2013—2014学年度初三数学培优班练习卷参考答案(因动点产生的等腰三角形问题)

1、20132014学年度初三数学培优班练习卷参考答案（因动点产生的等腰三角形问题）班级 座号 姓名 一、选择题.1.C2.D3.D4.D5.C6.C7.C8.C9.B10.B11.C12.D13.B14.C15.B 16.B17.B二、填空题.1、4 2、30，75，12030，75，120 3、4个 4、（2.5，4），（3，4），（2，4）5、3 6、 7、4 8、20 9、10、4个，CD=10 CM=PM=8 11、（2，4），（2.5，4），（3，4），（8，4）12、三、计算题1.解答（1）在RtABC中， AB6，AC8，所以BC10在RtCDE中，CD5，所以，（2）如图1，过点

2、D作DMAB，DNAC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是ABC的两条中位线，DM4，DN3由PDQ90，MDN90，可得PDMQDN因此PDMQDN所以所以，图1 图2 图3如图2，当BP2，P在BM上时，PM1此时所以如图3，当BP2，P在MB的延长线上时，PM5此时所以（3）如图4，如图1，在RtPDQ中，在RtABC中，所以QPDC由PDQ90，CDE90，可得PDFCDQ因此PDFCDQ当PDF是等腰三角形时，CDQ也是等腰三角形如图4，当CQCD5时，QNCQCN541（如图2所示）此时所以如图5，当QCQD时，由，可得所以QNCNCQ（如图1所示）此时所以不存在DPDF的情况这是

3、因为DFPDQPDPQ（如图4，图5所示）图4 图52.解答（1）因为抛物线与x轴交于A(1,0)、B(3, 0)两点，设ya(x1)(x3)，代入点C(0 ,3)，得3a3解得a1所以抛物线的函数关系式是y(x1)(x3)x22x3（2）如图1，抛物线的对称轴是直线x1图1当点P落在线段BC上时，PAPC最小，PAC的周长最小设抛物线的对称轴与x轴的交点为H由，BOCO，得PHBH2所以点P的坐标为(1, 2)（3）设点M的坐标为(1,m)在MAC中，AC210，MC21(m3)2，MA24m2如图2，当MAMC时，MA2MC2解方程4m21(m3)2，得m1此时点M的坐标为(1, 1)如图

4、3，当AMAC时，AM2AC2解方程4m210，得此时点M的坐标为(1,)或(1,)如图4，当CMCA时，CM2CA2解方程1(m3)210，得m0或6当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)图2 图3 图43.解答（1）如图1，过点B作BCy轴，垂足为C在RtOBC中，BOC30，OB4，所以BC2，所以点B的坐标为（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为yax(x4)，代入点B，解得所以抛物线的解析式为（3）抛物线的对称轴是直线x2，设点P的坐标为(2, y)当OPOB4时，OP216所以4+y216解得当P在时，B、O、P三

5、点共线（如图2）当BPBO4时，BP216所以解得当PBPO时，PB2PO2所以解得如图2，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么DOA与OAB是两个相似的等腰三角形由，得抛物线的顶点为因此所以DOA30，ODA120综合、，点P的坐标为，如图2所示图1 图24.解答（1）解方程组 得 所以点A的坐标是(3，4)令，得所以点B的坐标是(7，0)（2）如图1，当P在OC上运动时，0t4由，得整理，得解得t2或t6（舍去）如图2，当P在CA上运动时，APR的最大面积为6因此，当t2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8图1 图2 图3我们先讨论P在OC上运动时的情形，0t4如图1，在AOB中，B45

6、，AOB45，OB7，所以OBAB因此OABAOBB如图3，点P由O向C运动的过程中，OPBRRQ，所以PQ/x轴因此AQP45保持不变，PAQ越来越大，所以只存在APQAQP的情况此时点A在PQ的垂直平分线上，OR2CA6所以BR1，t1我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4t7在APQ中， 为定值，如图4，当APAQ时，解方程，得如图5，当QPQA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP2(OROP)解方程，得如6，当PAPQ时，那么因此解方程，得综上所述，t1或或5或时，APQ是等腰三角形 图4 图5 图65.解答(1)因为EDC与FEB都是DEC的余角，所以EDCFEB又因为CB90，所以D

7、CEEBF因此，即整理，得y关于x的函数关系为(2)如图1，当m8时，因此当x4时，y取得最大值为2(3) 若，那么整理，得解得x2或x6要使DEF为等腰三角形，只存在EDEF的情况因为DCEEBF，所以CEBF，即xy将xy 2代入，得m6（如图2）；将xy 6代入，得m2（如图3） 图1 图2 图36.解答（1）如图4，过点E作EGBC于G在RtBEG中，B60，所以，所以点E到BC的距离为（2）因为AD/EF/BC，E是AB的中点，所以F是DC的中点因此EF是梯形ABCD的中位线，EF4如图4，当点N在线段AD上时，PMN的形状不是否发生改变过点N作NHEF于H，设PH与NM交于点Q在矩

8、形EGMP中，EPGMx，PMEG在平行四边形BMQE中，BMEQ1x所以BGPQ1因为PM与NH平行且相等，所以PH与NM互相平分，PH2PQ2在RtPNH中，NH，PH2，所以PN在平行四边形ABMN中，MNAB4因此PMN的周长为4 图4 图5当点N在线段DC上时，CMN恒为等边三角形如图5，当PMPN时，PMC与PNC关于直线PC对称，点P在DCB的平分线上在RtPCM中，PM，PCM30，所以MC3此时M、P分别为BC、EF的中点，x2如图6，当MPMN时，MPMNMC，xGMGCMC5如图7，当NPNM时，NMPNPM30，所以PNM120又因为FNM120，所以P与F重合此时x4

9、综上所述，当x2或4或5时，PMN为等腰三角形 图6 图7 图87.解答当点Q由点B向点O匀速运动，即5t8时，OPQ始终是等腰直角三角形，那么线段PQ的垂直平分线EF必定都经过原点O，所以5t8时也符合条件8、解答9、解：根据题意得：PA=2t，CQ=3t，则PD=AD-PA=12-2t（1）如图，过D点作DEBC于E，则四边形ABED为矩形，DE=AB=8cm，AD=BE=12cm，在直角CDE中，CED=90，DC=10cm，DE=8cm， （2）如图，过D点作DEBC于E，则四边形ABED为矩形，DE=AB=8cm，AD=BE=12cm，当PQ=CD时，四边形PQCD为等腰梯形过点P作

10、PFBC于点F，过点D作DEBC于点E，则四边形PDEF是矩形，EF=PD=12-2t，PF=DE在RtPQF和RtCDE中 10、解：（1）AD与O相切于点D，AD2=AEAB；由AD=2，AE=1，得AB=4；BE=AB-AE=3；（2）以A为顶角顶点时，AP1=AD=2，x=BP1=BA-P1A=2；以P为顶角顶点时，作AD的垂直平分线P2F交AB于P2；连接OD，则ODAD，且ODP2F；（3）PD与PBC的外接圆不能相切；理由：假设PD与PBC的外接圆相切，则PDPC，在RtPBC中，PCBC（直角三角形中，斜边大于直角边）在RtPCD中，CDPC（直角三角形中，斜边大于直角边）而B

11、C=CD，与上面的矛盾，所以，不存在（4）答案不唯一，如：x为何值时，以P、D、A为顶点的三角形与ABC相似；11、解：（1）DE2=BD2+EC2；（2）关系式DE2=BD2+EC2仍然成立证明：将ADB沿直线AD对折，得AFD，连FEAFDABD，AF=AB，FD=DB，FAD=BAD，AFD=ABD，又AB=AC，AF=AC，FAE=FAD+DAE=FAD+45，EAC=BAC-BAE=90-（DAE-DAB）=45+DAB，FAE=EAC，又AE=AE，AFEACE，FE=EC，AFE=ACE=45，AFD=ABD=180-ABC=135DFE=AFD-AFE=135-45=90，在RtDFE中，DF2+FE2=DE2，即DE2=BD2+EC2；（