圆的内接四边形

1、例 圆内接四边形abcd中，a、b、c的度数的比是327，求四边形各内角度数解：设a、b、c的度数分别为3x、2x、7x abcd是圆内接四边形a +c=180即3x+7x=180，x=18，a=3x=54，b=2x=36，c=7x=126， 又b+d=180，d=180一36144说明：巩固性质；方程思想的应用例如图，已知ad是abc的外角eac的平分线，ad与三角形abc的外接圆相交于d求证：db=dc分析：要证db=dc，只要证bcd=cbd，充分利用条件和圆周角的定理以及圆内接四边形的性质，即可解决说明：角相等的灵活转换，利用圆内接四边形的性质作桥梁例 如图，abc是等边三角形，d是上

2、任一点，求证：db+dc=da分析：要证明一条线段等于两条线段的和，往往可以“截长”和“补短”法，本题两种方法都可以证明证明： 延长db至点e，使be=dc，连ae 在aeb和adc中，be=dc abc是等边三角形ab=ac 四边形abdc是o的内接四边形， abe=acd aebadc aeb=adc=abc ade=acb， 又 abc=acb60， aeb=ade=60 aed是等边三角形，ad=de=db+be be=dc，db+dc=da说明：本例利用“截长”和“补短”法证明培养学生“角相等的灵活转换”能力在圆中，圆心角、圆周角、圆内接四边形的性质构成了角度相当转换的一个体系，应重

3、视例 如图，abcd是o的内接四边形，如果，那么（ ）a90 b120 c135 d150说明：“圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.”这个定理很重要，要正确运用.例 如图，ad是外角的平分线，ad与外接o交于点d，n为bc延长线上一点，且交o于点m.求证：（1）；（2）分析：（1）由于db与dc是同一三角形的两边，要证二者相等就应先证明它们的对角相等，这可由圆周角定理与圆内接四边形的基本性质得到：（2）欲证乘积式，只须证比例式，也即，这只须要证明即可.说明：本题重在考查圆周角与圆内接四边形的基本性质和利用相似三角形证明比例线段的基本思维方法例 如图，已知四边形是圆内接

4、四边形，是的直径，且，与的延长线相交于求证：.说明：本题考查圆内接四边形性质的应用，解题关键是辅助线构造，再证.易错点是不易想到证而使解题陷入困境或出现错误.例 如图，ab是o的直径，弦（非直径），p是o上不同于的任一点.（1）当点p在劣弧cd上运动时，与的关系如何？请证明你的结论；（2）当点p在优弧cd上运动时，与的关系如何？请证明你的结论（不要讨论p点与a点重合的情形）分析：利用在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理来解决.选择题1在圆的内接四边形abcd中，和它的对角的度数的比为1：2，那么为（ ）a30 b60 c90 c1202四边形abcd内接于圆，、的度数依次可以是（ ）

5、a1：2：3：4 b6：7：8：9 c4：1：3：2 d14：3：1：123.四边形内接于圆，、的度数比依次可以是（）abcd4.如图，四边形内接于，那么的度数为（）abcd5. 如图，与交于、两点，且过的圆心，若，则等于（）abcd6. 圆内接平行四边形一定是（ ）（a）矩形 （b）正方形 （c）菱形 （d）梯形7已知ab、cd是o的两条直径，则四边形adbc一定是（ ）a矩形 b菱形 c正方形 d等腰梯形8、四边形abcd内接于圆，则a、b、c、d的度数比可以是 ( )（a）1234 （b）75108（c）131517 （d）13249、若abcd为圆内接四边形，aecd于e，abc=13

6、0，则dae为（ ）（a）50 （b）40 （c）30 （d）2010、如图，圆内接四边形abcd的一组对边ad、bc的延长线相交于p，对角线ac和bd相交于点q，则图中共有相似的三角形 ( ) （a）4对 （b）3对 （c）2对 （d）1对11如图，在，ad是高，的外接圆直径ae交bc边于点g，有下列四个结论：（1）；（2）；（3）；（4）.其中正确的结论的个数是（ ）a1个 b2个 c3个 d4个12已知：如图，劣弧，那么的度数是（ ）a320 b160 c150 d20013钝角三角形的外心在（ ）a三角形内 b三角形外 c三角形的边上 d上述三种情况都有可能14圆内接平行四边形的对角线

7、（ ）a互相垂直 b互相垂直平分c相等 d相等且平分每组对角15如图，已知四边形abcd是o的内接四边形，且，下列命题错误的是（ ）a bc d图中全等的三角形共有2对答案：1b 2d 3.c 4. a 5. d 6、a；7a 8、c； 9、b； 10、a. 11b 12b 13b 14d 15d. 填空题1. 已知abcd是圆内接四边形，若a与c的度数之比是12，则a的度数是 度2. 若a，b，c，d四点共圆，且acd为36，则所对的圆心角的度数是 度3. 圆内接四边形相邻三个内角的比是217，则这个四边形的最大角的度数为 度4. 圆上四点、，分圆周为四段弧，且=，则圆内接四边形的最大角是_

8、5. 圆内接四边形中，若是相邻的一个外角，且，则，若，则，6. 四边形内接于圆，、的度数之比是，比大，则，7. 圆内接梯形是_梯形，圆内接平行四边形是_8圆内接四边形abcd中，如果，那么度.9在圆内接四边形abcd中，则.10如图，在圆内接四边形abcd中，则四边形abcd的面积为_.11如图，把正三角形abc的外接圆对折，使点a落在的中点，若，则折痕在内的部分de长为_.答案：1. 60； 2. 72； 3.160;4. 5. ，;6. ， 7. 等腰，矩形.890 9120 10 11.解答题1、如图，已知：abcd为圆内接四边形，（1）若dbce，求证：adbc=cdbe；（2）若ad

9、bc=cdbe，求证：dbce 2、已知：o中，直径ab垂直弦cd于h，e是cd延长线上一点，ae交o于f求证：afc=dfe3如图，已知四边形内接于圆，、的延长线相交于，且，求证：4如图，点、在上，以点为圆心的交于、两点，交于点，交于点，求证：5已知圆内接四边形，中，求最小的角。6如图，在中，平分交于，的外接圆交于.求证：7如图，是圆内接正三角形，p为劣弧上一点，已知.（1）求证：；（2）求pb、pc的长（）.8如图，已知：菱形abcd的对角线ac、bd相交于点o，是的外接圆，e是上的一点，连结ae并延长与bd的延长线相交于点f.求证：.9如图，bc是o的直径，垂足为d，bf交ad于点e.（1）