cos60=,2.(2014凉山州中考)在abc中，若|cosa-|+(1-tanb)2=0,则c的度数是()a.45b.60c.75d.105【解析】选c.由题意得，

6、cosa-=0,1-tanb=0，cosa=,tanb=1,a=60,b=45,故c=180-a-b=75.,【方法技巧】锐角三角函数值的应用(1)已知特殊角，求相应角的三角函数值.(2)根据特殊角的三角函数值，求相应锐角的度数(3)15，75角的三角函数值，可通过构造含30角或45角的直角三角形求出,3.(2014白银中考)abc中，a，b都是锐角，若sina则c=_.【解析】因为所以a=60，b=60，所以c=60.答案：60,4.(2013齐齐哈尔中考)请运用你喜欢的方法求tan75_【解析】如图，作bcd，使c90，dbc30，延长cb到a，使abbd，连接adabbd，aadbdbc

7、302a，a15，adc75,设cdx(x0)，则abbd2cd2x，答案：2,5.(2014贺州中考)计算：【解析】原式=,热点考向三解直角三角形【例3】(2013常德中考)如图，在abc中，ad是bc边上的高，ae是bc边上的中线，c45，sinbad1(1)求bc的长.(2)求tandae的值,【解题探究】(1)求bc的长的两个思考:图中有直角三角形吗?若有,请写出来.提示:图中的直角三角形分别是rtabd,rtadc,rtade.能求出bd,dc的长吗?提示:分别在rtabd,rtadc中,求bd,dc的长.,(2)求tandae值的两个思考:dae在哪个直角三角形中?提示:在rtae

8、d中.如何求dae的对边de的长?提示:先由ae是bc边上的中线求出ce的长,再由de=ce-cd求得de的长.,【尝试解答】(1)ad是bc边上的高，adbadc90在rtabd中，sinbad1，ab3bd在rtadc中，c45，cdad1bcbdcd,(2)ae是bc边上的中线，,【规律方法】解直角三角形的三点注意1.解直角三角形时,要尽量用到已知条件的数据,防止“积累误差”.2.遵守“有弦(斜边)用弦(正弦、余弦),无弦用切(正切),宁乘勿除”的原则,提高解题的正确性.3.必要时,画出图形帮助分析.,【真题专练】1.(2014孝感中考)如图,在abcd中,对角线ac,bd相交成的锐角为

9、,若ac=a,bd=b,则abcd的面积是()a.absinb.absinc.abcosd.abcos,【解析】选a.作deac，垂足为e，四边形abcd是平行四边形，bd=b，,2.(2014苏州中考)如图,在abc中,ab=ac=5,bc=8.若bpc=bac,则tanbpc=.,【解析】如图所示，过点a作aebc于点e.ab=ac=5,be=bc=8=4,bae=bac,bpc=bac,bpc=bae.在rtbae中，由勾股定理得答案：,3.(2013荆门中考)如图,在rtabc中,acb=90,d是ab的中点,过d点作ab的垂线交ac于点e,bc=6,sina=,则de=.,【解析】在

10、rtabc中，c90，bc6，ab10，d是ab的中点，adab5adeacb，答案：,4.(2014重庆中考)如图，abc中，adbc，垂足为点d，若bc=14，ad=12，tanbad=求sinc的值,【解析】adbc,tanbad=tanbad=ad=12,bd=9,cd=bc-bd=14-9=5.在rtadc中，由勾股定理,得,热点考向四解直角三角形的应用【例4】(2014南充中考)马航mh370失联后,我国政府积极参与搜救.某日,我两艘专业救助船a，b同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物p在救助船a的北偏东53.50方向上，在救助船b的西北方向上，船b在船a正东方向140海里处.

11、(参考数据：sin36.50.6,cos36.50.8,tan36.50.75).,(1)求可疑漂浮物p到a，b两船所在直线的距离.(2)若救助船a、救助船b分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达p处.,【思路点拨】(1)过点p作peab于点e,在rtape中求pe即可.(2)在rtbpe中,求出bp,分别计算出两艘船需要的时间,即可作出判断.,【自主解答】(1)如图所示，过点p作peab于点e.由题意，得pae=36.5，pba=45，设pe=x海里，则be=pe=x海里.ab=140海里，ae=(140-x)海里.在rtpae中，解得x

12、=60海里.所以可疑漂浮物p到a，b两船所在直线的距离为60海里.,(2)在rtpbe中，pe=60海里，pbe=45,则bp=84.8(海里),b船需要的时间为：2.83(小时),在rtpae中，=sinpae，ap=pesinpae=600.6=100(海里),a船需要的时间为:10040=2.5.2.832.5,a船先到达.,【规律方法】直角三角形解决实际问题的方法1.利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题,一般先把实际问题转化为数学问题,若题中无直角三角形,需要添加辅助线(如作三角形的高等)构造直角三角形,再利用解直角三角形的知识求解.2.解直角三角形时结合图形分清图形中哪个三角形

13、是直角三角形,哪条边是角的对边、邻边、斜边.此外正确理解俯角、仰角等名词术语是解答此类题目的前提.,【真题专练】1.(2014台州中考)如图,某翼装飞行运动员从离水平地面高ac=500m的a处出发,沿着俯角为15的方向,直线滑行1600米到达d点,然后打开降落伞以75的俯角降落到地面上的b点,求他飞行的水平距离bc(结果精确到1m).(参考数据:sin150.26,cos150.97,tan150.27),【解析】过点d作deac，作dfbc，垂足分别为e，f.acbc，四边形ecfd为矩形，ec=df.在rtade中，ade=15，ad=1600，ae=adsinade=1600sin15，

14、de=adcosade=1600cos15.,ec=ac-ae，df=500-1600sin15.在rtdbf中，bf=dftanfdb=ectan15.bc=cf+bf=1600cos15+(500-1600sin15)tan151575.答：运动员水平飞行的距离为1575米.,2.(2014聊城中考)美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城而过,沿河两岸的滨河大道和风景带成为我市的一道新景观.在数学课外实践活动中,小亮在河西岸滨河大道一段ac上的a,b两点处,利用测角仪分别对东岸的观景台d进行了测量,分别测得dac=60,dbc=75,又已知ab=100米,求观景台d到徒骇河西岸ac的距离约为多少米(

15、精确到1米).(tan601.73,tan753.73),【解析】作dfac，垂足为点f，设df=h.在rtdfa中，即观景台d到徒骇河西岸ac的距离约为323米.,命题新视角锐角三角函数的阅读理解题【例】(2014遂宁中考)如图,根据图中数据完成填空,再按要求答题:sin2a1+sin2b1=;sin2a2+sin2b2=;sin2a3+sin2b3=.,(1)观察上述等式,猜想:在rtabc中,c=90,都有sin2a+sin2b=.(2)如图,在rtabc中,c=90,a,b,c的对边分别是a,b,c,利用三角函数的定义和勾股定理,证明你的猜想.(3)已知:a+b=90,且sina=求s

16、inb.,【审题视点】,【自主解答】(1)1.(2)在rtabc中，c=90.sin2a+sin2b=adb=90，bd2+ad2=ab2，sin2a+cos2a=1.(3)sin2a+sin2b=1，,【规律方法】锐角三角函数中的几个重要关系式1.若a为锐角，则有sin(90a)=cosa，cos(90a)=sina.2.平方关系：同一个角的正弦和余弦的平方和等于1，即sin2a+cos2a=1.,3.正余弦与正切之间的关系：一个角的正切值等于这个角的正弦值与余弦值的比，即或sina=tanacosa.4.正切之间的关系：tanatanb=1(a+b=90).,【真题专练】1.(2014宜宾

17、中考)规定sin(-x)=-sinx，cos(-x)=cosx，sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，据此判断下列等式成立的是_(写出所有正确的序号).cos(-60)=sin75=sin2x=2sinxcosx；sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny.,【解析】cos(-60)=cos60=命题错误；sin75=sin(30+45)=sin30cos45+cos30sin45=故命题正确.sin2x=sinxcosx+cosxsinx=2sinxcosx，故命题正确；sin(x-y)=sinxcos(-y)+cosxsin(-y)=sinxcosy-cosxsiny，故命题正确答案：,2.(2013湛江中考)阅读下面的材料：先完成阅读填空，再按要求答题：则sin230cos230=_；则sin245cos245=_；则sin260cos260=_观察上述等式，猜想：对任意锐角a，都有sin2acos2a=_,(1)如图，在锐角三角形abc中，利用三角函数的定义及勾股定理对a证明你的猜想.(2)已知：a为锐角(cosa0)且sina求cosa,【解析】填空答案：依次填：1111(1)过点b作bdac于点d，则adb90在rtadb中，由勾股定理得bd2ad2ab2，即sin2acos