华中科技大学 流体力学第七章

1、习题,7-1，7-2,7.2速度环量与旋涡强度,速度环量-沿封闭曲线的切向速度积分,1速度环量,正方向：逆时针，沿正方向行进时，曲线所围区域总是在左手边。,例设速度分布为u=-6y，v=8x，求绕圆x2+y2=1的速度环量。,在圆x2+y2=1上,其速度环量为,解,2旋涡强度,涡量-速度场的旋度,面积A上的涡通量-涡量在A上法向分量的积分,也称为旋涡强度(或涡强),n-面积A上的法向单位矢量。,当面积A在xoy平面上，nx=0，ny=0，nz=1所以,旋涡强度类似于体积流量，它表示通过指定面积旋涡量，这就是它被称为涡通量的原因。,例设速度分布为u=-6y，v=8x，求x2+y2=1所围圆面积上

2、的旋涡强度。,在面积A上旋涡强度,解,旋转角速度,与上个例题中速度环量相等。,3斯托克斯(Stokes)定理,根据数学定理:如果A是封闭曲线L所围的单连通区域，则,令P=u，Q=v，R=w，,封闭曲线L上的速度环量与L所围单连通区域A上的旋涡强度之间具有等量关系。,斯托克斯定理中的A可以是空间曲面面积，而不一定要求是平面面积。,无旋流动-沿流场中任意封闭曲线的速度环量均为零,例测出龙卷风旋转角速度为=2.5rad/s，风区最大风速为vmax=50m/s。求出整个龙卷风区域的风速分布。,I是龙卷风的旋涡强度。,解龙卷风可以被看成是一股垂直于地面的旋转流体，它的中心部分(涡核区)以等角速度绕自身轴

3、旋转，并带动周围流体绕其转动，其流动是无旋的。,在涡核区内rR，流体速度分布为,在涡核区外rR，流体速度分布为,由两个区域的速度表达式可以看出，最大速度发生在涡核区的外缘，即r=R处。由涡核区速度表达式得,龙卷风的旋涡强度等于沿r=R圆周的速度环量,涡核外速度为,龙卷风区域的风速分布,7.3旋涡运动的基本概念,1涡线与涡管,涡线-处处与涡矢量相切的空间曲线。,涡线也可以被看成是流体质点的瞬时转动轴。,由于,流线方程,涡线方程,涡线不相交，并且具有瞬时性。,涡管-由涡线组成的管状曲面。,涡管强度-涡管横截面积上的涡通量。,涡管的例子：龙卷风涡核部分像柱形的刚体一样高速旋转，其流体质点都具有很大的

4、旋转角速度；涡核区以外的流体在涡核区流体的带动下作圆周运动，但其质点的旋转角速度却为零。龙卷风涡核区的外边界可以被近似地看成是一个涡管。类似地，江水、河水中的旋涡也可以被近似地当作涡管处理。,海姆霍茨定理任一瞬间沿涡线方向涡管强度不变。,证明,在涡管管壁A0上有,推论在流场中涡管不能中断。,涡管只可能以下列三种形式出现：一端或者两端延伸到无穷远；自身形成封闭环；端部中止于物面或者其它边界。,例抽烟者吐出的烟圈是封闭的涡环；龙卷风一端始于水面，另一端升入云层；河水中的旋涡一端始于水底河床，另一端终于水面。,2开尔文（Kelvin）定理,在讨论无旋流动时，很自然要提出的问题是：,在什么条件下流动才

5、有可能是无旋的？,开尔文定理指出了旋涡生成的原因，因而能够帮助我们对上述问题做出回答。,定义如果质量力矢量可以表示为某函数的梯度，即，,例重力场是最常见的有势力场，,-力势函数,则该质量力场为有势质量力场。,例科里奥利力是非有势质量力。,定义如果流体密度只是当地压强的单值函数，即,-压强函数,该流体为正压流体。,此时，可以定义一空间函数,或,定义如果流体密度只是当地压强的单值函数，即,-压强函数,该流体为正压流体。,此时，可以定义一空间函数,或者,例等熵流动的均质气体是正压流体,例密度是常数的均质不可压缩流体是正压流体,例大气层中的空气不是正压流体，因为在大气层中空气的密度不仅随压强变化，还与

6、温度、湿度有关。,例考虑到温度、盐含量对密度的影响，海水不是正压流体。,为了证明开尔文定理，首先推导一个运动学公式。,考察一条封闭的流体线L，沿该封闭线速度环量为,流体线由流体质点构成，当流体质点发生运动，流体线的位置、形状和长度都会产生变化。为了研究沿流体线的速度环量随时间的变化，先研究沿流体线上一个微段的速度积分对时间的变化率。,由矢量相加的运算法则得到,t时刻：ds,t+t时刻：ds,设0点速度矢量为v，0点速度矢量为v，,沿ds的切向速度积分是,沿ds的切向速度积分是,d对时间的变化率为,沿整条曲线L的速度环量对时间的变化率为,沿封闭流体线速度环量对时间的变化率等于加速度环量。,理想、

7、正压流体在有势质量力作用下，沿任意封闭流体线的速度环量不随时间变化。,证明理想流体的运动方程为,对于正压流体：,对于有势质量力：,定理得证,开尔文(汤姆森)定理,由斯托克斯定理，沿封闭流体线的速度环量等于流体线所围曲面面积上的旋涡强度。既然速度环量不随时间变化，旋涡强度也不会随时间变化。,如果在某一时刻流动无旋，则任意流体面上的旋涡强度都等于零，在推论条件下，旋涡强度不随时间变化，因此在此前和此后的所有时刻旋涡强度也必定为零，所以流动也是无旋的。,推论,理想、正压流体在有势质量力的作用下，只要在某一时刻流动无旋，在此前和此后的所有时刻流动也必定无旋。,如果流动是由静止状态启动的，它将始终无旋。

8、,流体具有粘性，流体是非正压的和非有势质量力的作用是产生旋涡运动的原因。,流体粘性生成旋涡的例子当流体流经物面时形成边界层，边界层是很薄的旋涡层。速度的间断面会产生旋涡。,3旋涡运动的生成,流体非正压生成旋涡的例子大气层中的空气及海洋中的海水都是非正压流体。海陆风、季风、赤道地区的贸易风是大气层中空气非正压所产生的旋涡运动；海洋环流是海水非正压所产生的旋涡运动。,非有势质量力生成旋涡的例子拔掉澡盆的塞子会出现逆时针方向旋转的涡；北半球逆时针方向旋转的台风和龙卷风；地球自转的科氏力会在大气层中生成气旋。,在大量流体力学问题中，流体可以被当成是不可压缩的或者是等熵的，也就是正压的；除了大气层和海洋中的大尺度流动外，大多数情况下只需要考虑重力而不必考虑地球自转